同步旋轉坐標系下的BLDCM滑模觀測器算法設計

（東華大學機械工程學院，上海 201620）

無刷直流電機具有結構簡單、調速性能好、運行效率高、控制簡單、維護方便等優點，已經在許多工業領域得到廣泛應用[1-2]。工業上通常采用位置傳感器實時獲取電機轉子位置和速度信息，以實現高效的矢量控制，位置傳感器帶來了安裝成本高、信號可靠性差、惡劣環境下穩定性差等問題。因此，無位置傳感器控制技術可以有利于電機驅動系統的可靠性、簡化系統結構、降低運行環境要求，具有重要的研究意義[3-5]。

目前比較有效的轉子位置估計方法主要有兩種。一種是通過觀測電機反電動勢或磁鏈實現位置估計，另外一種是基于轉子的凸極效應的高頻信號注入法。文獻[6]提出了一種基于一類特殊設計的擾動觀測器的反電動勢觀測器，該方法不含微分環節且不需要加入低通濾波器。文獻[7]針對滑模觀測器的抖振問題，使用Signmoid函數代替滑模觀測器中的符號函數。文獻[8]提出了一種基于兩級濾波的滑模觀測器。文獻[9]提出了一種結合自適應律的滑模觀測器算法，使系統具備良好的控制性能。文獻[10]采用了一種高頻信號注入的方法檢測轉子位置，該方法在低速時具有優良的控制性能。

為了進一步簡化矢量控制系統，提高控制系統的可靠性，本文直接在同步旋轉坐標系建立滑模觀測器算法。觀測器通過電機電流等信息估算出擴展反電動勢，并且通過鎖相環技術從估算的d，q軸反電動勢中提取轉子的速度與角度信息。本文也針對滑模觀測器的高頻抖振問題，采用飽和函數代替符號函數。與傳統基于兩相靜止坐標系建立的滑模觀測器算法相比，本算法中的變量大多為直流量，且矢量控制系統本身就需要計算電機d，q軸電流，不需要增加額外的坐標變換計算。實驗結果驗證了本文所提的滑模觀測器算法的正確性與可行性。

1 滑模電流觀測器設計

根據矢量控制坐標變換原理，無刷直流電機在同步旋轉坐標系下的電壓方程為

式中：id，iq分別為電機d，q軸電流；R為電機繞組電阻；Ld，Lq分別為電機繞組 d，q軸電感；ωe為電機電角速度；Ed，Eq分別為電機d，q軸反電動勢；Ψf為永磁體磁鏈。

由于電機d，q軸反電動勢中包含電機的轉速信息，為了便于獲得準確的反電動勢信息，需要重寫電壓方程為電流狀態方程：

為了獲得式（2）中反電動勢的值，設計如下滑模觀測器：

式（3）和式（2）相減可得電流誤差系統的狀態方程：

可將式（5）寫成向量形式：

采用滑模觀測器對電流進行估計，定義滑模面函數為

當滿足下列條件時，滑模觀測器進入滑模模態：

合適的滑模增益使得式（8）成立，系統進入滑模模態，此時

將式（9）帶入式（6）中，可得：

由式（10）可知，反電動勢的觀測值E是一個不連續的開關信號，需要將其進行低通濾波，得到反電動勢的等價控制量，即

根據式（8）可以計算出滑模增益k的表達式為

式中：n為正整數。

2 滑模觀測器的抖動抑制

根據上述分析可知，由于滑模控制在滑動模態下伴隨著高頻抖振，所以由滑模觀測器估算的擴展反電動勢中也會存在高頻抖振現象。并且基于反正切函數的轉子位置估計方法中的除法運算會進一步放大高頻抖振的誤差，從而增大估計的角度誤差。上述在同步旋轉坐標系下的滑模觀測器同樣存在抖動問題，為了抑制滑模抖動，本文采用飽和函數sat(s)代替符號函數sgn(s)，其表達式為

式中：Δ為“邊界層”。

在“邊界層”外，采用切換控制；在“邊界層”之內，采用線性反饋控制。不同的a值對應的sat(s)函數波形圖如圖1所示，取合適的a值可以有效抑制抖振現象。

圖1 不同的a值對應的sat（s）函數波形圖Fig.1 Waveforms of saturation function for different a values

3 基于鎖相環的轉子位置估計

由式（11）可知，由改進的滑模觀測器觀測得到的q軸反電動勢值中包含了轉子的轉速信息，從而可得估計的轉子電角速度為

根據式（14）估算的定子速度通過積分運算即可獲得轉子位置信息。但是由于式中的永磁體磁鏈Ψf不是一個固定值，環境溫度和負載等會影響Ψf的大小。所以由式（14）估算的速度值會存在很大誤差。

為了使控制系統獲得更好的動態性能和魯棒性，本文通過采用鎖相環技術對轉子位置進行估計。鎖相環技術具有很好的動態響應性能，能夠提高系統的高頻抗干擾能力，并且具有很好的跟蹤性能，可以進一步抑制滑模觀測器的抖動問題。

由于無刷直流電機的三相繞組是對稱的，所以設三相反電動勢為

式中：E為反電動勢的幅值；θe為電機實際相角。

課堂中的所有元素都應該相互協同合作的，教師和學生作為課堂中的兩個參與者，師生之間的互動交流是不可缺少的。縱觀當前的高中英語課堂，教學氛圍比較壓抑，師生之間的交流不多，一般總是教師單方面的滔滔不絕的講述，學生沒有參與其中，只是被動的接受知識灌輸，實際上只有在師生之間友好交流的過程中，才能帶動學生參與學習，達到高效教學的效果，同時也增進了師生感情。因此，教師應該注重搭建師生互動平臺，在教學中要設計更多師生之間交流反饋的機會，比如可以開展小組合作學習，讓學生自主討論出一篇課文中比較難以理解的詞匯釋義或者句型語法，然后教師再引導他們進行解決，這有助于鍛煉學生的感知力和表達能力，真正實現師生協調發展。

將式（15）的三相反電動勢轉換到同步坐標系中，即

將式（15）代入式（16）可得：

根據坐標轉換原理，在同步坐標系下的d軸反電動勢Vd=0。所以可以根據式（17）構造的閉環PI調節器得到轉子的位置信息，實現框圖如圖2所示。

圖2 轉子位置估計實現框圖Fig.2 Implementation block diagram of rotor position estimation

圖3 鎖相環傳遞函數框圖Fig.3 Block diagram of phase-locked loop transfer function

由圖3可得系統的閉環傳遞函數為

其中，PI調節器P(s)的表達式為

將式（19）帶入式（18）中可得：

由式（20）可知，只需根據系統期望的帶寬ωn，即可算出PI調節器中各參數：

通過上述分析可知，基于同步旋轉坐標系的滑模觀測器算法原理框圖如圖4所示。

圖4 滑模觀測器算法原理框圖Fig.4 Block diagram of sliding mode observer algorithm

4 仿真與實驗驗證

為了驗證上述算法的控制性能，本文通過Matlab∕Simulink進行仿真分析，并將仿真結果與基于靜止坐標系的滑模觀測器算法進行對比。實驗用的電機主要參數為：極對數p=5；定子電感Ld=Lq=2.1mH；繞組電阻R=1.6Ω；永磁體磁鏈Ψf=0.09 Wb；額定轉速nN=3 000 r∕min。

圖5為轉子位置估計誤差對比圖，圖6為轉速估計誤差對比圖。電機穩定時，基于靜止坐標系滑模觀測器算法的轉子位置估計誤差為-0.8～0.1 rad，轉速估計誤差為±2 r∕min；而本文所提算法的轉子位置估計誤差在0.01 rad以內，轉速估計誤差為±0.5 r∕min。分析仿真結果可得，本文所提算法具有更高的轉子位置估計精度和轉速估計精度。

圖5 轉子位置估計誤差對比圖Fig.5 Comparison of rotor position estimation errors

圖6 轉速估計誤差對比圖Fig.6 Comparison chart of speed estimation error

為了進一步驗證本文所提的滑模觀測器算法的實用性，搭建了無刷直流電機無位置傳感器實驗平臺，如圖7所示。

圖7 系統實驗平臺Fig.7 System experiment platform

實驗通過上位機采集電機各項參數數據。實驗條件為：母線電壓udc=24V；開關頻率fPWM=18kHz；滑模增益k=350；低通濾波器的截至頻率為3 000 rad∕s，電機穩定后轉速為額定轉速。

實驗結果波形如圖8所示。由圖8a和圖8b可知電機在啟動到穩定運行的過程中，轉子角度估計誤差逐漸減小。在電機穩定運行后轉子角度估計誤差在0.05 rad以內。可見本文所提的滑模估計算法可以很好地跟蹤轉子位置。由圖8c和圖8d可知電機在穩定運行后轉速誤差在±1 r∕min以內，可見系統有很好的魯棒性。圖8e和圖8f為d，q軸反電動勢的估計值。電機穩定后，q軸反電動勢穩定在12 V左右。根據前面分析，d，q軸反電動勢值與理論值基本相符，即Vd≈ 0，Vq≈ ωeΨf。實驗結果表明本文所提的滑模觀測器算法具有很好的控制性能，滑模觀測器能夠準確跟蹤轉子位置，能夠滿足實際需要。

圖8 實驗結果波形Fig.8 Waveforms of experimental results

5 結論

通過上述對于本文所提滑模觀測器算法的理論分析與實驗驗證，可知該算法不僅能夠簡化矢量控制系統，而且具有很強的魯棒性。且基于鎖相環的轉子位置估計方法不需要對電機的某些參數實時計算，能夠簡化運算，在保證了較高的轉子位置精度的同時，降低了無刷直流電機無位置傳感器控制系統的硬件要求，有利于節省成本，具有較強的實用性。