混凝土二維隨機骨料生成和投放的均勻性判別

柯俊宏， 李厚民， 汪 洋， 吳克洋

(湖北工業大學土木建筑與環境學院， 湖北 武漢 430068)

目前， 按照混凝土的研究尺度的不同， 學者們把混凝土研究劃分為微觀、 細觀和宏觀三個層次來進行研究。 在細觀層次上混凝土材料被認為是由粗細骨料、 界面層、 水泥砂漿、 孔隙以及微裂縫等組成的多相復合材料， 而且多相復合材料的特性對混凝土的非線性宏觀力學性能有較大的影響。 目前， 針對混凝土細觀問題的實驗研究對實驗條件要求較高， 如CT掃描儀等設備不易獲得[1]， 而理論模型的研究相對成熟[2]， 如劉家煜[3]基于格構模型對混凝土受拉斷裂過程進行模擬， 朱萬成[4]采用隨機力學特性模型模擬混凝土在單軸壓縮作用下的斷裂過程,程一磊[5]等采用隨機骨料模型模擬三點彎曲試驗， 然而現在的隨機骨料模型均只考慮骨料位置、 大小和形狀的隨機性， 忽略了骨料本身的均勻性問題。 因此， 在隨機骨料投放程序當中增加骨料均勻性判別手段對其細觀力學分析有著重要的意義。

1 二維隨機骨料的生成與投放

1.1 骨料級配理論

混凝土內骨料的含量可由Fuller顆粒級配理想曲線公式得出， Walraven運用概率統計的方法， 將三維的Fuller級配公式轉換為二維公式， 以此來求得各級配骨料所占的面積， 即：

PC(D0.053(D0/Dmax)4-0.012(D0/Dmax)6-
0.0045(D0/Dmax)8+0.0025(D0/Dmax)10]

(1)

其中:PC為截面上任一點具有直徑D

由各個級配的面積占比可計算得出各個級配對應的骨料個數[6]為

Ni=int(A·P0/Ai)

(2)

其中:Ni為某粒徑區間內的骨料個數，A為試件截面的總面積，P0為粒徑范圍區間為[Di,Di+1]的骨料出現的概率，Ai為某粒徑區間內骨料截面的有效面積。

由于研究方法的不同， 隨機骨料模型的骨料投放量的判別方法分為了骨料面積判別和骨料顆粒數判別兩種， 如呂釗[6]以骨料面積占比為依據控制骨料投放的量， 而王彩峰[7]則通過公式(2)計算得出各個級配骨料個數來進行骨料的投放。 本文分別編制了兩種不同判別方法的投放與生成程序， 以下詳細說明各個骨料生成與投放程序的算法。

1.2 二維圓形隨機骨料的生成算法

由蒙特卡洛法定義圓心坐標(x,y)及圓形半徑r為隨機變量來表征圓形骨料的隨機性， 具體投放步驟如下：

1)設置骨料投放的區域， 將試件截面的寬和高分別設置為Width,Height， 由式(1)、 (2)可按研究需要計算出各個級配的所占面積或骨料顆粒個數。 考慮到各個級配的界面層厚度不同， 且骨料影響范圍系數的值存在不確定性， 本文對各個級配的界面層厚度分別進行設置。

2)隨機生成圓形骨料的圓心坐標并判斷該圓形骨料是否在投放區域內。 將每一個骨料的坐標參數進行判斷， 各個骨料參數需滿足坐標與半徑之差大于零， 與半徑之和小于寬度和高度。 如不滿足判定條件則重新隨機生成對應參數， 如滿足則繼續運行。

3)判斷各個圓形骨料之間是否有重疊部分。 可利用循環遍歷的功能將每個新生成骨料和之前生成的所有骨料作對比， 如兩圓相離則繼續運行， 如兩圓相交或相切則返回步驟2)中重新隨機生成對應參數。

4)判斷生成的骨料是否已滿足生成要求。 如采用顆粒數判斷， 則由公式(2)計算得出各個級配的骨料數目， 在判定生成的骨料總數及各個骨料級配數目是否滿足要求， 如采用面積判斷， 則判斷生成骨料總面積占比是否滿足要求， 如滿足則繼續均勻性判斷， 如不滿足則返回步驟(2)重新生成對應參數。

5)輸出各項參數繪制圖形。

1.3 二維橢圓形隨機骨料生成算法

為表征橢圓骨料形狀和位置的隨機性， 將其形心坐標(x,y)， 長軸長度(a)， 短長軸之比(c)以及旋轉角度(cita)定義為隨機參數， 具體投放過程如下：

1)設置橢圓形骨料的投放區域。 設置截面寬高長度， 考慮到橢圓形骨料形狀不宜過于扁平， 為避免畸形骨料的產生， 橢圓短長軸之比的隨機區間設置為(0.5， 0.8)， 由于橢圓的對稱性， 其旋轉角度區間可設置為(0， 180)。

2)按照步驟1)中的隨機區間生成形心坐標(x,y)， 長軸長度(a)， 短長軸之比(c)以及旋轉角度(cita)五個隨機參數。

3)判斷生成的橢圓是否在投放區域內。 平面內橢圓可以簡化為一般方程， 即：

((x-m)cosθ+(y-n)sinθ)2/a2+
((m-x)sinθ+(y-n)cosθ)2/b2=1

由此可以將問題轉化為判斷橢圓方程和邊界線段方程聯立是否有實數解， 如無實數解則生成的橢圓均在投放區域內， 反之則返回步驟2)重新生成橢圓方程。 方程求解可運用Python中的solve模塊， 但是考慮到solve模塊運行速度不佳， 為避免運算時間較長， 可在求解前進行篩選， 采用與圓形骨料類似的方式， 判斷以a×c為半徑的圓形骨料是否在投放區域內， 如在投放區域內， 再通過solve去求解， 由此可以過濾掉部分不滿足的骨料， 提高計算效率。

4)判斷各個橢圓之間是否有重疊部分。 對于兩個橢圓的位置關系的判定方法有多種， 如橢圓內接多邊形法， 橢圓外接多邊形法等， 這些方法是通過對比多邊形頂點和橢圓焦點的距離和來判斷兩橢圓位置關系， 然而精確度并不高。 目前最準確最常用的判斷方法是由劉洋[8]提出的廣義特征多項式法， 通過比較廣義特征多項式的根的符號判斷橢圓的位置關系。 但是求取特征多項式的過程中涉及到多次矩陣運算， 且運算時間較長， 運算精度不易控制。 因此本文并未采用該方法判斷兩個橢圓的位置關系。 考慮到橢圓可由圓沿某一個方向按照某一個比例壓縮得到， 本文采用橢圓外接圓的方法， 以橢圓長軸長度為半徑， 形心為圓心做圓， 通過上述圓形骨料的位置關系判別方法判斷， 雖然投放最大效率有所降低， 但運算時間也相應減少， 且基本符合投放需求。 將新生成橢圓參數與之前所有已生成的橢圓參數做判斷， 若該橢圓參數滿足判定條件則向下運行否則返回步驟2)重新隨機生成五個隨機參數。

5)判斷投放量是否滿足要求， 判斷方法同圓形投放相同， 如滿足則進行均勻性判斷， 如不滿足則返回步驟2)重新生成各項參數。

6)輸出橢圓形各項參數繪制圖形。

2 骨料均勻性判別方法

目前隨機骨料的投放程序缺乏對骨料均勻性的判定， 本文將投放區域劃分為上中下三個區域， 分別計算各個區域內投放骨料的面積占總投放骨料面積的比值， 若比值范圍均為30%～36%， 即認為骨料投放較為均勻。 并基于Python語言編制對應的二維圓形， 橢圓形的隨機骨料模型投放程序及其面積計算程序， 使程序產生的骨料既表征其位置和形狀大小的隨機性也保持了混凝土中骨料的均勻性。

2.1 圓形骨料均勻性判別方法

如選擇截面為150 mm×150 mm的混凝土試件， 將其劃分為等距的上中下三個投放區域， 每個區域截面為150 mm×50 mm。 向其中投放三級配骨料， 骨料投放區間分別為(40,80)mm；(20,40)mm；(5,20)mm。 分別計算三個投放區域內已投放完成的骨料的面積與投放骨料總面積之比， 若三個區域的比值均在30%～36%之間則判定為均勻性較好。 考慮到骨料不僅單獨存在于某一個區域還有跨越多個區域的情況， 需分類討論， 具體步驟如下：

1)按照骨料形心的縱坐標將骨料圓心位置劃分為處于上、 中、 下區域三類。

2)將各類骨料按照跨越區域情況再進行分類討論， 如骨料圓心處于上區域， 則可分為骨料全部處于上區域或者骨料跨越上中兩區域， 同理， 骨料圓心處于下區域可分為全部處于下區域或跨越中下兩區域， 考慮到時骨料粒徑最大為80 mm而每個區域高度為50 mm， 所以只有圓心處于中區域的骨料才可能同時跨越上、 中、 下三個區域， 因此將圓心處于中區域的骨料分為全部處于中區域、 跨越上中區域、 跨越中下區域以及跨越上、 中、 下區域四種情況。

3)按照不同情況進行求解。 當骨料僅處于某一個區域時， 根據圓形面積公式求出該骨料面積即可， 當骨料跨越兩個區域時， 如圖1所示， 骨料在中區域的面積為扇形OAB減去三角形OAB的面積， 角AOB可由OA和OD的長度由反三角函數求得， 由此易得扇形OAB面積， 進而求出骨料在中區域的面積， 骨料于上區域的面積為該骨料面積減去在中區域的面積。 當骨料跨越三個區域時， 同理通過扇形OAB減去三角形OAB的面積求出該骨料在上區域的面積， 通過扇形OCD減去三角形OCD的面積求出該骨料在下區域的面積， 用該骨料總面積減去上、 下區域的面積即求得中區域的骨料面積。

圖 1 圓形骨料分布情況示意圖

4)遍歷所有生成的骨料， 按照上述方法分別計算得出上、 中、 下三個區域內的骨料面積， 與骨料投放的面積做商， 求得各個區域內的面積占比。 若面積占比在30%～36%之間， 則判定其投放較為均勻。 均勻性判斷的流程如圖2所示。

圖 2 均勻性判定流程圖

2.2 橢圓形骨料均勻性判別方法

同圓形骨料相同， 選擇截面為150 mm×150 mm的試件為例， 三級配骨料， 具體求解方法如下：

1)按照骨料形心的縱坐標將骨料圓心位置劃分為處于上、 中、 下區域三類。

2)根據骨料跨越區域情況分類討論， 與圓形骨料不同：橢圓形骨料不能僅憑形心和半徑的關系來判斷是否有跨越區域的情況， 本文選擇將橢圓轉化為一般方程， 通過與y=100和y=50兩個分界線求解， 若存在實數解即存在跨越區域情況， 若不存在實數解說明該骨料僅存在于形心所在區域。

3)根據不同情況分別計算骨料在各個區域的面積。 當骨料跨越兩個區域時(圖3)， 考慮到目前針對于部分橢圓面積的求解上沒有一個特定的公式， 本文采用微積分思想， 用橢圓一般方程和y=100求解， 得出的兩個實數解即為A、 B的橫坐標， 將A、 B之間劃分為20段， 將部分橢圓面積轉化為20個直角梯形面積之和。 由此可以求出橢圓在上區域的面積， 通過橢圓面積減去在上區域的面積即可求得其在中區域的面積。 當骨料跨越三個區域時(圖3)， 同理采用上述方法求得骨料在上、 下區域內的面積， 再通過骨料面積減去上、 下區域的面積求得骨料在中區域的面積。

圖 3 橢圓形骨料分布示意圖

4)遍歷所有的橢圓形骨料， 計算三個區域的骨料面積， 判定其是否投放均勻。

3 骨料投放及均勻性判別實例

3.1 兩種判斷方法生成骨料實例

以在截面尺寸為150 mm×150 mm的混凝土試件中投放三級配骨料為例， 骨料級配區間分別為(40,80)mm；(20,40)mm；(5,20)mm， 其界面層厚度分別設置為0.5 mm， 0.4 mm， 0.3 mm， 假設投放面積百分比為62.8%， 通過式(1)、 (2)計算得出各個骨料級配的顆粒數目， 計算結果如表1所示， 生成模型如圖4所示；同理， 選擇同樣級配的骨料采用面積法投放， 計算結果如表2所示， 生成模型如圖5所示；對照表1表2可以看出兩種判別方式的投放程序均能完成骨料投放過程， 但橢圓形顆粒數判斷方法投放模型的各個級配的骨料面積均比預定面積較低， 可適當調整各級配橢圓形骨料的有效面積， 在根據式(2)算出更為準確的骨料顆粒數。

表1 顆粒數判斷方法計算結果

圖 4 顆粒數判斷方法生成模型

表2 面積占比判斷方法計算結果

3.2 加入骨料均勻性判斷前后對比

仍選擇試件截面為150 mm×150 mm， 三級配骨料， 骨料級配區間分別為(40,80)mm；(20,40)mm；(5,20)mm， 其界面層厚度分別設置為0.5 mm， 0.4 mm， 0.3 mm， 各級配投放面積占比按表2所述， 本文隨機生成20組未經過均勻性篩選的骨料模型數據， 分別計算其三個區域內的骨料面積占比， 其中達到均勻性判定要求的圓形骨料僅有4組， 達到均勻性判定要求的橢圓形骨料僅有6組， 綜合來看符合均勻性要求的僅占25%，

將各個區域骨料面積的離散程度用方差表示， 其均值選擇為33.33%， 部分未篩選骨料各區域占比面積方差高達0.069， 圓形骨料平均方差為0.0297， 橢圓形骨料平均方差為0.019， 然而進行均勻性篩選后的骨料各個區域的面積占比方差幾乎不會超過0.01。 由此可見隨機生成骨料的均勻性不高， 各區域骨料面積離散程度較高， 因此進行篩選是非常有必要的。 本文從20組數據中選取其中較為典型的兩組如表3所示， 使用該數據生成對應的骨料模型。 其中， 不進行均勻性判斷所生成的骨料模型如圖5所示， 通過均勻性篩選之后的骨料模型如圖6所示。 由表3可以看出未經過均勻性篩選的骨料投放到各個區域的面積占比方差較大， 離散性較高， 所以其均勻性較差， 而篩選完成后各個區域骨料分布較為合理， 各區域面積占比方差不大于0.01， 所生成的隨機骨料既滿足位置和形狀的隨機性， 也可以滿足骨料分布的均勻性。

圖 5 面積占比判斷方法生成模型

圖 6 均勻性篩選的骨料模型

表3 篩選前后各區域骨料面積占比

4 結論

1)根據不同的研究需求， 將隨機骨料投放量的限定條件分為骨料顆粒數判斷和骨料面積占比兩種， 并編制不同形狀、 不同級配的隨機骨料投放程序。 以三級配混凝土為例， 顆粒數判斷和面積判斷方法完成的骨料投放均可滿足投放需求。

2)在原來隨機骨料生成的基礎上， 通過區域面積占比對其骨料均勻性進行判定， 并編制對應的程序， 使投放的骨料既滿足其位置和形狀的隨機性也滿足其分布的均勻性。