鼠籠彈性支承結構優化設計方法

李明明， 王東強， 陳坤旭， 董學武， 于賀春， 姜海芹

(中原工學院機電學院， 鄭州 451191)

鼠籠彈性支承在各類航空發動機中使用較廣泛，其用途為調節航空發動機轉子系統的臨界轉速從而實現減振[1]。鼠籠剛度對發動機的性能影響較大，若其剛度達不到設計要求則可能引起發動機產生過大的振動，從而對發動機造成嚴重的破壞[2]。鼠籠彈性支承在工作過程中也常會因為過大的集中應力而出現疲勞裂紋甚至鼠條斷裂，從而引發重大事故[3-4]。為了提高發動機轉子系統的穩定性以及其動力學特性研究的可靠性，對鼠籠結構進行優化從而得到鼠籠剛度準確值以及最大程度降低鼠籠的最大應力是非常有必要的。

目前，中外較多學者對帶有彈性阻尼支承結構的轉子系統進行了大量的理論和實驗研究[5-13]。對于鼠籠彈性支承剛度的研究，多是剛度值的理論計算以及試驗測試。如徐方程等[14]通過試驗和有限元軟件對6個不同結構鼠籠彈性支承的靜剛度分別進行了測試和計算，分析了其靜剛度的影響因素。張萍等[15]提出了一種通過求解鼠籠式彈性支承的第一階固有頻率，從而計算鼠籠式彈性支承剛度的新方法；付才高等[16]發現了轉子系統運轉時鼠籠彈性支承受到了重力和不平衡力作用，并推導了傳統的鼠籠彈性支承剛度的計算公式；徐寧[17]采用參數公式和有限元兩種方法對鼠籠剛度進行了理論分析，并通過試驗得到了剛度隨鼠籠結構參數的變化規律，對鼠籠式彈性支承的剛度計算公式進行了修正；彭京徽等[18]通過實驗測試了鼠籠彈性支承的剛度，基于有限元法計算了鼠籠彈性支承的剛度，分析了其影響因素，并考慮了鼠條截面為梯形而非矩形，重新推導了鼠籠彈性支承剛度的計算公式。關于鼠籠彈性支承結構優化的研究較少。文獻[3]建立了鼠籠彈性支承剛度優化的數學模型，基于MATLAB的遺傳算法軟件包進行了優化，此方法可大幅度縮短設計時間，但其精確度完全取決于計算公式的精確性，由于計算公式未考慮鼠條根部圓角等因素，故計算精度較低；文獻[19]基于參數化建模思想, 提出了分步優化設計方法，運用了有限元優化技術，避開了計算公式帶來的誤差，但鼠籠剛度的設計精度仍需進一步提高，設計過程中需多次迭代，設計時間也仍需進一步縮短。

鑒于此，現提出一種具有高精度和高效率的鼠籠結構優化設計方法。首先，建立帶有非線性約束的鼠籠結構優化數學模型，基于該模型運用有效集算法對鼠籠結構進行優化；然后，根據優化結果建立鼠籠參數化有限元模型，通過關聯性分析，挑選出對鼠籠剛度較敏感的結構參數，考慮到遺傳算法不易陷入局部最優的特點，采用遺傳算法對結構做進一步優化。

1 鼠籠彈性支承優化數學模型的建立

鼠籠彈性支承用于航空發動機轉子系統中，其安裝時一端固定于機匣軸承座上，一端懸臂，其內部放置用于支承轉子的軸承，懸臂端機匣內常安裝鋼環，通過鋼環與懸臂端的間隙可達到降振效果[16]。鼠籠式彈性支承的結構簡圖如圖1所示，套筒上呈偶數分布若干鼠條，通過調節鼠條的長度、寬度、厚度以及數量可以實現鼠籠彈性支承剛度的調整，由于加工過程需保證兩個加工平面平行，故鼠條的截面為梯形。

b為籠條寬度；h為籠條厚度；L為籠條長度

文獻[3]給出了考慮各籠條截面主彎曲方向與籠條受力方向不平行特點的柔度、疲勞應力參數化計算公式，雖然該公式未考慮鼠籠的梯形截面等因素，但考慮到公式的簡便性，較易建立鼠籠優化數學模型，故采用該公式進行初始優化，另外考慮到加工裝配的便利性，所有的鼠條寬度之和應不大于其周長的一半[19]，公式為

(1)

(2)

(3)

式中：k為鼠籠剛度；σ為鼠籠應力；N為籠條數量；E為鼠籠彈性模量；u為加載時鼠籠變形量；D為軸承外徑。鼠籠優化問題為鼠籠彈性支承在滿足剛度要求以及加工要求的條件下，其疲勞應力值最小。因此，鼠籠的優化目標為疲勞應力最小，約束條件為剛度要求以及加工要求，建立帶非線性約束的鼠籠彈性支承優化數學模型為

(4)

x2x4≤πD/2

(5)

s.t.Li≤xi≤Hi,i=1,2,3,4

(6)

(7)

式中：x1為籠條厚度；x2為籠條寬度；x3為籠條長度；x4為籠條數目；δ為支承剛度的倒數；Li、Hi分別為設計變量xi的下限和上限。

2 鼠籠彈性支承優化策略

雖然利用有限元優化方法進行鼠籠優化能提升設計精度，但直接利用該方法優化較費時，為了縮短設計周期，首先基于建立的數學模型進行初始優化，考慮到數學模型中的非線性約束，選擇優化效率較高的有效集算法為優化算法，然后再利用workbench優化模塊中的遺傳算法完成鼠籠的進一步優化。鼠籠彈性支承結構優化流程如圖2所示，具體優化步驟可概括如下。

圖2 鼠籠彈性支承結構優化流程圖Fig.2 Optimization flow chart of squirrel cage elastic support structure

(1)根據鼠籠的材料，確定彈性模量E、密度ρ和泊松比μ；再根據鼠籠具體結構以及安裝工況，確定軸承外徑D和懸臂端允許的最大變形量umax；最后根據工程需要，確定各設計變量的取值范圍、剛度設計目標值kdesign。

(2)將確定的參數值代入數學模型，運用基于MATLAB的有效集算法工具箱，編寫鼠籠彈性支承結構參數優化程序，確定滿足約束的最優值。

(3)考慮到加工的便捷性，調整優化結果數值，根據調整值運用SolidWorks建立鼠籠三維模型，將鼠條的長度、寬度、厚度和數量進行參數化。

(4)采用SolidWorks與workbench的聯合仿真方法求解鼠籠彈性支承剛度以及疲勞應力，設定設計變量以及優化目標，運用spearman方法進行設計變量之間的關聯性分析，挑選出比較敏感的設計變量。

(5)結合關聯性分析結果，設定設計變量取值范圍，給定優化目標約束，運用遺傳算法進行鼠籠彈性支承結構的進一步優化，輸出最優結果。

(6)為便于加工，對最優結果進行調整，將調整值作為新設計變量進行輸入，求解出鼠籠剛度以及疲勞應力，并與設計目標進行對比，若滿足精度要求，則輸出設計變量終止優化，若不滿足，則基于此優化結果，重新設定設計變量取值范圍，繼續優化直到得出滿意結果。

3 算例

為了與已有的鼠籠結構優化方法對比，選取與文獻[3]和文獻[19]相同的鼠籠彈性支承材料、設計變量取值范圍、設計值。鼠籠彈性支承的材料為40Cr，其彈性模量為210 000 N/mm2，泊松比為μ=0.3，密度為7 900 kg/m3。設計變量取值范圍為鼠條長度L∈[20,45] mm，鼠條數量N∈[24,60]，鼠條厚度h∈[3,6] mm，鼠條寬度b∈[3,6] mm。鼠籠剛度設計值kdesign=16 670N/mm以及允許的最大應力值σmax≤[σ]=200 MPa。根據鼠籠具體結構以及安裝工況，確定軸承外徑D為100 mm，懸臂端允許的最大變形量umax=0.12 mm。

將上述參數代入數學模型中，運用MATLAB工具箱中的非線性優化函數fmincon，選擇有效集算法，根據數學模型編寫優化程序，計算得到鼠籠彈性支承結構最終優化結果為h=3.857 1 mm，b=3 mm，L=45 mm，N=52.359 9，考慮到加工的便捷性，選取結構參數h=4 mm，b=3 mm，L=45 mm，N=52，得到的剛度和應力分別為k=17 975 N/mm，σ=186.666 7 MPa，優化函數迭代情況如圖3所示，函數僅經過三次迭代就達到了比較穩定的數值，優化效率較高。

圖3 各代優化函數值Fig.3 Optimization function values of generations

基于優化參數建立鼠籠彈性支承的有限元模型，對鼠條的長度、寬度、厚度和數量進行參數化，將參數化有限元模型導入workbench中進行結構靜力學分析。綜合考慮計算的效率和精度，模型網格劃分如圖4所示，為了使得鼠籠達到設計剛度的同時變形量也達到最大，總加載力的大小設置為F=ukdesign=2 000.4 N。考慮到鼠籠承受載荷時，可以近似認為軸承外圈下表面與鼠籠內表面的接觸面均勻受力，因此在與軸承接觸的鼠籠下表面上每個節點施加大小和方向相同的力[20]。根據鼠籠的安裝條件，完全約束鼠籠安裝端螺釘孔的自由度，有限元模型的約束和加載方式如圖5所示。計算得到鼠籠加載變形量以及應力如圖6和圖7所示。

圖4 鼠籠有限元網格劃分Fig.4 Squirrel cage finite element mesh division

圖5 有限元模型約束和加載方式Fig.5 Constraint and loading mode of finite element model

圖6 鼠籠加載變形圖Fig.6 Squirrel cage loading deformation diagram

圖7 鼠籠加載應力云圖Fig.7 Stress nephogram of squirrel cage loading

根據有限元計算結果，得到鼠籠的剛度k=F/u=11 231 N/mm，應力值為189.23 MPa，其剛度值與設計值相差較大，因此需要運用有限元優化方法完成進一步優化。由于有限元方法不能直接計算出鼠籠剛度值，因此將優化過程中的剛度約束條件轉化為對鼠籠最大變形量的限制[19]。為了提高優化效率，首先采用Spearman法進行設計參數關聯性分析，從而確定對鼠籠彈性支承最大變形量敏感性較高的設計參數，分析得到參數關聯性云圖如圖8所示。

圖8 參數關聯性云圖Fig.8 Parameter correlation nephogram

根據圖8可知，嚴重影響鼠籠的最大變形量的設計參數為鼠條的厚度h和長度L，厚度對最大變形量的線性關聯系數為-0.6，長度對最大變形量的線性關聯系數為0.6，均高于其他參數，因此選擇鼠條的厚度和長度作為優化變量。根據關聯系數的符號可知，為降低鼠籠最大變形量，應增大鼠條厚度和減小鼠條長度，確定設計參數的取值范圍為h∈[4,5] mm，L∈[38,43] mm。以鼠籠的最大變形量和最大應力為優化目標，為縮短計算時間，設置樣本數為10，運用多目標遺傳算法對鼠籠結構參數尋優，得到優化可行點如圖9所示，其數值如表1所示。

表1 遺傳算法優化結果

圖9 遺傳算法優化可行點Fig.9 Feasible point of genetic algorithm optimization

為方便加工，對優化結果進行調整，將調整值作為輸入參數重新進行有限元計算，通過計算結果的對比，最終確定設計變量的值為h=4.5 mm，L=41 mm，計算得到鼠籠的最大變形量和最大應力如圖10和圖11所示。

圖11 優化后鼠籠應力云圖Fig.11 Stress nephogram of squirrel cage after optimization

圖10 優化后鼠籠變形圖Fig.10 Squirrel cage deformation diagram after optimization

本文優化結果與文獻[3]中遺傳算法和文獻[19]中分步優化方法的優化結果的對比如表2所示。由表2可知，運用本文優化方法得到的鼠籠剛度精度較高，最大應力值較小，由于初始優化較大程度縮小了有限元優化設計變量的優化范圍，因此其迭代次數較少，故優化效率也較高。

表2 3種優化方法的優化結果對比

4 結論

提出了一種鼠籠彈性支承結構優化方法。首先，運用有效集算法對建立的數學模型進行鼠籠結構參數尋優，然后基于優化結果，采用有限元優化方法對鼠籠結構繼續優化，此方法聯合了計算公式優化方法和有限元優化方法。通過算例對鼠籠彈性支承結構參數優化的過程中，可以得到以下結論。

(1)基于建立的數學模型，運用有效集算法對鼠籠結構進行優化，可以在滿足非線性等式以及不等式的約束的同時以較快的速度獲得最優結果，但計算精度較差，運用該方法進行初始優化可較大程度縮小設計參數優化范圍。

(2)基于有效集算法的優化結果，建立參數化有限元模型，采用參數關聯性分析獲得關鍵性參數，運用遺傳算法進行鼠籠結構參數優化。在計算公式優化方法的基礎上進行有限元優化，可明顯減少優化迭代次數以及提高優化精度。

(3)提出的優化方法將計算公式優化的高效率與有限元優化的高精度進行了結合，具有較大的實用價值，對鼠籠彈性支承的結構設計方案的篩選具有指導意義，對其他結構的優化具有一定的參考意義。