溶液混合問題“反比關系”的分析與教學研究

鄭煜芬 盧建川

[摘? 要] 文章通過揭示兩種不同濃度的溶液混合后濃度改變的實質，分析“混配的原溶液的質量比等于兩原溶液與目標溶液的濃度差的絕對值的反比”的原因;對于濃度混合問題的教學，筆者通過設置系列直觀性問題，為學生理解溶液混合問題做鋪墊，利用溶質、溶劑分離圖，直觀表征，遷移應用，突破難點，促進學生對溶液混合問題的直觀認識，達到知悉算法、理解算理的教學目標。

[關鍵詞] 溶液混合;濃度差;直觀化;難點分化

小學數學六年級百分數應用題教學課題中，兩種不同濃度溶液的混合問題是一個教學難點問題。如：現有濃度為10%的糖水20克，再加入多少克濃度為30%的糖水，可以得到濃度為22%的糖水？

不少教師在講解此類問題時，先使用代數法解決，將問題一般化：設濃度為a%的糖水x克，再加入y克濃度為b%的糖水，可以得到濃度為c%的糖水（假設b>a）。列出如下方程并化簡：a%·x+b%·y=c%·（x+y）？（c%-a%）·x=（b%-c%）·y？x∶y=（b%-c%）∶（c%-a%）。

由此直接提煉出“混配的原溶液的質量比等于兩原溶液與目標溶液的濃度差的絕對值的反比”這一結論，并將其固化為一個數學計算技巧“十字交叉法”或者“濃度三角”，從而根據這一工具運用算術法解題，如圖1。

如此教學，學生并不明白“反比”的道理所在，死記硬背比例公式和解題技巧，不知所以然地套模式解題。

混配溶液問題算術法的難點在于對“混配的原溶液的質量比等于兩原溶液與目標溶液的濃度差的絕對值的反比”這一結論的理解。本文通過分離溶質與溶劑，直觀地分析濃度變化的實質，闡述“反比”的原因，并設置系列直觀問題突破教學難點。

■一、兩種不同濃度的溶液混合后濃度改變的實質

先看溶液質量不變情況下濃度變化的表現與理解。要升高某一溶液的濃度，則根據濃度的計算公式，溶質在溶液中的占比要提高，為了不改變溶液的質量，則要將溶液中的部分溶劑替換為溶質。如圖2，要將濃度為a%的溶液的濃度升高為b%，則需要將[（b%-a%）×溶液質量]的溶劑替換為溶質，即將圖2中大括號標記的溶劑替換為溶質。對于降低溶液的濃度也可類似地進行討論，不同的是要將其中的部分溶質替換為溶劑。（圖示用長柱表示溶液，其中白色表示溶劑，灰色表示溶質）

再來說兩種不同濃度的溶液混合。根據生活經驗，一杯很甜的糖水與一杯很淡的糖水混合后，新的糖水就沒那么甜也沒那么淡。其實這反映了不同濃度的溶液的混合問題，即高濃度的溶液與低濃度的溶液混合后，新溶液的濃度勢必介于這兩個濃度之間。

為什么會發(fā)生濃度的改變呢？其實在于兩種不同濃度的溶液混合后，高濃度的溶液提供了一定量的溶質給低濃度的溶液，而低濃度的溶液則提供了等量的溶劑給高濃度的溶液，即高濃度溶液的部分溶質與低濃度溶液的部分溶劑等量交換了。

取A、B兩個容器，A容器裝滿高濃度溶液（記為溶液1）、B容器裝滿低濃度溶液（記為溶液2），將兩種溶液混合（記為溶液3），則溶液3中的溶質為溶液1和溶液2的溶質和，溶劑為溶液1和溶液2的溶劑和。由于溶液的濃度與溶液的質量無關，將混合后的溶液倒回A容器（記為溶液4）、B容器（記為溶液5），則溶液4、溶液5與溶液3的濃度是相同的，如圖3所示。

將A容器原來的溶液1與現在的溶液4作對比，B容器原來的溶液2與現在的溶液5作對比，則溶液4比溶液1多了溶劑（少了溶質），溶液5比溶液2多了溶質（少了溶劑）。造成這種差別的原因在于溶液1和溶液2混合后，溶液1提供了部分溶質給溶液2，溶液2提供了等量的溶劑給溶液1，即溶液1的部分溶質與溶液2等量的溶劑“交換”了，以達到彼此之間溶質質量與溶液質量的比值相等，即溶液1的濃度降低了，溶液2的濃度升高了，最終等于混合后溶液3的濃度，如圖4所示。在這過程中，實質上是運用“關系映射反演”原理，將兩溶液混合后濃度改變的問題“化歸”為一種溶液濃度改變的問題：溶液1的濃度改變?yōu)槿芤?的濃度，溶液2的濃度改變?yōu)槿芤?的濃度，而溶液4、溶液5與溶液3的濃度是相同的，混合后溶液的濃度自然為溶液3的濃度。

所以，兩種不同濃度的溶液混合后濃度發(fā)生了改變，實質在于高濃度的溶液提取了部分溶質與低濃度的溶液“交換”了溶劑，以達到彼此的濃度相等。在此過程中，高濃度的溶液換部分溶質為溶劑，濃度降低了;低濃度的溶液換等量的溶劑為溶質，濃度升高了，最終達到兩者的濃度相等。因此，兩種不同濃度的溶液混合后，混合溶液的濃度一定介于兩個混配的溶液的濃度之間。

■二、“反比關系”的分析

要將兩種不同濃度的溶液配制成一定濃度（介于原來兩個濃度之間）的溶液，則“混配的原溶液的質量比等于兩原溶液與目標溶液的濃度差的絕對值的反比”，這一結論的直觀道理在哪兒？

為了方便表達，設低濃度的溶液濃度為a%，高濃度的溶液濃度為b%，要配置為目標溶液濃度為c%，對應的質量為x的低濃度溶液與質量為y的高濃度溶液，則混合后溶液的質量為x+y。

將混合后溶液再分為質量x與質量y的兩份溶液，則這兩份溶液的濃度都為c%。根據上述分析，可以將問題“化歸”為質量為x的a%溶液改變?yōu)橘|量為x的c%溶液，質量為y的b%溶液改變?yōu)橘|量為y的c%溶液。

a%溶液的濃度要上升為c%，需要將（c%-a%）·x的溶劑（記為溶劑1）換為溶質;b%溶液的濃度要降低為c%，需要將（b%-c%）·y的溶質（記為溶質1）換為溶劑，如圖5。

所以，要使a%溶液與b%溶液混合后濃度剛好為c%，則溶劑1需等于溶質1，混合后a%溶液提供溶劑1與b%溶液交換溶質1，使得兩者的濃度都變?yōu)閏%，混合溶液自然也為c%，這也是代數法最后兩步的本質所在。

因此，只要低濃度溶液的質量與高濃度溶液的質量的比值等于“高濃度-目標濃度”與“目標濃度-低濃度”的比值，混合后兩種濃度的溶液就能各取所需，使得最終濃度剛好為目標濃度。這就是結論“混配的原溶液的質量比等于兩原溶液與目標溶液的濃度差的絕對值的反比”。教師在教學過程中應該帶領學生看清結論的緣由，這樣學生才能知其然并知其所以然，在解題過程才能抓住本質，各種變式題目都萬變不離其宗。

■三、基于分化難點的直觀化教學方案

對于濃度混合問題，使用算術法解題難度較大，小學生不容易理解，在教學過程中教師應將難點分化，為學生搭建解決問題的階梯。學生要充分理解濃度混合問題，需掌握以下幾點：

（1）兩溶液混合后，高濃度溶液為低濃度溶液提供溶質，低濃度溶液為高濃度溶液提供溶劑，以達到彼此的濃度相等;

（2）混配的原溶液的質量比等于兩原溶液與目標溶液的濃度差的絕對值的反比;

（3）混合后溶液的濃度只由混配溶液的比例決定。

直接經驗是小學生學習的基礎，而肉眼看不出溶液混合的內在過程，但是我們可以借助一些相類似的直觀情境，設置直觀的問題幫助學生初步體會溶液混合問題中“交換”達到目標含量的思想。

1. 鋪墊性直觀問題

為幫助學生理解“溶液混合后，高濃度溶液為低濃度溶液提供溶質，低濃度溶液為高濃度溶液提供溶劑，以達到彼此的濃度相等”，利用直觀性原則，為學生設置肉眼能看出并判斷的問題。以下例子可供教師參考：

例1：如圖6，小紅家想養(yǎng)金魚，現有兩種金魚優(yōu)惠套餐。套餐1：買6只紅色金魚送2只藍色金魚;套餐2：買5只藍色金魚送3只紅色金魚。為了美觀，小紅最少需要買多少個套餐1、套餐2，才能使得藍色金魚與紅色金魚各占一半？

此問題，學生可以通過畫圖直觀分析解決問題，由于套餐1和套餐2都只有8只金魚，要使得藍色金魚與紅色金魚各占一半，那么購買后將金魚重新分配，最終一定能使得每個套餐都是4只紅色金魚、4只藍色金魚。

由圖6可知，套餐1的紅色金魚比4只多2只，套餐2的藍色金魚比4只多1只，那么套餐1多出的2只紅色金魚需要換為2只藍色金魚，而每個套餐2換1只藍色金魚為紅色金魚即滿足紅藍金魚各占一半，所以需要購買2個套餐2，才能提供2只藍色金魚與套餐1交換，使得每個套餐都是4只紅色金魚、4只藍色金魚。如圖7。所以最少需要買1個套餐1、2個套餐2。

這一例子學生容易理解，通過“交換”達到目標含量的道理，但學生很難遷移到濃度問題中，因此，教師還可以進一步設計如下問題：

例2：如圖8，為鍛煉學生的實踐能力，教師設計照料水培植物的比賽，為公平起見，教師為學生分發(fā)水培種子。現有兩種質量相等裝有種子的水杯，1號水杯有14顆種子，2號水杯有17顆種子，該教師想要每個杯中的種子都是15顆且總質量相等，至少需要多少個1號水杯、2號水杯才能配置想要的水杯呢？具體如何操作？

類似例1分析可知，需要1號水杯2個，2號水杯1個。要使總質量仍相等，則需要在2個1號水杯中各提取一顆種子質量的水給2號杯，即2個1號水杯都用一顆種子質量的水跟2號水杯換一顆種子。

在此例子中，教師應引導學生明白，要想使得種子的含量都是目標個數，需要提供種子個數比目標個數多的水杯型號以及比目標個數少的水杯型號，將多出來的種子跟需要種子的水杯換取等量的水才能使得水杯的總質量不變，而只有當所有水杯中多出的種子個數等于所有水杯中需要的種子個數，交換種子和水后才能剛好是種子含量都是目標個數且質量不變。

繼續(xù)追問：上述兩道例題中如果沒有“最少”“至少”的字眼，還能如何解決問題？規(guī)律是什么？學生不難發(fā)現，只要例1中“套餐1的個數∶套餐2的個數=1∶2”，例2中“1號水杯的個數∶2號水杯的個數=2∶1”就能解決問題。從而為溶液混合問題中“混配的原溶液的質量比等于兩原溶液與目標溶液的濃度差的絕對值的反比”這一事實埋下基礎。

2. 直觀表征，遷移應用

有了上述的例子，學生就不難理解微觀分子溶液混合的問題了。在教學過程中，可以假設溶質沒有溶解，將溶質與溶液分離，化抽象為具體，幫助學生直觀分析。對于溶液混合問題，要求混合溶液的相關量（正推過程）顯然會比求混合前溶液相關量（逆推過程）容易理解。在教學過程中應遵循循序漸進原則，先讓學生接觸求混合溶液相關量的類型題，再接觸求混合前溶液相關量的類型題。以下例子可供教師參考：

例3：現有濃度為10%的糖水20克，加入濃度為30%的糖水30克，濃度變?yōu)槎嗌伲?/p>

要求混合溶液的濃度，則需知道混合后的溶質質量與溶液質量。學生不難理解混合溶液中溶質的質量為混合前各溶液的溶質質量之和，混合溶液的質量為混合前各溶液質量之和。根據濃度公式計算，混合溶液中溶質質量為20×10%+30×30%=11（克），溶液質量為20+30=50（克），從而混合溶液的濃度為■×100%=22%。

此例題已經蘊含“混配的原溶液的質量比等于兩原溶液與目標溶液的濃度差的絕對值的反比”這一事實，但學生一般不會從這一角度解決問題，在此例題幫助學生挖掘這一知識點不合適。但通過對例3進行變式，有了上述直觀例子做鋪墊，在教師引導下學生不難發(fā)現這一知識點，理解這一知識點后，回頭看例3就了一種解決方法，有利于學生加深理解。

例4：現有濃度為10%的糖水20克，再加入多少克濃度為30%的糖水，可以得到濃度為22%的糖水？

對于此類題型，可以假設溶質尚未溶解，分離溶質與溶劑，根據濃度可知溶質與溶劑的比例，從而畫出圖像，遷移例1、例2的直觀經驗幫助解題。

要得到濃度為22%的糖水，則10%的糖水、30%的糖水混合后濃度都變?yōu)?2%。根據例2、例3的經驗，學生已經有通過“交換”達到目標含量的思想。20克10%的糖水濃度要升高為22%，需要將（22%-10%）×20=2.4（克）水換為糖，而1克30%的糖水濃度要降低為22%，需要將（30%-22%）×1=0.08（克）糖換為水。

要使得10%的糖水與30%的糖水混合后濃度為22%，則需要30%的糖水多出的糖剛好等于20克10%的糖水多出的水，混合后30%的糖水多出的糖與10%的糖水多出的水“交換”，彼此的濃度才剛好為22%，混合后糖水的濃度自然為22%。如圖9（黑色表示糖，白色表示水），因為1克30%的糖水只能提供0.08克糖進行“交換”，所以30%的糖水需要提供：2.4÷0.08=30（克）。

進而提問學：生如果濃度為10%的糖水為a克呢？

只要30%的糖水濃度降為22%需“交換”的糖剛好等于10%的糖水濃度升為22%需要“交換”的水，將兩者混合即可各取所需，溶液成為22%的糖水，列出方程。設需要濃度為30%的糖水為b克，則（22%-10%）·a=（30%-22%）·b，即a∶b=（30%-22%）∶（22%-10%）。至此，學生就能理解發(fā)現“混配的原溶液的質量比等于兩原溶液與目標溶液的濃度差的絕對值的反比”這一結論了。

對于溶液混合的問題，學生還應明白“混合溶液濃度只由被混配溶液比例決定”，對于此知識，舉個數字與例3、例4不同的例子，學生對比便能發(fā)現。如果學生能明白“混配的原溶液的質量比等于兩原溶液與目標溶液的濃度差的絕對值的反比”這一結論，自然也能明白其中的道理。混配溶液的比例一旦確定，濃度差比例就確定，由于混配溶液的濃度一定，混合溶液濃度介于兩者之間，所以混合溶液的濃度也就確定了。

如此授課，既符合學生的認知發(fā)展，也能讓學生對溶液混合問題的理解更加深刻。通過分離溶質、溶劑畫圖，“交換”溶劑、溶質達到目標濃度，有利于溶液混合過程在學生頭腦中形成圖形表征，獲得更加直觀的感受。