雙曲線解題常見錯誤分析及對策探析

劉雨柔 趙臨龍

摘 要：雙曲線是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是高考的重要考點(diǎn)之一。目前，雙曲線教學(xué)存在教學(xué)方法單一、不注重引發(fā)學(xué)生思考、忽視學(xué)生應(yīng)用能力等問題。文章分析雙曲線解題常見錯誤，探討提高雙曲線教學(xué)效率的策略：改進(jìn)教學(xué)方法，重視提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

關(guān)鍵詞：雙曲線;解題訓(xùn)練;錯誤分析;策略

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1008-3561（2021）11-0110-02

高中數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗，提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要基于數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)，不斷提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。雙曲線是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是高考的重要考點(diǎn)之一。本文從提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)角度出發(fā)，分析雙曲線解題常見錯誤，探討雙曲線教學(xué)存在的問題及提升策略。

一、雙曲線解題常見錯誤分析

1.忽略雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中x、y的范圍

例1：是否存在同時滿足下列條件的雙曲線？ 若存在，求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;若不存在，說明理由。①焦點(diǎn)在x軸上。②漸近線方程為x±2y=0。③點(diǎn)A（5，0）到雙曲線上動點(diǎn)P的最小距離為。

錯誤解法：由條件①設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：=1（a>0，b>0）。由條件②得知：=，即a=2b，雙曲線方程可化簡為x2-4y2=4b2。設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），則有兩點(diǎn)距離公式|PA|2=（x0-4）2+5-b2，所以，5-b2=6。解得：b2=-1（舍去）。故不存在滿足條件的雙曲線。

錯誤剖析：焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的x的范圍是|x|≥a，而不是x∈R，這正是該題錯誤所在。如果設(shè)雙曲線方程為x2-y2=m，則可避免這個錯誤。

2.忽略“判別式”

例2：已知雙曲線x2-=1 ，過點(diǎn) P（1，1）能否作一條直線l，與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)。

錯誤解法：設(shè)直線l的表達(dá)式為：y-1=k（x-1）或x=1。當(dāng)K不存在時，直線l的表達(dá)式為：x=1，經(jīng)過點(diǎn)P，但不滿足條件。當(dāng)k存在時，直線l的表達(dá)式為：y-1=k（x-1），根據(jù)題意得：y-1=k（x-1）x2-=1 ，消去y，得（2-k2）x2-2k（1-k）x-（1-k）2-2=0，所以A、B兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為：=。若點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，則k（1-k）2-k2=1，即k=2。

錯誤剖析：“判別式法”是判斷直線與雙曲線是否有公共點(diǎn)的重要方法，學(xué)生在解決直線與雙曲線相交的問題時，有時不需要考慮判別式法，但有的情況下是需要考慮判別式法的。本題以雙曲線為背景，探究是否存在符合條件的直線，題目難度不大，但容易出錯。錯誤原因是學(xué)生忽略了對直線與雙曲線是否相交的判斷。

二、雙曲線教學(xué)存在的問題

1.教學(xué)方法單一

學(xué)習(xí)雙曲線的過程是充滿樂趣的，但學(xué)生卻缺乏興趣，究其原因是教師以講授法為主，沒有充分發(fā)揮教師的引導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用。這就出現(xiàn)教師講課吃力，學(xué)生吸收不好的情況。教師的教學(xué)方法單一還體現(xiàn)在不注重解題方法的引導(dǎo)，而是運(yùn)用題海戰(zhàn)術(shù)讓學(xué)生吸收知識，這使得課堂氛圍枯燥乏味，不利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

2.不注重引發(fā)學(xué)生思考

部分教師在講解具體題目時，只考慮當(dāng)前題目的解法，不注重通過類比拓展知識范圍，也不注重從學(xué)生的角度出發(fā)，探索更易被學(xué)生接受的方法。在這種教學(xué)模式下，學(xué)生的思維具有局限性，知識呈碎片化，教師講一道會一道，題目只要稍有變換，就不知從何下手。

3.忽視學(xué)生的應(yīng)用能力

在雙曲線教學(xué)中，有的教師只講解有關(guān)雙曲線問題的知識，而忽視了提高學(xué)生的應(yīng)用能力。對于學(xué)生來說，實現(xiàn)從數(shù)到形的轉(zhuǎn)化，熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想是非常難的，這就需要教師積極引導(dǎo)學(xué)生正確認(rèn)識幾何問題，讓學(xué)生加強(qiáng)代數(shù)問題和圖形之間的聯(lián)系，掌握代數(shù)問題的思維方法。例如，代數(shù)式求最值問題是運(yùn)用解析幾何的方法解決代數(shù)問題。

例3：求函數(shù)f（x）=+的最小值。

解： f（x）=+=+

f（x）的最小值可看作p（x，0）到A（5，-1）和B（2，3）的距離的最小值，如圖1。所以f（x）max=|AB|=5。

分析： f（x）=+=+，這一步大多數(shù)學(xué)生都可以想到，但缺乏從數(shù)到形的轉(zhuǎn)化，所以無法求出最小值。f（x）的最小值可以看作p（x，0）到A（5，-1）和B（2，3）的距離和最小值。

三、提高雙曲線教學(xué)效率的策略

1.改進(jìn)教學(xué)方法

教師可在雙曲線教學(xué)中采取多樣化教學(xué)方法，以促進(jìn)師生之間的交流，實現(xiàn)課堂教學(xué)效果最大化。其中，自主學(xué)習(xí)法強(qiáng)調(diào)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，讓學(xué)生獨(dú)立、自覺地進(jìn)行學(xué)習(xí);討論法可充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，讓學(xué)生通過師生、生生之間的討論，思考問題、解決問題;直觀演示法主要是通過實物模型、多媒體等，讓學(xué)生通過觀察產(chǎn)生感性認(rèn)識;練習(xí)法分為口頭練習(xí)、實操練習(xí)兩種，既可以讓學(xué)生鞏固當(dāng)堂所學(xué)知識，也可以讓教師掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。

以雙曲線的課堂導(dǎo)入為例。教師：大家一起回顧一下，橢圓的定義是什么？橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？（學(xué)生口頭敘述，教師在PPT上展示其定義，并給出兩種標(biāo)準(zhǔn)方程及其圖像。）教師：請同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的拉鏈和白紙，小組成員之間合作，看看拉鏈拉動的過程中，會畫出什么樣的形狀？這就是今天要學(xué)習(xí)的新的幾何圖形：雙曲線。同學(xué)們，再試著思考一下，如果把上述橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么點(diǎn)的軌跡會發(fā)生什么變化？它的方程又是怎樣的呢？

分析：本節(jié)課的課堂導(dǎo)入采用了多種教學(xué)方法，首先，采用復(fù)習(xí)導(dǎo)入。通過提問，讓學(xué)生注意力高度集中，口頭敘述和PPT展示相當(dāng)于大腦、嘴和眼睛進(jìn)行三遍記憶，可以加深學(xué)生的記憶。其次，進(jìn)行小組互動。讓學(xué)生在討論中思考問題、解決問題。最后，教師拋出問題，引出新課內(nèi)容，開始新課講授。可以說，本節(jié)課的教學(xué)始終以學(xué)生為主體，讓學(xué)生全程參與，可以實現(xiàn)知識的有效傳遞。

2.重視提升學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力

高中數(shù)學(xué)涉及部分高等數(shù)學(xué)的知識，因此，教師可在教學(xué)中適當(dāng)以高等數(shù)學(xué)的視角給出題目新解，以開拓學(xué)生的思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。例如，圓錐曲線題目重點(diǎn)考查圓錐曲線中三點(diǎn)共線問題和斜率公式，因此，教師可以從高等幾何的角度出發(fā)，建立蝴蝶定理模型，使復(fù)雜的問題簡單化，不斷提升學(xué)生的應(yīng)用意識，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，并產(chǎn)生濃厚興趣。

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Exploration of Analysis and Countermeasures of Common Mistakes in Hyperbolic Problem Solving

Liu Yurou1， Zhao Linlong2

（1. College of Mathematics and Computer Science， Yan'an University， Yan'an 716000， China;

2. School of Mathematics and Statistics， Ankang University， Ankang 725000， China）

Abstract： Hyperbola is the key and difficult point of high school mathematics teaching， and it is also one of the important test points of college entrance examination. At present， there are some problems in hyperbolic teaching， such as single teaching method， ignoring students' thinking， neglecting students' application ability and lacking mathematical modeling training. This paper analyzes the common mistakes in solving hyperbolic problems， and discusses the strategies to improve the efficiency of hyperbolic teaching： improving teaching methods and paying attention to improve students' mathematical application ability.

Key words： hyperbola; problem solving training; error analysis; strategy

基金項目：本文系陜西省“高層次人才特殊支持計劃”項目（立項號：2019TZJH01）、安康學(xué)院碩士點(diǎn)培育學(xué)科專項（立項號：2016AYXNZX009）研究成果

作者簡介：劉雨柔（1997-），女，陜西榆林人，延安大學(xué)2020級學(xué)科教學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)碩士;趙臨龍（1960-），男，陜西西安人，二級教授，從事數(shù)學(xué)教育研究。