全平面上含混合核的Hilbert 型不等式及應用

有名輝，范獻勝，何振華

（1.浙江機電職業技術學院 數學教研室，浙江 杭州 310053；2.廣西財經學院 信息與統計學院，廣西 南寧 530003）

其中c0=0.915 9…為Catalan 常數［2］. 2013 年，陳小雨等研究了式（4）的非齊次情形，并給出了參數推廣［3］.另外，劉瓊研究了式（4）的推廣［4］. 與式（3）和式（4）的相關聯的其他文獻可參照文獻［5-8］.值得指出的是，在Hilbert 型不等式誕生后的百余年間，通過不斷創新核函數，研究者們還給出了大量新的Hilbert 型不等式［9-20］. 本文將建立含有新核的全平面上的Hilbert 型不等式，即：

其中μ（x）=|x|2p-1，v（y）=|y|q-1.更一般地，筆者將構建多參數的積分核函數，建立式（5）、式（6）的推廣形態，首先給出若干引理.

1 引理

引理1設γ＞0，λ≥0，β1，β2＞-λ，β1+β2=2n-λ+1. 且有：

將式（15）代入式（10），可得式（8）.同理可得式（9）.

引理2設γ＞0，λ≥0，β1，β2＞-λ，β1+β2=2n-λ+1. k（x，y）及C（β1，β2，λ，γ，n）由引理1 定義. ε 是充分小的正數，則當ε →0+時，有：

由此可知引理3 成立.

2 主要結果

3 推論