一類矩陣方程約束最小二乘解的極秩

吳恒飛，張宗標(biāo)

（亳州學(xué)院 電子與信息工程系，安徽 亳州 236800）

多年來，矩陣方程（組）解的極大秩、極小秩問題，一直是研究的熱點問題，且取得了比較豐富的成果.其中文獻［1］利用矩陣的奇異值分解和Frobenius 矩陣范數(shù)的性質(zhì)，得到方程組AX=B，XC=D的極值秩和秩約束下的解表達式；文獻［2］在X和Y為Reflexive （or anti-reflexive）矩陣和Hermitian reflexive（or anti-reflexive）矩陣的條件下，討論了A-BXC和D-EYE*的矩陣表達式的極秩以及D-EYE*的極值慣性，并對結(jié)果進行了相關(guān)應(yīng)用；文獻［3］討論了四元數(shù)矩陣方程AXA*+BYB*=C通解的復(fù)分量極秩公式；文獻［4］討論了在任意除法環(huán)上的線性矩陣方程A1X=C1，XB2=C2，A3XB3=C3，和A4XB4=C4的公共解的最大和最小秩的公式及其相關(guān)應(yīng)用.

四元數(shù)矩陣方程AXA*=B在工程設(shè)計、信息論等科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，文獻［5］討論了方程AXA*=B的Hermitian 解中子矩陣的極大秩和極小秩公式及相關(guān)應(yīng)用，文獻［6］討論了方程AXA*=B在三對角加箭形矩陣約束下的Hermitian 解及最佳逼近解，文獻［7］研究了四元數(shù)矩陣方程AXA*=B的非負定解存在的充要條件及通解表達式，給出了非負定解的極大極小秩公式及取得極秩的條件.

若四元數(shù)矩陣方程CX=D有解，則稱方程CX=D是相容的，筆者主要討論四元數(shù)矩陣方程：

相容約束條件下的最小二乘解，并給出最小二乘解的極大秩、極小秩公式，其中A∈Hm×n，B∈Hm×m，C∈Hm×n，D∈Hm×n，是已知矩陣，X∈Hn×n是未知矩陣.

表1 符號說明

1 四元數(shù)矩陣方程AXA＊=B 在方程CX=D 相容條件下的最小二乘解

引理1［8］四元數(shù)矩陣方程（2）相容的充要條件是CC+D=D，有解時，一般表達式為：

其中Y 是適當(dāng)階數(shù)的任意四元數(shù)矩陣.

引理2［9］A∈Hm×n，B∈Hn×m，C∈Hm×m為已知矩陣，X∈Hn×n是未知矩陣，矩陣方程AXB=C 的最小二乘解可以表示為：

其中U，V 是適當(dāng)階數(shù)的任意四元數(shù)矩陣.

引理3［10］設(shè)A∈Hm×n，B∈Ht×n，C∈Hm×s為任意矩陣，關(guān)于矩陣A 的廣義逆A+和A 的左、右誘導(dǎo)算子分別為LA=I-A+A 和RA=I-AA+，具有如下性質(zhì)：

（1）A+=（A*A）+A*=A*（AA*）+；

（2）LA=（LA）2=（LA）*，RA=（RA）2=（RA）*；

（3）LA（BLA）+=（BLA）+，（RAC）+RA=（RAC）+.

定理1若四元數(shù)矩陣方程（2）有解，在（2）有解約束條件下四元數(shù)矩陣方程（1）的最小二乘解可表示為：

其中U，V 是適當(dāng)階數(shù)的任意矩陣.

證明由引理1 可知，若方程（2）是相容的，則其一般解為X=C+C+（I-C+C）Y，其中Y 是任意的矩陣，有：

證畢.

定理1 給出四元數(shù)矩陣方程AXA*=B 在特殊約束條件下的最小二乘解的表達式，結(jié)果豐富了方程AXA*=B 的約束最小二乘解的理論.

2 最小二乘解的極大極小秩

引理4［11］已知A∈Hm×t，B∈Hm×k，C∈Hl×n是任意矩陣，則下列秩等式成立：

由引理4 可得引理5：

引理5已知矩陣A∈Hm×t，B∈Hm×k，C∈Hl×n，D∈Hs×k，C∈Hl×p是任意矩陣，則下列秩等式成立：

定理2 給出了四元數(shù)矩陣方程（1）在方程（2）相容約束條件下的最小二乘解的極秩公式，結(jié)果擴展了方程（1）的約束最小二乘解的極秩理論.

3 結(jié)語

本文討論了四元數(shù)矩陣方程（1）在方程（2）相容條件下的最小二乘解及其極秩問題.方程（2）相容條件下，利用矩陣Moore-Penrose 廣義逆，由定理1 獲得了方程（2）最小二乘解表達式；利用分塊矩陣Gaussian 變換和秩方法，由定理2 獲得了方程（2）最小二乘解的極大、極小秩公式.文章結(jié)果擴展了約束四元數(shù)矩陣方程解的極秩理論，為約束四元數(shù)矩陣方程解的極秩問題提供參考.