基于蒙特卡羅法的星載太陽輻照度光譜儀對日指向誤差分析

郭 旭，胡春暉，顏昌翔，郭永飛，馬澤龍，胡慶龍

（1. 中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，長春吉林130033；2. 中國科學院大學，北京 100049）

1 引 言

太陽輻照度光譜儀作為太陽光譜監測的主要光學載荷，為氣象領域提供了大量的數據支撐。光譜儀載荷主要包括不同譜段的譜儀設備、用于對日指向跟蹤的導行鏡、以及用于提供指向功能的二維轉臺等部件。目前，國內外對于太陽輻照度光譜儀的研究均取得了一定的進展，研究內容主要圍繞光譜儀載荷本身的設計以及光譜儀對日指向精度等方面。

在光譜儀載荷設計方面，李占峰［1］等研究了多通道光譜儀中光譜儀輸出波長與光譜儀內部調節絲杠的位移非線性問題，并給出了相應的理論公式。曹佃生［2］等根據太陽光譜儀中對于波長重復性的指標要求，對光譜儀內部的波長掃描機構進行了設計，并對掃描機構的精度進行了分析。李寒霜［3］研究了太陽輻照度光譜儀中紫外-真空紫外波段的光譜定標以及輻射定標的問題，并構建了一套可以實現150～300 nm 波段測量的定標系統。孫德貝［4］等根據光的疊加原理研制了一臺太陽光譜儀探測系統線性度的測試裝置，該裝置的工作波段為200～2 400 nm，可模擬多譜段的太陽光譜特性。李福田［5］等針對高精度空間太陽光譜儀的輻射定標問題，研制了一種采用數字微鏡器件的光譜輻亮度標準光源，為太陽光譜儀的輻射定標提供硬件基準。李占峰［6］等介紹了一種由衛星平臺當前廣播事件和軌道瞬根來推導預報短時太陽角度的方法，該方法預報的最大角度誤差為0.5°，預熱時間的最大偏差為20″。孫立微［7］針對太陽高光譜的輻射定標問題，研制了由激光二極管配合鎢燈的定標光源，為太陽輻照度光譜儀的輻射定標提供了良好的光源基準。竇晨浩［8］針對太陽光譜儀在軌工作過程中獲取到的偏振測量數據、修正數據以及大氣探測數據等，采用定量化分析法進行了分析與研究。

在光譜儀對日指向精度方面，其研究主要為二維指向機構、導行鏡及光譜儀在各環節中的加工、裝調誤差最終合成后對于太陽指向性能的影響。王金元［9］等分析了一種小口徑的相控陣天線的指向誤差，并提出了降低各項誤差的方法，可有效提高指向精度。胡曉煒［10］等以地平式望遠鏡為模型，對其指向誤差進行建模及分析，并介紹了指向誤差數據的獲取方法。通過修正系數可有效降低設備的指向誤差，提升指向精度?？弟S然［11］等分析了三軸轉臺姿態變化時各誤差分量對于最終的系統指向誤差的影響，同時通過仿真獲取各個誤差分量的變化規律，為后續的誤差分配及補償提供了理論依據。吳偉平［12］等建立了在軌視軸臨邊指向的誤差補償方法，消除了探測儀器由于外界客觀因素所導致的指向誤差。該方法可以將指向誤差控制在±3.08″的范圍內。

為實現光譜儀對日指向，將太陽引入導行鏡視場，需要建立太陽矢量、衛星姿態和安裝誤差等因素與轉臺轉角的數學關系。本文首先采用坐標變換法建立光譜儀載荷系統的坐標系及相應的變換矩陣的數學模型；然后通過蒙特卡羅法分析載荷整機的各項誤差，仿真得出對日指向誤差；最后開展對日指向模擬實驗，驗證了理論分析及仿真結果的準確性及有效性。

2 光譜儀系統模型

2.1 系統組成

根據太陽輻照度光譜儀工作的軌道參數，一年內太陽光在軌道面的入射角在約47°的范圍內變化，遠大于光譜儀的有效視場。根據光譜儀的工作特點和任務需求，需設計二維轉動機構，對衛星偏航和俯仰方向的軌道運動進行補償。

星載太陽輻照度光譜儀載荷整機是由兩臺太陽某譜段的光譜儀、一臺導行鏡、以及搭載上述光學有效載荷的二維轉臺組成。二維轉臺作為該載荷的核心，主要由基座、方位軸系（U 形架）和俯仰軸系（O 形架）等部組件構成。方位U形架為外框架，安裝在轉臺基座上，俯仰O 形架為內框架，安裝在U 形架上，導行鏡和光譜儀安裝在O 形架上。光譜儀二維轉臺的三維模型如圖1 所示。

圖1 二維轉臺模型Fig.1 Model of two-dimensional turntable

2.2 工作原理

載荷在軌工作時，首先調整二維轉臺方位、俯仰角位置實現對日指向功能，使太陽進入導行鏡有效視場；然后依據導行鏡偏移量實時調整兩軸角位置實現對日跟蹤；只有當跟蹤誤差低于一定范圍時，即太陽小角度偏離譜儀視場中心時，兩臺光譜儀方能獲取有效的光譜數據。因此，轉臺對日指向是載荷能夠有效工作的前提。

由于衛星姿態的實時調整、載荷整機相對衛星平臺存在安裝誤差以及載荷內部組件間存在安裝誤差等因素，需要實時計算二維轉臺的工作角度。具體地，根據衛星平臺的廣播數據，獲取當前軌道坐標系下的太陽矢量和衛星姿態角測量值，并對安裝誤差進行修正，進而計算出轉臺方位軸和俯仰軸的轉動角度，最終保證太陽位于導行鏡的有效視場內，并盡量靠近視場中心。

3 對日指向數學模型

3.1 系統坐標系建立

載荷整機的坐標系建立方式由它在衛星平臺上的安裝方式決定。對于衛星平臺，X方向為飛行方向，Z方向指向地心，Y方向由右手法則確定。載荷在衛星平臺上的安裝方式如圖2 所示。

圖2 轉臺安裝示意圖Fig.2 Assembly of turntable

首先建立軌道坐標系O（OO-XOYOZO），坐標原點OO位于衛星質心，ZO指向地心，XO軸位于軌道平面內并指向衛星飛行方向，YO通過右手坐標系確定。衛星坐標系S（OS-XSYSZS），坐標原點OS與OO重合，衛星無姿態運動時，O系與S系重合，衛星的三軸姿態角φ，θ，ψ即指S系在O系內的三軸姿態描述。確定衛星坐標系后，如圖1 所示，在轉臺基座上的精測棱鏡1 上建立基座坐標系C（OC-XCYCZC），若忽略精測棱鏡的安裝誤差、角度加工誤差，XC，YC，ZC分別與精測棱鏡 1 的 3 個表面垂直，正方向與衛星坐標系相同，后續棱鏡坐標系的定義與之相同，不再贅述。在方位軸U 形架的精測棱鏡3 上建立方位軸坐標系A（OAXAYAZA），在俯仰軸 O 形架的精測棱鏡 2 上建立俯仰軸坐標系E（OE-XEYEZE），在忽略 U 形架在載荷基座的安裝誤差時，方位零位時A系與C系三軸平行。類似地，若忽略O 形架在U 形架的安裝誤差時，俯仰零位時E系與A系三軸平行。在導行鏡精測棱鏡4 上建立導行鏡坐標系G（OG-XGYGZG），-Y方向代表視軸。

3.2 坐標變換矩陣推導

已知各個組件的局部坐標系后，基于坐標變換的原理，太陽矢量從軌道坐標系下的矢量表達至導行鏡坐標系下的矢量表達式為：

其中：SG為導行鏡坐標系下的太陽矢量，規定其坐標為［0 -1 0］T；SO為軌道坐標系下的太陽矢量，假設其坐標為［XsunYsunZsun］T，該太陽矢量數據由平臺廣播數據提供；MOS是由衛星相對于軌道姿態變化引起的變換矩陣；MSC為衛星坐標系至轉臺基座坐標系的變換矩陣，通過標定精測棱鏡1 的姿態可以獲得；MCA為基座坐標系至方位軸系坐標系的變換矩陣，通過標定精測棱鏡1 和3 的姿態可以獲得；MAE為方位軸系坐標系至俯仰坐標系的變換矩陣，通過標定精測棱鏡2 和3 的姿態可以獲得；MEG為俯仰軸坐標系至導行鏡坐標系的變換矩陣，通過標定精測棱鏡2 和4的姿態可以獲得；MA，ME分別為方位軸系、俯仰軸系轉動前后局部坐標系的變換矩陣。

在明確上述變換環節中各個矩陣的意義后，對各變換矩陣的形式進行推導［13-15］。假設衛星相對軌道坐標系的滾動角（繞XO軸）、俯仰角（繞YO軸）和偏航角（繞ZO軸）分別為φ，θ，ψ，則MOS為：

MSC可根據衛星平臺精測棱鏡及轉臺精測棱鏡1 的經緯儀標定結果給出，其值如下：

同理，MCA，MAE及MEG也可根據經緯儀對相關精測棱鏡的標定結果給出，模型中4 個精測棱鏡的標定結果詳見表1。其中，棱鏡i-i的值代表自準值；棱鏡i-j的值代表互瞄值，i，j的取值均為1～4。

表1 精測棱鏡的標定結果Tab.1 Calibration results of prisms for precise measurement

根據表1 的數據求得MCA，MAE及MEG的表達式，分別為：

MA為方位軸轉動前后的變換矩陣，其值為：

同理，ME的形式為：

3.3 運動學反解結果

當忽略衛星姿態角度、載荷整機在衛星平臺上的安裝誤差以及方位軸系、俯仰軸系、導行鏡等各組件在轉臺上的安裝誤差時，各個坐標系的坐標軸平行，變換矩陣簡化為單位陣。則式（1）化簡為：

將式（7）和式（8）代入式（9）后，可解算出轉臺方位軸及俯仰軸的轉動角度為：

上述求解出的轉臺運動角度為忽略平臺姿態調整和安裝誤差等因素得到的結果，即理論真值。但實際工程中會存在多個環節的誤差，為兼顧工程中實際誤差的必然性以及解析計算的便利性，鑒于式（5）俯仰軸系與方位軸系的安裝誤差相對較小，考慮軟件的在軌計算效率，將它忽略不計。其余誤差變換矩陣納入計算環節，通過坐標變換矩陣反解出轉臺方位軸及俯仰軸的工作轉角。

首先，計算太陽矢量在轉臺基座坐標系下的矢量表達，記為：

其次，得到太陽矢量在俯仰軸坐標系下的矢量表達，記為：

將上述表達式代入式（1），即：

通過式（14）可以反解出方位軸及俯仰軸的轉動角度，即：

4 指向誤差分析

由第三部分的計算結果，可以得到任一組太陽矢量及相應安裝誤差下的轉臺工作轉角。由于各項誤差均存在一定的分布區間，需要保證在統計學角度的極端情況下，太陽矢量依然位于導行鏡視場中心。

4.1 誤差仿真

誤差仿真流程如下：

（1）指定某種工況并設定仿真模型的參數，將上述參數作為仿真場景的真值，參數包括太陽矢量、衛星姿態和安裝誤差等；

（2）根據第一步設定的仿真理論參數，計算轉臺方位、俯仰調整角的真值；

（3）根據平臺姿態和太陽矢量的數據誤差，以及轉臺內部各部組件的安裝測量誤差，將第一步的無誤差數據誤差化，得到實際的轉臺方位、俯仰目標調整角；

（4）根據第三步的計算結果控制轉臺轉動，轉臺定位誤差為編碼器的測量誤差，可得實際控制輸出的方位、俯仰調整角，將實際值與真值比較，得出轉臺對日指向的最終實際誤差。

4.2 蒙特卡羅分析

根據前文內容可知，系統工作過程中有多個環節存在誤差，從誤差性質上可分為系統誤差和隨機誤差，從誤差種類上分為運動誤差、安裝誤差、加工誤差及測量誤差等。分析多個誤差源對最終結果的影響，需要引入基于蒙特卡羅法的誤差模型。

蒙特卡羅法是基于變量的統計學特性，使用隨機變量代替常量，同時保證隨機變量滿足一定的概率分布，使最終的計算結果更加逼近使用常量所得到的結果［16］。鑒于本系統中誤差項較多，在后續的計算中將每一項誤差均視為一個隨機變量，并且它滿足正態分布。從分布區間中取出若干組數據代入公式進行計算，從而得到最終結果的分布情況，即可確認載荷的整體誤差是否滿足工況需求。

根據二維轉臺內各個精測棱鏡的測量結果，以及外部提供的設計輸入，可以獲得下列仿真參數：

（1）太 陽 矢 量SO=[XsunYsunZsun]=[0.085 -0.981 0.176]T；

（2） 衛 星 姿 態 ［φ θ ψ］= [0.060 3-0.051 8 0.028 3］；

（3）載荷基座相對于平臺的安裝誤差［φC θC ψC]=［0.013 1o0.012 2o0.016 1o］；

（4）轉臺軸系相對于基座的安裝誤差[φAE θAE ψAE]=[ 0.031o-0.073o0.014o]；

（5）導行鏡相對于轉臺軸系的安裝誤差[φG θG ψG]=[ -0.03o0.083o-0.045o]。

在MatLab 中建立變換矩陣的數學模型，并代入上述仿真參數，可以求得當方位軸轉角A0=3.951°，俯仰軸轉角E0=-13.316 9°時，太陽處于導行鏡視場中心。

上述計算是基于各項誤差為常數，下面引入基于蒙特卡羅的誤差模型。采用正態分布函數，并適當選取期望及標準差。其中，太陽矢量誤差和姿態測量誤差通過分析衛星運動的仿真數據和在軌實測數據預估；各項安裝誤差修正后為經緯儀測量誤差，依據工程經驗預估；時延誤差針對在軌軟件的具體實現進行估算；轉臺定位誤差取決于編碼器的測量誤差。各項誤差的估計值詳見表2。

表2 對日指向各項誤差預估Tab.2 Estimation of systematic sun pointing errors

4.3 結果與討論

根據表2 中的各項誤差值，在各個誤差維度下分別生成10 000 組隨機數進行仿真。經過仿真，轉臺方位轉角及俯仰轉角數據的直方圖如圖3 所示。從圖3 可以看出，轉臺轉角的仿真值大部分分布在理論真值附近，在方位、俯仰兩個維度上呈正態分布規律。轉臺對日指向誤差的仿真結果如圖4 所示。

根據指向誤差的仿真結果，方位軸的最大誤差為 0.338 7°，俯仰軸的最大誤差為 0.294 5°。從圖4 可以看出，指向誤差分布在1°的圓形視場中，且全部分布在0.35°以內，意味著通過調整轉臺的方位角和俯仰角，能夠保證太陽進入導行鏡的有效視場，仿真結果滿足指向任務需求。

圖3 轉臺轉角直方圖Fig.3 Histogram of rotation angles of turntable

圖4 指向誤差的仿真結果Fig.4 Simulation result of pointing errors

5 模擬實驗

5.1 實驗環境

為了驗證上述理論分析及仿真結果的準確性及有效性，在實驗室環境下，搭建光譜儀對日指向模擬實驗，用于模擬轉臺對日指向過程。

實驗環境如下：在導行鏡前端放置一臺平行光管，并在焦面處放置一個強光光源，以模擬太陽光，并且該光源在導行鏡視場內的光斑大小與太陽近似；將二維轉臺置于高精度六自由度平臺上，該平臺的轉動范圍大于轉臺轉動角范圍，控制精度優于衛星平臺的在軌姿態控制精度，能夠模擬衛星姿態以及衛星飛行時太陽位置的變化。

初始狀態為光源光線沿+Y軸方向射入導行鏡視場。實驗現場示意圖如圖5 所示。

圖5 對日指向實驗現場示意圖Fig.5 Schematic diagram of Sun pointing test

5.2 指向實驗

根據光譜儀載荷在軌的實際工作狀態，選取有代表性的工況進行模擬實驗。實驗分兩步：第一步是選取4 種典型工況，令轉臺方位軸和俯仰軸自轉臺零位向不同方向轉動，驗證對日指向的數學模型；第二步是選取典型工作軌道，令轉臺在一軌工作中長時間保持對日指向，測量指向誤差低于1°。具體實驗流程如下：

（1）測量光譜儀轉臺基座在六自由度平臺上的安裝誤差，記為［φcθcψc］；

（2）選取 4 組太陽矢量［XsunYsunZsun］、衛星姿態［φ θ ψ］，將參試設備安裝誤差的測量結果、選取的太陽矢量和平臺姿態數據帶入對日指向數學模型中，反解轉臺方位和俯仰目標角；

（3）根據選取的數據分別驅動六自由度平臺和二維轉臺轉動；

（4）記錄導行鏡測得的角偏移量，該參數為指向誤差與導行鏡測量誤差的合成結果，其中導行鏡的測量誤差為 3″（3σ）；

（5）選取春分軌道的太陽矢量和衛星姿態數據，重復步驟（1）～（4），對轉臺長時間工作的指向誤差進行驗證和分析。

5.3 結果與討論

將實驗環境搭建完成后，首先測量光譜儀載荷基座相對于平臺的安裝誤差為：

[φcθcψc]=[0.011° 0.005° 0.007°].

然后依次測量轉臺方位軸和俯仰軸正、反轉4 種工況下的指向精度。實驗參數（太陽矢量、衛星姿態參數和轉臺轉角）和實驗結果詳見表3。

表3 對日指向實驗參數及結果Tab.3 Parameters and results of sun pointing test

由實驗結果中測得的導行鏡偏移量數據可知，兩軸最大指向誤差為 0.125 7°，低于 1°，因此采用本文提出的對日指向數學模型，轉臺能夠將太陽引入導行鏡的有效視場。

圖6 對日指向誤差測試結果Fig.6 Test results of sun pointing errors

重復上述實驗過程，選取一軌春分軌道的太陽矢量和衛星姿態數據，令六自由度平臺依據當前數據運動，實時解算轉臺轉角驅動轉臺轉動，測量600 組導行鏡偏移量，指向誤差如圖6所示。由圖可知，方位軸的最大指向誤差為0.126 5°，俯仰軸的最大指向誤差為 0.154 2°，實驗測得指向誤差處于仿真分析的誤差范圍內。實驗中六自由度平臺未模擬太陽矢量的誤差數據，因此實驗測得的誤差最大值稍低于仿真分析結果。

對日指向模擬實驗結果一方面驗證了本文提出的轉臺對日指向數學模型的準確性；另一方面，測得的指向誤差驗證了誤差仿真分析結果，說明轉臺對日指向誤差在導行鏡的有效視場內，能夠滿足載荷在軌工作的要求。

6 結 論

光譜儀的對日高精度指向對衛星在軌工作至關重要。本文采用坐標變換矩陣法，對太陽輻照度光譜儀的系統坐標系及矩陣變換關系進行了分析并建立了相應的數學模型，得到了二維轉臺工作轉角的解析解；利用基于蒙特卡羅法的誤差模型分析光譜儀載荷系統的整體誤差，并進行了對日指向誤差仿真實驗，實驗結果表明指向誤差優于0.35°；最后，通過轉臺對日指向模擬實驗對所建立的數學模型和誤差仿真分析結果進行了驗證，測得不同工況下轉臺的指向誤差低于0.16°。通過轉臺的高精度指向，太陽能夠進入導行鏡視場內，滿足光譜儀系統的設計指標要求及在軌工作要求。