溫度影響的軸承動態預緊耦合降維方法

閆 軒， 許 濤,2*， 曾柄杰

(1.西安工程大學機電工程學院， 西安 710600； 2.西安市現代智能紡織裝備重點實驗室， 西安 710600)

滾動軸承結構簡單、質量可靠且便于維護，是數控機床主軸功能部件的核心功能部件，溫升引起的熱膨脹現象嚴重影響機床主軸工作狀況，進而影響其加工精度[1-3]。軸承載荷和轉速會加劇溫升導致軸承磨損灼燒，進而導致軸承壽命降低[4]，因此摩擦溫升成為引起軸承失效的主要因素。針對該問題，近年來研究者致力于使用理論計算、三維有限元模型、理論與實驗結合方法及主軸外部冷卻等方法，研究從不同角度預測和改善熱膨脹現象[5-7]。溫升導致軸承失效加快，究其原因是高速狀態下，溫升前后軸承主要參數發生變化[8]。目前，對于軸承熱膨脹問題，絕大多數采用預測溫升和冷卻降溫，軸承參數優化角度研究較少。軸承預緊優化時，研究者常分析預緊力與軸承單一參數動態映射關系，但該方法難以兼顧其他參數與預緊力之間的動態關系。

現以電主軸常用的角接觸球軸承為對象，研究預緊力與溫升影響的軸承動態特性及動態耦合關系，采用主成分分析法對軸承預緊力與動態特性指標的影響過程實施降維。該方法的特點是通過正交變換將多種可能存在相關性變量，轉換后變量成為主成分，其選擇主成分標準一般是貢獻率大于85%[9-11]。以Jones“外軌道控制”理論為基礎[12]，構建溫度影響的軸承動態性能熱力學模型，研究與軸承預緊力密切相關的主要動力學指標，為軸承預緊力優化提供降維分析方法。

1 角接觸球軸承熱動力學模型

角接觸球軸承高速運行狀態下，滾動體動態溫升和離心力對軸承動力學特性影響大，研究人員常采用外軌道控制方法，分析軸承動力學影響規律[13]。為分析滾動體運行溫度變化對軸承系統的動力學影響程度，基于外軌道控制理論，考慮軸承運行溫升現象，構建軸承熱影響模型，分析轉速、溫度和預緊力復合影響的軸承動力學演化規律。

1.1 高速狀態下滾動體載荷分析

軸承在高速運行時，滾動體會受到離心力和陀螺力矩雙重作用，導致軸承內部受力情況發生變化。為描述軸承內部載荷變化過程及規律，構建一種考慮滾動體陀螺力矩和離心力的軸承動力學模型。分析高速狀態下，滾動體由于離心力和陀螺力矩作用，導致其與內外軌道接觸角、接觸處力學分布及相對變形的完整變化規律。圖1所示為角接觸球軸承單個滾動體受力情況。

Fa為軸承預緊力，N；Fr為軸承徑向載荷，N；Fc為離心力，N；αi和αo分別為內、外軌道實際接觸角，(°)；Qi和Qo分別為滾動體與內、外軌道接觸載荷，N；Ti和To分別為滾動體與內、外軌道切向摩擦力，N；Mg為陀螺力矩，N·mm

Qi、Qo和Fc的計算公式[14]為

(1)

(2)

Fc=π3dmρD3n3/1 080

(3)

式中：dm為軸承節圓直徑，mm；ρ為滾動體密度，kg/m3；D為滾動體直徑，mm；n為軸承轉速，r/min；Ki和Ko分別為內、外軌道載荷-位移常數；δi和δo分別為滾動體與內、外軌道接觸區變形量,mm。

為保證軸承高速運轉中滾動體能夠平穩運行，圖1(a)中預緊力Fa、滾動體與外軌道相互作用力Qo和軸承徑向載荷Fr，三力需滿足三角形準則，因此，滾動體受力需滿足如下條件[15]：

Fa=Qosinαo

(4)

Fr=Qocosαo

(5)

由式(1)～式(5)可知，軸承預緊力Fa與內外軌道接觸角αi(o)、離心力Fc密切相關。其中離心力變化主要由于速度改變，接觸角變化也是由于軸承轉速增加。因此，軸承在高速狀態下，轉速和預緊力影響不可忽視。為保證軸承系統能夠正常運行，預緊力需同轉速和荷載共融匹配。

1.2 溫度對軸承滾動體影響分析

如圖2所示，當軸承載荷為零時，內、外軌道曲率中心為L,其中L=ri+ro-D(ri和ro分別為內、外軌道曲半徑，mm)。在預緊力作用下，內、外軌道曲率中心之間會出現接觸變形δi和δo，且隨預緊力增加而增大，如圖3(a)所示。當軸承處于回轉過程中時，會出現離心力作用在滾動體上，導致內、外軌道接觸角不一致，最終內、外軌道曲率中心連線與L不在共線，變成一條折線，如圖2所示[16]。根據Jones的“外軌道控制理論[12]”，假設外軌道曲率中心在離心力與載荷復合作用下保持不變，而內軌道曲率中心位置和滾動體中心位置發生改變。圖3(b)所示任意方位角j處滾動體中心最終位置與內、外軌道曲率中心Δij和Δoj為

圖2 載荷作用下滾動體中心和軌道曲率中心變化過程Fig.2 Changing process of the center of the rolling element and the center of the track curvature under load

圖3 靜載荷作用下不同位置滾動體-軌道接觸Fig.3 Rolling element-track contact at different positions under static load

(6)

fi、fo和εb計算方法為

(7)

式(7)中:αb為熱膨脹系數；ΔT為溫度基于20 ℃條件下變化量。

當軸承只受軸向力時，內、外軌道之間會產生軸向位移δa，如圖2所示。在軸向力作用下，滾動體任意方位角處內、外軌道曲率中心軸向距離A1j和徑向距離A2j分別為

(8)

為便于分析計算，Jones[12]在圖2中加入新的變量X1和X2，在滾動體任意方位角處，內、外軌道接觸角正余弦值計算方法為

(9)

1.3 高速熱膨脹下模型求解分析

如圖2所示，根據勾股定理可得

(10)

根據圖1(c)所示角接觸球軸承滾動體受力分析，可得出平衡方程，即

(11)

式(11)中：滾動體所受切向摩擦力T計算方法為

(12)

式(12)中：Mgi為滾動體陀螺力矩，N·mm；ωR為滾動體自轉角速度，rad/s；ω為軸承外軌道旋轉角速度，rad/s；ωm為滾動體公轉角速度，rad/s；γ′計算方法為D/dm。

為便于計算式(11)，還需建立軸承軸向平衡方程，即

(13)

式(13)中：Z為軸承滾動體個數。

理論模型建立之后，使用Newton-Raphson[17]法計算軸承各個滾動體X1j、X2j、δij和δoj并確定陀螺力矩Mgj和離心力Fc。聯立式(9)～式(13)，使用如圖4所示數值迭代算法流程求解方程，求得符合精度要求的內外軌道接觸角αi和αo，即可準確計算軸承其他主要參數。如軸承軸向剛度Ka和滾動體節面角β等，計算方法[15]為

圖4 迭代算法流程圖Fig.4 Iterative algorithm flow chart

(14)

式(14)中：Kn是等效載荷變形系數，其值取決于滾動體與內外滾道之間接觸點的幾何尺寸和材料常數。

2 主成分分析原理

主成分分析法是將原有多個但具有一定相關性的指標，重新組合成一組互不相關的綜合指標代替原有指標。具體做法為將多個指標作線性組合，成為綜合指標。在用F1(第一個線性組合，即第一綜合指標)方差表示，方差越大表示F1包含信息越多。若F1是多個綜合指標中方差最大的，則F1為第一主成分。若第一主成分不能有效的反應原來信息，則考慮第二綜合指標F2。為有效反應原來信息，在F1中已有的信息不需要在F2中再次體現。即cov(F1,F2)=0，則稱F2為第二主成分。根據這種方法可得到第三、第四等主成分[10-11]。

(15)

式(15)中:p為原有指標數；m為每個指標包含數據量；a為X協方差陣特征值對應的特征向量；ZX為原始變量經過歸一化處理后的值，因為在實際應用中的數據，各個數據指標量綱往往不同，因此需要首先消除量綱影響，將所有數據歸一化處理。由于各個指標計算量較大，現利用統計學軟件SPSS計算各成分得分。

3 案例分析

本節以角接觸球軸承(B7007C)為例，研究在溫升條件下，軸承各參數變化情況，分析不同參數在溫升條件下對軸承影響程度，該軸承主要參數如表1所示。

表1 B7007C軸承主要參數表Table 1 B7007C main parameter table

根據表1所示該軸承主要參數，按照圖4所示數值迭代流程圖編寫MATLAB腳本文件，計算軸承主要參數在溫度變化前后各參數變化率隨軸向力變化情況，如軸向變形變化率計算方法為：(δaΔT-δa)/δa×100%。包括內、外軌道接觸角αi和αo；內、外軌道接觸區變形量δi和δo；內、外軌道接觸載荷Qi和Qo；軸向和徑向剛度Ka和Kr；軸向變形δa；滾動體節面角β。

本文模型優點是可實現溫升量ΔT和轉速n隨機可變，為驗證模型有效性，以溫升量為60 ℃、轉速為10 000 r/min、預緊力從0持續增加至800 N為例，展示軸承各個參數變化率隨預緊力變化情況。表2為部分溫升為60 ℃條件下，各參數變化率。

將完整的表2數據導入SPSS中做主成分分析。得到如表3所示方差分解主成分分析表和圖5所示碎石圖。主成分提取原則通常為特征值大于1的成分。從表3可知提取了一個主成分，累計貢獻率達到95.771%。從圖5碎石圖可直觀看出，第一主成分反映軸承在溫升條件下信息較多，其余成分與第一主成分存在重疊信息。說明第一主成分基本反映所有指標信息。

表2 溫升為60 ℃軸承主要參數變化率Table 2 The rate of change of the main bearing parameters at temperature rise is 60 ℃

表3 方差分解主成分分析表Table 3 Variance decomposition principal component analysis

圖5 碎石圖Fig.5 Gravel

第一主成分綜合指標F1對應系數計算方法為成分矩陣(表4)中數據除以主成分對應特征值在開平方根。

表4 成分矩陣Table 4 Composition matrix

F1=0.320ZX1+0.357ZX2+0.361ZX3+0.361ZX4+0.359ZX5+0.358ZX6+0.356ZX7+0.356ZX8

(16)

根據F1對所有指標排序如表5所示。根據表3提取主成分個數及表5可知，內軌道接觸載荷為提取的主成分，能基本反映軸承在溫升狀態下信息，且排名前三指標得分相差不大，但貢獻率卻不高，因此，這些指標包含重疊信息。

表5 主成分分析結果Table 5 Principal component analysis results

圖6為內軌道接觸載荷在軸承恒定轉速下(10 000 r/min)，與預緊力之間的關系，可知，隨著溫度和預緊力增加，內軌道接觸載荷逐漸變大。圖7為相同條件下內軌道接觸載荷變化率和預緊力之間動態變化關系，可以直觀看出，隨著溫度升高，載荷變化率也在增加，但隨著預緊力增加，載荷變化率出現緩慢下降趨勢，且不同溫度條件下變化趨勢一致。該結果可為軸承預緊力優化提供理論依據。

圖6 不同溫度下內軌道接觸載荷Fig.6 Contact load of inner orbit under different temperature rise

圖7 不同溫度下內軌道載荷變化率Fig.7 Rate of change of inner rail contact load at different temperatures

4 結論

通過構建溫度影響的球軸承動力學模型，對變轉速、變預緊和變溫度的球軸承動力學特性變化規律進行仿真分析。采用主成分分析方法對預緊力和軸承動力學指標的耦合關系進行降維優化，給出新的軸承預緊力優化準則。得出以下結論。

(1)在轉速為10 000 r/min和溫升為60 ℃條件下，預緊力-內軌道接觸載荷貢獻率達到95.771%，為軸承動態性能影響最大指標。

(2)在任意轉速和溫升量組合條件下，根據本文提出的方法可得到變預緊力下各參數貢獻率，確定主成分指標與預緊力之間動態映射關系。

(3)主成分與預緊力耦合影響關系可為軸承動態預緊優化提供理論依據。