基于耦合概率法的空間桿系結構失效概率分析

劉國光， 楊躍敏， 武志瑋

(中國民航大學機場學院， 天津 300300)

空間桿系結構的可靠度水平可根據構件安全等級、失效模式和經濟因素等綜合確定，而結構失效分析是結構可靠性計算的重要內容[1]。通過量化評價不同失效模態對應的結構可靠性，可為結構設計、安裝施工和結構安全使用提供重要依據。

結構可靠性研究的核心，是解決存在隨機性條件下結構安全性的科學度量問題[2]。按照傳統計算理論，概率分析的中心問題是極限狀態的累積分布函數計算，不使用數值積分很難準確估計故障概率[3]。經典的一階可靠性方法(first order reliability method,FORM)[4]和二階可靠性方法(second order reliability method，SORM)[5]都是基于泰勒級數展開來建立極限狀態函數的低階近似方法[6]。近年來，蒙特卡羅法也作為一種經典的辦法，常與其改進法進行對比[7]。李會軍[8]討論了空間網格結構失效過程中的可靠度與敏感度的關系，提出了材料非線性和初始缺陷對結構可靠度的影響。文獻[9]為量化預測結構在不同失效模態下的失效概率區間，利用移除桿件法及結構應變能敏感度分析了空間桿系結構桿件群的魯棒性。文獻[10]基于結構剛度變化率對六角星型穹頂結構在階躍荷載作用下的破壞過程進行了理論和實驗研究。

結構失效具有一定的隨機性，但又存在一定的區間變量。在結構可靠性界限理論中，二次二階矩可靠性指標計算方法被普遍應用，利用位移插值函數及級數展開，對網殼結構提出合理的缺陷幅值來分析結構整體穩定性[11]。在此基礎上，基于結構極限狀態曲面的內包絡面，進而通過計算包絡面的失效概率確定結構的可靠性界限區間[12]。文獻[13]推導了基于聯合分布函數直接積分法的串聯系統聯合失效概率上限值計算公式，然而，目前國內外研究大多針對單階和二階失效概率，而對高階耦合復雜空間桿件結構研究較少，涉及高階失效時公式復雜，應用性較低。

為進一步研究多種失效模式下桿系結構的耦合失效概率來評價結構可靠度，完善結構失效的上、下界值，利用應力變化率法和桿件移除法相結合來評價單元桿件失效模態的相關系數，現通過間接積分法建立一種計算空間桿系結構耦合失效概率的新方法。并通過六角星型穹頂結構的模型破壞實驗，結合泰勒展開法進行對比分析，總結耦合概率法在理論分析結果中的可靠性和先進性。

1 耦合概率法

三階耦合概率法是基于所有單階失效概率、所有二階共失效概率和所有三階共失效概率共同考慮，并在窮舉組合得到失效概率基礎上推導而來的。

1.1 桿件可靠性指標

為體現單元桿件的可靠性對結構整體可靠度的影響，引入β確定單元桿件可靠性指標。結構失效概率取決于其功能函數Z的分布形式，一般情況下，假定Z服從正態分布，即Z～N(μZ,σZ)。通過變換Y=(Z-μZ)/σZ,可將Z轉換為標準的正態分布變量Y～N(0,1)。由數學概率密度函數和累積分布函數得

(1)

式(1)中：Pf為耦合失效概率函數；μZ為平均值；σZ為標準差。

由正態分布曲線可知，可以用σZ度量原點O到μZ的距離，因此將單元桿件的可靠性指標定義為無量綱數β，即

(2)

因此，結構失效概率可表示為

Pf=1-Φ(β)

(3)

1.2 桿件相關系數

當結構發生動力失穩時，總應變能發生突變，對應單元桿件的應變能會突然跳躍到一個相對較大值，而應力向量σ是一個有界向量。因此，如式(4)所示，當桿件應力變化率dσ突然跳躍到一個相對較大值時，由此可判定桿件發生動力失穩或多個桿件發生局部失穩[14]。

(4)

式(4)中：σi為第i個荷載步下的應力；σj為第j個荷載步下的應力，且i=j+Δt；Δt為應力采樣周期。

將其與桿件移除法相結合，在移除某單元桿件后，分析剩余單元桿件受力過程中的應力變化率，再通過歸一化可最終確定各單元重要性系數λi[15]。該方法是用于計算單元桿件重要性系數指標的高效、簡便方法。

定義ρ12=ρ[M1,M2]是正態分布M1、M2的相關系數；λi定義為對應第i個失效模式的重要性系數，且ρij=λiλj，即耦合相關系數為

(5)

1.3 耦合失效概率

在復雜桿系結構中往往存在獨立變量和相關變量，結構的功能函數可表示為

(6)

由于結構存在多子系統情況，失效極限狀態滿足正態空間分布后，原空間構成的極限失效概率曲面不再是單一的曲面，而是由兩個邊界面Pmaxg(β,λ)=0 和Pming(β,λ)=0構成的帶狀體，如圖1所示。

圖1 極限狀態曲面邊界Fig.1 Boundary of limit-state surfaces

直接求解空間混合子系統失效概率問題十分困難，近似地根據空間桿系結構受力特點和失效模態特征，假設空間桿系結構失效模態由n個失效模態(子系統)組成，將則桿系結構系統的失效事件可以表示為

E=E1∪E2∪…∪En

(7)

而系統失效事件E能分解為若干互斥事件，可表示為

(8)

因為概率值為非負數，所以

(9)

成立，即系統耦合多階失效的概率區間下界值。

另一方面，可得到系統多階失效的概率區間上界值，計算式為

P(E)≤P(E1)+P(E2)-P(E1E2)+

(10)

用式(9)和式(10)即可獲得各類參數已知的結構多階耦合失效概率，包括單階失效、二階失效和三階失效等。在假定結構失效符合正態分布的前提下，涉及二階及以上失效計算時，都會出現二重、三重甚至更高階積分形式。因此，通過間接積分法可將二階失效概率和三階失效概率轉化為單次積分形式，表示為

(11)

式(11)中：φ(·)為關于β和λ的一階失效函數。

(12)

結構系統的三階耦合失效概率的上下界限可表示為

(13)

當階數增加時，結構失效的上下界閾值寬度會減小，從而能夠滿足不同的可靠度精度要求。在工程結構可靠性分析中，點估計求解功能函數統計矩時建議求解至前三階矩，改進后的依然可以用到第四階矩，但是精度降低，然而，耦合概率在推廣至四階時，精度提高的同時會大大增加計算冗長，計算表明求解至三階失效已經能夠較高精度地確定結構的耦合失效概率。計算流程圖如圖2所示。

圖2 結構失效概率計算流程圖Fig.2 Flow chart of structural failure probability calculation

而泰勒展開依據矩估計法計算至四階得到的四階矩法的表達式[16]為

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

1.4 算例分析

假定某桿系結構由五種子系統組成，各子系統對應的獨立變量(可靠性指標)和相關變量(重要性系數)如表1所示。

表1 子系統基本變量Table 1 Subsystem basic variables

通過式(11)可得二階與一階失效的關系如圖3所示。

圖3 二階耦合失效概率對比Fig.3 Comparison of first-order and second-order coupling failure probability

通過式(12)可以計算得三階失效概率為P123=0.060 173，P124=0.049 819，P134=0.042 495，P234=0.037 903，P125=0.040 608，P135=0.034 781，P145=0.029 202，P235=0.031 154，P245=0.026 327，P345=0.023 082。

根據式(13)計算結構耦合失效概率的上下界值為0.24≤Pf≤0.26。

結果表明，結構耦合失效概率區間為[0.24, 0.26]，而泰勒四階展開失效概率區間為[0.228, 0.287]。從數值可以看出耦合失效概率下界值明顯大于結構其他任何一階、二階、三階失效的概率值。從二階和三階失效概率值可以看出，尤其在一階失效概率較高的情況下，必須要考慮二階和三階的失效概率，如圖3(a)～圖3(c)所示。對比分析可以看出，泰勒展開法得出的結果對耦合概率法是包含關系，說明耦合概率法比泰勒展開精度更高。具體包含關系在下文實驗中得到較好的驗證。

2 結構模型實驗

2.1 結構參數

如圖4所示，模型實驗結構為六角星型穹頂結構跨度2.6 m，由24根桿件組成，網架由6根0.3 m高的鋼柱支撐，中心節點高為0.35 m，鋼桿件彈性模量為206 GPa，泊松比為0.3。桿件均采用Q235等截面角鋼∠25×3，截面面積為1.43 cm2，材料密度為7.58 g/cm3。如圖5所示，桿件分為A、B、C三類，其中：桿1～桿6稱為徑向桿(A類)，桿7～桿12稱為環向桿(B類)，桿13～桿24稱為支座桿(C類)，桿件編號如圖5所示。

圖4 六角星型穹頂結構Fig.4 Hexagonal star dome structure

圖5 六角星型穹頂結構平面圖Fig.5 Plansheet of the hexagonal star dome structure

2.2 實驗方法

基于六角星型穹頂結構對稱性和各單元桿件受力特點，分別移除桿4(A類)、桿8(B類)和桿16(C類)。由于實驗過程中各桿件處于彈性狀態，可將應力變化作為研究結構整體可靠度的參考數值。因此，在桿1、桿2、桿9、桿11、桿20和桿21上貼應變片，記錄實驗過程的桿件應變變化。實驗開始后在中央節點作用一豎向分步集中荷載，從0 s開始每隔15 s加載50 N,實驗開始后連續加載至結構出現局部失穩或強度破壞為止，采樣頻率100 Hz。

3 實驗結果及分析

3.1 原始結構的破壞模態分析

原始六角星型穹頂結構在階躍荷載作用下的結構破壞過程中，將所測得的各應變片記錄應變數值通過式(4)轉化為桿件的應力變化率，所得曲線如圖6所示。

圖6 原始結構應力變化率Fig.6 Stress change rate of the original structure

在中心節點施加至675 N時，所有桿件均未出現應力大波動。因此外力在[0,675]范圍內可視為結構處在線彈性范圍內，桿件可靠性存在線性變化。為分析支座桿件可靠性指標對結構整體失效概率的影響，考慮在結構未超過使用年限的情況下，假設支座桿件可靠性指標從1.0取值至2.5，分別計算完整結構三階耦合失效概率，如圖7所示。

圖7 原始結構三階耦合失效曲線Fig.7 Third-order coupling failure curve of the original structure

當中心節點處荷載施加至700 N時，所有桿件單元的應力變化率均產生顯著變化，其中支座桿20應力變化率最大，達到了1 520，徑向桿2的應力變化率達到了723，此時結構中心徑向桿發生跳躍失穩，其破壞模態如圖8所示。

圖8 原始結構破壞圖Fig.8 Failure of the original structure

支座桿件在結構破壞瞬間承受了徑向桿件群局部失效所引起的內力重分布，由于設計中支座桿件留有足夠安全度，使得桿件可靠性指標較高，結構未發生連續倒塌破壞，也未發生多模態耦合的整體失效。

可見，對于實驗所采用的六角星型穹頂結構，隨著桿件可靠性指標增加，結構發生整體倒塌破壞的概率呈拋物線狀下降。當支座桿件可靠性指標達到2.5時，結構整體失效概率低至1%，若按結構安全性95%來控制結構整體失效，將支座桿件可靠性指標控制在1.8時，結構經濟性較好。

3.2 構件移除后分析

移除徑向桿4后，在階躍荷載作用下，結構破壞過程中各應變片記錄的桿件應力變化率曲線如圖9所示。

圖9 移除桿4后結構應力變化率曲線Fig.9 Curve of structural stress change rate after removing rod 4

當中心節點處荷載施加至600 N時，各桿件單元的應力變化率隨著下級荷載施加均產生顯著變化，其中環向桿11應力變化率最大，達到了320，徑向桿20的應力變化率達到了146。環向桿件在結構破壞瞬間主要承受了徑向桿件群局部失效所引起的內力重分布。移除結構一根內徑桿造成結構破壞的極限荷載由710 N降低到了630 N，降低幅度達到11.2%，受力整體性削弱嚴重，發生跳躍失穩，其破壞模態如圖10所示，說明保證結構的完整性對結構的安全性至關重要。

圖10 移除桿4后結構破壞圖Fig.10 Structural damage after removing rod 4

但是，結構仍具有較高的可靠性指標，未發生整體破壞。但結構發生整體破壞的可能性依然存在，其三階耦合概率法與泰勒展開法上下界限值隨荷載步的變化情況如圖11所示。

圖11 移除桿4后結構三階耦合失效曲線Fig.11 Comparison of structural failure curves after removing rod 4

在階躍荷載下，兩種方法失效概率趨勢相同，相比之下，耦合概率法得出的失效概率閾值更小，耦合概率法完全置于泰勒展開法所求的失效帶中。由于實驗在分步荷載下進行，結構的失效應力變化出現跳躍現象，但是從失效概率趨勢圖中能夠在下級荷載造成的應力突變前獲得失效概率激增，當荷載施加至550 N時，失效概率均表現出激增態勢，因此，可實現在不破壞結構形態的前提下，預測結構的承載能力。

同理可得在結構分別移除環向桿和支座桿件后的結構應力變化圖，如圖12、圖13所示。

圖12 移除桿8后結構應力變化率曲線Fig.12 Curve of structural stress change rate after removing rod 8

圖13 移除桿16后結構應力變化率曲線Fig.13 Curve of structural stress change rate after removing rod 16

從圖12可以看出，當中心節點處荷載施加至540 N時，結構各桿件發生劇烈應力變化，其中環向桿11應力變化率最大，達到了467，支座桿20的應力變化率達到了422，計算可得，結構整體可靠性下降20%，此時結構中心徑向桿發生跳躍失穩。從應力變化圖中也可看出，部分環向桿發生了應力拉壓變換，從而實現內力的重分布，發生局部失穩后，還能維持結構整體穩定性。

圖14 移除桿8、16后結構三階耦合失效曲線Fig.14 The third-order coupling failure curve of the structure after removing the rods 8 and 16

對比前三次實驗的應力變化率曲線，觀察圖13(b)(中心節點處荷載施加300～460 N)可知，各桿件單元的應力變化率出現不穩定變化。從實驗現象可知，隨荷載增加持續變大，在達到最大值后未發生結構破壞，而是持續跳躍平衡。當結構進入階段2后，應力出現劇烈變化，荷載接近550 N時，結構耦合失效概率的上下界值區間為[0.26, 0.33]。如圖14所示，隨后失效概率激增，結構發生整體倒塌。對比其他桿件移除后的結構失效概率，表明支座桿對結構耦合失效概率影響最大，結構由單階失效模態控制(局部壓桿的跳躍失穩)轉變為多階失效模態控制(整體倒塌)，耦合失效概率的理論計算結果同結構模型實驗現象一致。

4 結論

通過應力變化率法和桿件移除法計算桿系結構單元桿件失效模態的相關系數，初步建立了一種可計算桿系結構失效概率、預測桿系結構失效模態和量化評價結構可靠度的耦合概率法。利用該方法，可獲得不同結構失效模態對應的失效概率區間，進而通過量化比較預測結構可靠性及對應的失效模態。

(1)利用單元桿件的應力變化率，對結構施加相應的荷載步，在單元桿件應力變化率發生突變的同時，結構的三階耦合失效概率也發生了突變，驗證了耦合失效概率法的準確性。

(2)六角星型穹頂結構模型破壞性實驗現象表現為：移除徑向桿及環向桿后，結構失效模態為跳躍失穩；移除支座桿件后，結構失效模態為整體失穩。結果表明，支座桿件決定著結構的整體穩定性。當降低支座桿件設計安全裕度時，結構發生整體失效的概率顯著上升。此概率值可作為量化評價結構安全性和結構經濟性的指標。對本結構模型，支座桿件可靠性指標為1.8時，可達到可靠度95%的經濟最優化設計目標。

(3)通過耦合概率法量化計算不同荷載步下結構的三階耦合失效概率可知，結構發生整體失效的概率隨荷載步增加不斷變大，在結構破壞前失效概率會出現激增。該結論可為空間桿系結構施工及使用階段的健康監測提供新的技術方案。