基于柯西變異改進粒子群算法的無功優化*

蘇福清 匡洪海 鐘 浩 匡 威 陶 成

(1.湖南工業大學電氣與信息工程學院 株洲 412007；2.三峽大學梯級水電站運行與控制湖北省重點實驗室 宜昌 443002)

1 引言

電力系統無功優化在數學上是典型的非線性混合整數規劃問題，具有非線性、多約束、多變量的特點[1]，解決這類問題的傳統方法有線性規劃法、非線性規劃法和內點法[2]等，這類方法一般需要某些假設條件，如目標函數連續、導數存在及單峰等，而且對初始值的選取要求較高。近年來，基于群體智能的優化算法得到迅速發展，如遺傳算法[3]、蟻群算法[4-5]、蜂群算法[6]和粒子群(Particle swarm optimization,PSO)算法[7-8]等，這些算法不要求目標函數連續以及可導，同時它們具有魯棒性好、易于實現和計算效率高等優點，已成功應用于解決電力系統領域中的復雜優化問題。

PSO 算法雖然原理簡單、參數設置少且收斂速度快，但是在求解復雜優化問題時，容易發生早熟收斂，陷入局部最優解。為了解決這一問題，學者們從參數調節、引入變異操作以及與其他智能算法相結合等方面改善粒子群的尋優性能。文獻[9]認為較大的慣性權重有利于全局探索，較小的權重有利于局部開發，因此提出了慣性權重線性遞減的策略；文獻[10]提出帶收縮因子的粒子群算法，不僅能提高算法搜索能力，而且可以加快收斂速度；文獻[11]賦予粒子每一維以不同的線性衰減慣性權重，增強粒子搜索后期的群活性；文獻[12]提出基于分布熵的自適應慣性權重更新策略，均衡PSO 算法全局與局部搜索性能；文獻[13]引入基于鄰域的變異算子來豐富種群的多樣性，增強算法的開發能力；文獻[14-15]將遺傳算法的交叉變異思想融入粒子群算法，提高了粒子跳出局部最優解的能力；文獻[16]將差異進化算法與粒子群算法相結合，提出了一種粒子群-差異進化混合算法；文獻[17]提出基于Tent 映射的混沌搜索和非線性自適應粒子群算法相結合的優化算法。

本文將柯西變異操作引入混沌粒子群算法，提出改進的自適應混沌粒子群(Improved adaptive chaotic particle swarm optimization,IA-CPSO)算法，該算法不僅能夠保證粒子群的多樣性，而且有助于提高算法后期跳出局部最優解的能力。與文獻[18]相比，本文算法僅對當前粒子群的最優粒子進行混沌搜索，以使粒子群的結構不被破壞，然后利用早熟收斂策略判斷是否采用柯西變異操作對粒子群進行擾動。通過對IEEE 14 和IEEE 30 節點系統的無功優化測試，驗證了該算法能夠快速跳出局部最優解，并找到全局最優解。

2 無功優化的數學模型

2.1 目標函數

本文選擇電力系統的有功網損最小為目標函數，并通過懲罰函數的形式處理系統節點電壓和發電機無功出力越限的情況，構造的無功優化數學模型如下

電壓越界和無功越界分別定義為

式中，總目標F由有功網損PLoss、系統節點電壓和發電機無功出力越限的懲罰函數組成；N、M和NL分別為系統節點數、發電機節點數和系統支路數；λ1和λ2分別為越限懲罰系數。

2.2 約束條件

(1) 功率方程約束。系統節點的有功功率和無功功率平衡約束為

式中，PGi和QGi分別為發電機的有功輸出和無功輸出；PLi和QLi分別為負荷節點的有功功率和無功功率；QCi為無功補償容量；Vi和Vj分別為節點i，j的電壓幅值；Gij、Bij和ijθ分別為線路的電導、電納和電壓相位差；N為系統節點數。

(2) 控制變量約束。各控制變量在允許范圍內是保證電力系統安全穩定運行的前提，控制變量的約束為

式中，VG、KT和QC分別為發電機節點電壓、有載調壓變壓器變比和電容器補償容量；NG、NT和NC分別為發電機數、電容器補償數和變壓器可調分接頭數。

(3) 狀態變量約束。采用懲罰函數的形式對狀態變量進行限制，防止越界，狀態變量的約束為

式中，Vi和QG分別為節點電壓幅值和發電機無功出力。

2.3 改進的自適應混沌粒子群算法

2.3.1 標準粒子群算法

PSO 算法是源于對鳥類捕食行為的研究而衍生出來的一種新型群體智能進化算法，群體中的每個個體都是可行域內的一個潛在解，食物的位置則代表全局最優解，粒子群通過在D維解空間中迭代搜索全局最優解。在D維可行解空間中每個粒子的空間位置為相應的速度為同時將個體最優位置pbest記為全局最優位置gbest記為，迭代過程中粒子速度和位置的更新公式分別為

式中，ω為慣性權重，c1，c2為學習因子(非負常數)，r1，r2為(0,1)區間內的隨機數；分別為第i個粒子在第k次迭代過程中的速度向量和位置向量的第d維分量；為第k次迭代中第i個粒子個體極值對應的粒子位置在第d維上的分量；為第k次迭代全局最優適應度值對應的第d維上的位置分量。

2.3.2 混沌搜索

混沌運動普遍存在于非線性系統中，具有隨機性、遍歷性和規律性的特點，廣泛應用于求解不同領域的最優化問題。混沌搜索的基本原理是將解空間對應為混沌的遍歷性軌道，以任意精度趨近最優解，同時可使搜索過程具有避免陷入局部最優的能力。典型的混沌系統是由Logistic 映射方程得出，其定義如下

式中，μ∈[3.57,4]，zi∈[0,1]，本文選取μ=4，此時系統處于完全混沌狀態。

決策變量xi映射到混沌變量zi的公式為

由Logistic 映射方程得到的混沌序列zi再通過式(11)逆映射生成決策變量。

圖1 為取初值x1=4和x2=4.001迭代20 次的混沌運動軌跡，兩點間的初始距離僅為0.001，經過混沌系統后，迭代后期開始呈現分離狀態，說明混沌搜索對初值的選取很敏感，即使是相鄰的兩點，仍然能夠遍歷決策變量的解空間，避免其陷入局部極值。

本文對粒子群算法每次迭代得到的全局最優粒子進行混沌搜索，并將混沌搜索得到的粒子位置代替粒子群中最差的一個粒子，這樣能夠引導其跳出局部極值，加快收斂速度，找到全局最優值。

圖1 相鄰兩點的混沌運動軌跡

2.3.3 判斷早熟收斂準則

群體適應度方差能夠反映粒子是否陷入早熟收斂狀態，其公式為

2.3.4 柯西變異操作

高斯變異和柯西變異是常用的兩種擾動方式，圖2 是它們的密度函數對比。柯西密度函數兩端較長的分布不僅使個體有更高的概率跳出局部最優，而且變異產生的子代與父代間具有更大的差異性，因此柯西變異具有更強的擾動性[19]。

圖2 高斯和柯西密度函數的對比

算法迭代后期粒子聚集明顯，表現出強烈的趨同性，即所有粒子運動到同一位置并不再移動，這樣就喪失了粒子群的多樣性，易陷入早熟收斂狀態，因此在算法陷入早熟收斂后，本文引入柯西變異操作，不僅可以保持粒子群的多樣性，而且能夠使算法有能力跳出局部最優。柯西變異的具體操作步驟如下。

(1) 算法陷入早熟狀態后，將粒子當前的適應度值按升序排序。

(2) 對排名在前20%的粒子位置進行柯西擾動，并維持粒子在解空間內，以防超越邊界。

(3) 重新計算粒子的適應度大小，并判斷是否陷入早熟收斂，若是，則重復步驟(1)～(3)，直到找到全局最優或者達到最大迭代次數。

對粒子xi的擾動方式[20]如下

式中，rand為[0,1]之間均勻分布的偽隨機數；Cauchy(0,1)為標準的柯西擾動隨機值；xmax和xmin分別為粒子位置的上限值和下限值。

2.3.5 自適應權重系數

為了平衡粒子群算法的全局搜索能力和局部開發能力，本文采用基于粒子適應度的自適應調節慣性權重的策略[21]，其計算公式為

式中，ωmax和ωmin分別為ω的最大值和最小值，f、favg和fmin分別為當前粒子的目標函數值、所有粒子的平均目標值和最小目標值。

3 基于IA-CPSO 算法的無功優化

綜合以上，基于IA-CPSO 算法的無功優化步驟如下。

(1) 讀入電網運行數據，包括網絡結構數據、無功優化控制變量的可調范圍，并設置IA-CPSO 參數。

(3) 更新迭代次數，由式(16)計算慣性權重ω，再通過式(7)和式(8)更新各粒子的速度和位置，若粒子的位置和速度在可行域范圍外，則作邊界吸收處理。

(4) 潮流計算出有功網損以及每個粒子的目標函數值F，并與步驟(2)中各粒子目標函數值比較，更新個體最優值pbest，同時從粒子群個體最優值中找到全局最優Fbest，若當前全局最優優于歷史全局最優，則更新全局最優位置gbest。

(5) 利用Logistic 映射方程式(9)對當前最優粒子位置gbest進行混沌搜索，將混沌搜索得到的最優粒子位置代替當前粒子群中最差的一個。

(6) 若算法達到最大迭代次數或者滿足收斂條件，則跳轉至步驟(8)，否則執行下一步。

(7) 根據式(12)判斷算法是否陷入早熟狀態，若是，則選出目標函數值排名前20%的粒子，由式(13)對粒子位置進行柯西擾動，然后重復步驟(3)～(7)，否則，執行下一步。

(8) 輸出目標函數最小值Fbest和全局最優粒子gbest。

4 算例分析

為了驗證自適應混沌粒子群算法和早熟收斂狀態下引入柯西變異操作的有效性，采用Matlab 編程分別對IEEE 14 和IEEE 30 節點系統進行無功優化計算。

4.1 編碼

IEEE 14 節點系統含有五臺發電機(節點1，2，3，6，8 分別對應的G1，G2，G3，G4，G5)、三臺有載調壓變壓器(支路4-7，4-9，5-6 分別對應的T1，T2，T3)和無功補償節點(節點9 對應的G1)；而IEEE 30 節點系統含有六臺發電機(節點1，2，5，8，11，13 分別對應的G1，G2，G3，G4，G5，G6)、四臺有載調壓變壓器(支路6-9，6-10，4-12，28-27 分別對應的T1，T2，T3，T4)和兩個無功補償節點(節點10，24 分別對應的C1，C2)。因此粒子在每一個維度上的變量對應優化問題的控制變量可表示為

式中，發電機端電壓取值范圍為[0.95，1.10]，有載調壓變壓器變比調節范圍為[0.9，1.1]，共有8 個調節檔位，調節步長為2.5%，電容器補償容量的上下限為[0，0.5]，分5 檔投切，步長為0.1。

4.2 算法參數設置

種群規模為40，最大迭代次數為100 次，最大混沌搜索次數為10 次，c1=c2=2，ωmax=0.9，ωmin=0.4，懲罰函數項系數λ1和λ2的值根據文獻[22]取為1。

4.3 IA-PSO 算法驗證

分別基于標準粒子群算法(PSO)、自適應混沌粒子群算法(ACPSO)以及本文提出的IA-CPSO 算法進行算例測試，圖3 和圖4 分別為三種算法對IEEE 14和IEEE 30 節點系統在求解無功優化過程中目標函數的最優收斂曲線。

圖3 IEEE 14 節點系統各算法尋優曲線

圖4 IEEE 30 節點系統各算法尋優曲線

從圖3 可以看出，對IEEE 14 節點系統，雖然三種算法均能找到目標函數的最優解，但IA-CPSO算法迭代的次數比另外兩種算法少，能夠更快地尋找到全局最優。圖4 中，對IEEE 30 節點系統，PSO算法中的粒子迭代至13 次就開始處于停滯狀態，陷入了局部最優解，ACPSO 算法得益于對慣性權重的自適應調整策略和混沌搜索的遍歷性特征，尋找到的目標函數值更小，但后期粒子聚集作用加劇，慣性權重發揮的效果越來越小，同時混沌搜索不足以進一步引導粒子跳出局部最優解，尋優過程陷入早熟收斂狀態。而IA-CPSO 算法引入了早熟收斂判斷策略，在發生早熟收斂時對部分最佳粒子進行柯西擾動，既增加了粒子群體的多樣性，又提高了算法跳出局部最優解的能力，全局尋優能力優于另外兩種算法。

圖5 和圖6 為三種算法對14 節點和30 節點優化后系統節點電壓的變化情況。從圖5 和圖6 可以看出，三種算法優化后得到的系統節點電壓均在允許范圍內，但對30 節點系統的優化中，IA-CPSO算法優化后的電壓波動更為平穩，系統的穩定性更好。表1 和表2 為各算法對14 節點和30 節點系統優化后的控制變量大小，表3 和表4 為各算法對14節點和30 節點系統優化后有功網損的情況。

圖5 IEEE 14 節點系統節點電壓優化情況

圖6 IEEE 30 節點系統節點電壓優化情況

表1 IEEE 14 節點系統優化后的控制變量

表2 IEEE 30 節點系統優化后的控制變量

表3 IEEE 14 節點系統優化后的有功網損

表4 IEEE 30 節點系統優化后的有功網損

從表3 可以看出，三種算法得到的有功網損值差別不大，說明在控制變量較少的情況下，各算法的優化效果一致。而在表4 中，采用IA-CPSO 算法進行無功優化計算后，有功網損由0.175 57 p.u.下降為0.159 815 p.u.，降幅8.97%，其優化效果優于另外兩種算法，驗證了IA-CPSO 算法在求解無功優化問題時的有效性。

5 結論

電力系統無功優化是降低有功網損、改善電壓質量和保證系統安全運行的有效手段，在實際運行中被廣泛的應用。本文求解系統無功優化問題，采用了改進的粒子群算法：結合自適應慣性權重，并在尋優過程中加入早熟收斂判斷策略，對早熟粒子進行柯西變異操作。以IEEE 14 和IEEE 30 節點系統為例進行仿真，結果表明如下。

(1) 柯西變異操作能夠增強粒子群的多樣性，有效克服PSO 算法容易早熟、陷入局部極值的缺陷。

(2) 本文的改進粒子群算法具有較快的收斂速度，進一步降低了系統的網損，同時系統的節點電壓也更加穩定。