材料和構造各向異性耦合下內置波紋圓筒空心樓蓋的剛度理論

楊 鳳， 苗玉潔， 蘇翠平， 呂 輝

(1.東華理工大學核技術應用教育部工程研究中心， 南昌 330013； 2.東華理工大學土木與建筑工程學院，南昌 330013； 3.南昌航空大學土木建筑學院， 南昌 330063)

為了滿足當前大跨度、大空間的多高層建筑的發展需要以及順應節能環保綠色發展的趨勢，現澆混凝土空心樓蓋具有節約資源、耐久性好、空間靈活以及適用性強等優點，在建筑工程中得到越來越廣泛的應用[1-3]。內置波紋圓筒空心樓蓋屬于新型空心樓蓋的一種，即在板內內置波紋圓筒模盒，形式上不僅更加優化，同時提高了板的強度、整體剛度和抗滲性能，減輕結構的自重，縮短工期，降低結構成本。因此，內置波紋圓筒空心樓蓋在現澆鋼筋混凝土板、基礎底板、預制墻板以及橋梁等工程中具有重要的工程應用價值[4-5]。

越來越多的中外學者致力于現澆混凝土空心樓蓋的力學性能研究，并取得了一些有意義的成果。Ibrahim等[6]通過對空心樓蓋進行數值模擬并且與試驗數據進行對比，分析不同內部構造對結構的影響，為空心板提供了設計依據。Ibrahim等[7]通過對14塊樓板進行了荷載試驗，得出了在澆筑混凝土面層前使構件表面粗糙可增加樓蓋的剛度這一結論。Li等[8]通過對輕骨料預應力混凝土空心板進行荷載試驗，分析了空心板的受力過程以及破壞形式，得出了裂縫寬度的公式。呂輝[9]通過對內置波紋圓筒空心樓蓋的構造研究，提出了適用于此類型樓蓋的剛度公式，但是該公式只考慮了板的構造異性。閻利等[10]通過對鋼框架-鋼板剪力墻混合的1/4縮尺的結構模型進行試驗研究以及理論分析，對比了整體式樓蓋和等效現澆樓蓋的剛度，驗證了新型裝配樓蓋的適用性。陳璀等[11]提出了結構整體剛度的優化方法，建立了關于軸向線剛度與力密度的剛度解析式。

現選用新型的薄壁波紋圓筒作為空心樓蓋的內置填充體，同時考慮板材料各向異性和構造異性，對已有的剛度公式進行改進，提出材料和構造各向異性耦合下內置波紋圓筒空心樓蓋的剛度公式，通過利用空心樓蓋的撓度進行驗算，證明理論結果與有限元結果高度吻合。

1 正交異性板的剛度基本理論

薄板的研究對象根據受力方向與性能的不同可分為各向同性板與各向異性板。現研究正交各向異性板在受到垂直于中面的橫向荷載作用下呈彎曲狀態時的力學性能，并建立笛卡爾坐標系(圖1)。

圖1 薄板示意圖Fig.1 Sheet diagram

1.1 正交異性板彈性撓曲方程

在房屋結構中，板作為主要承重構件，對房屋結構的安全性起著非常重要的作用，而板的位移計算又是板結構設計的一個重要環節，因此可建立薄板的小撓度彎曲方程，分析板在橫向荷載作用下的位移。為簡化計算，在滿足彈性力學的基本5個基本條件的同時，做如下3個假設[2]：①垂直于薄板中面的線應一直保持不變；②忽略不記垂直于薄板中面的正應力以及σz應力較小的分量σx、σy、σxy；③發生彎曲變化時，薄板的中面不發生變化。

通過假定，結合空間幾何方程、物理方程以及橫向荷載作用下的平衡方程，得到正交各向異性板的曲面微分方程：

(1)

式(1)中：D1、D2、D3為板的主剛度；ω為薄板的撓度；q為薄板承受的荷載。

在均布荷載的作用下，基于萊維法，函數采用重三角級數解，將微分方程兩邊進行傅里葉級數展開，在滿足四邊簡支的邊界條件下，得到正交各向異性板的撓度表達式為

(2)

式(2)中：Dx、Dy、H為板的主剛度；a、b為薄板的尺寸。

1.2 正交異性板剛度公式

在實際工程中，由于板的寬度和長度方向都遠遠大于高度方向，導致寬度和長度方向的力學特性與高度方向不同，薄板往往為正交異性板。正交各向異性板可分為正交材料異性板與正交構造異性板。當薄板承受荷載發生彎曲時，進行板內材料和構造在受力時抵抗彈性變形的能力分析時，其中主要一個參數為等效剛度。彈性力學基本理論[12]中給出了材料各向異性板的剛度公式，即

(3)

式(3)中：Dk為抗扭剛度；E1、E2為彈性模量；μ為泊松比；h為板厚；G為抗剪模量。

2 內置波紋圓筒空心樓蓋等效剛度

材料和構造各向異性耦合下的內置波紋圓筒空心樓蓋在薄板研究的基礎上以金屬波紋圓筒作為填充模盒，無論是材料上還是構造上都使薄板發生了變化。因此，在薄板的小撓度研究的基礎上，對呂輝[9]提出的薄板剛度公式進行改進，給出材料和構造各向異性耦合下內置波紋圓筒空心樓蓋的剛度公式。

2.1 基本假定

假定內置波紋圓筒空心樓蓋如圖2所示，x向為矩形板內等距連續的方形截面，y向為矩形板內等距連續的圓形截面。基于經典的彈性薄板小撓曲彎曲理論，采用等效剛度原則，結合正交材料異性板剛度公式與正交構造異性板剛度公式，對文獻[4]和文獻[9]公式進行修正。為了簡化計算，結合彈性力學中加肋板的剛度公式，如式(4)所示，將內置波紋圓筒空心樓蓋視為加肋板，如圖3所示，考慮板的構造異性，將腹板部分假設為肋條并入到翼緣中，從而建立材料和構造各向異性耦合下的內置波紋圓筒空心樓蓋的剛度公式。

(4)

式(4)中：E′、I′分別為肋條的彈性模量及截面慣性矩；a為肋條的間距。

圖2 內置波紋圓筒樓蓋示意圖Fig.2 Schematic diagram of built-in corrugated cylinder floor

圖3 加肋板示意圖Fig.3 Schematic diagram of ribbed plate

2.2 等效剛度理論公式

空心樓蓋的內置模盒大多為空心體，且相鄰兩個空心體是等距的，則可將空心樓蓋截面簡化為工字形截面，如圖4所示。而板沿各個方向的截面形式不同，剛度計算公式也將不同。

2.2.1 平行于管軸方向板的抗彎剛度

對于平行管軸方向空心樓蓋[圖4(a)]，截面由腹板和翼緣兩部分組成，其中翼緣部分視為兩個矩形板，腹板部分由一個矩形板內置兩個半圓組成。翼緣部分結合材料異性板公式以及結構特點，得到其y向的抗彎剛度(D0)。腹板部分結合彈性力學[12]中加肋板的理念，將腹板視為肋條均分到翼緣當中。考慮到材料異性和構造異性，對平行于管軸方向空心樓蓋進行剛度修正，計算公式為

(5)

式中：b為截面寬度；d為波紋圓筒的直徑；h1、h3分別為上下翼緣的厚度；I1、Ic分別為樓蓋腹板部分和混凝土的截面慣性矩；ly1、ly3、lyd分別為上下翼緣和腹板的y截面至中性軸的移軸距離;Iy為樓蓋移軸慣性矩；Iy1、Iy3、Iyd分別為對應Iy中上下翼緣以及腹板的移軸慣性矩；E1、Ec分別為樓蓋和混凝土的彈性模量；D0為翼緣部分y向的抗彎剛度；k1為作為肋條的腹板部分并入板內的y向剛度折減系數；Dyi為上下板以及腹板部分的移軸剛度之和。

2.2.2 垂直于管軸方向板的抗彎剛度

同樣采取結合加肋板的理念，將樓蓋垂直于管軸方向的截面視為腹板和翼緣兩部分組成[圖4(b)]。翼緣部分為兩個矩形，腹板部分由3個矩形組成，對垂直于管軸方向空心樓蓋進行剛度修正，計算公式為

(6)

圖4 樓蓋計算截面示意圖Fig.4 Diagram of floor calculation section

式中：a為截面寬度；c為腹板厚度；I2、Ic分別為樓蓋腹板部分和混凝土的截面慣性矩；lx1、lx3、lxd分別為翼緣和腹板的x截面至中性軸的移軸距離；Ix為樓蓋移軸慣性矩；Ix1、Ix3、Ixd分別為對應Ix中翼緣和腹板部分的移軸慣性矩；E2、Ec分別為樓蓋和混凝土的彈性模量；D0為翼緣部分x向的抗彎剛度；k2為作為肋條的腹板部分并入板內的x向剛度折減系數；Dxi為上下板以及腹板部分的移軸剛度之和。

2.2.3 樓板剛度

樓板整體剛度在考慮結構異性與材料異性的同時也考慮截面的抗扭性能，在修正抗扭剛度和板的構造異性剛度時，結合文獻[4]對樓板進行剛度修正，修正后的樓板剛度公式為

(7)

式中：JT1、JT2為肋條截面抗扭慣性矩；Gc、Gxy分別為混凝土的抗剪模量與空心樓蓋的抗剪模量；k3為樓蓋剛度折減系數；h為樓蓋厚度；Dxy為扭轉軸剛度之和；μ1、μ2為樓蓋x向、y向的泊松比。

3 數值模擬結果驗證

3.1 模型基本參數

在邊界條件為四邊簡支情況下，以尺寸為2 m×2 m×0.4 m的內置波紋圓筒空心樓蓋作為計算案例來驗證提出的材料和構造各向異性耦合下內置波紋圓筒空心樓蓋的剛度公式。空心樓蓋內置6個波紋圓筒模盒，z向平行于管軸方向，為3個圓形截面的波紋圓筒，如圖5(a)所示，x向為垂直于管軸方向，由兩個并列的矩形截面的波紋圓筒組成，如圖5(b)所示。樓蓋材料選用C30混凝土，彈性模量為3×1010Pa，泊松比為0.2；波紋圓筒彈性模量為19.8×1010Pa，泊松比為0.285，波紋圓筒直徑為0.3 m，波紋圓筒的螺紋距0.01 m，軸徑為 0.7 m；筒間距在x向為0.21 m，z向間距為0.4 m。

空心樓蓋取相鄰兩個波紋圓筒的中間為一肋，每肋頂部與底部均為4C8雙向配筋，肋間頂部與底部配筋分別為4C20和2C20，非加密區箍筋為C8@200，邊支座處加密區為C8@100，鋼筋網與波紋圓筒布置如圖6所示。

圖5 樓蓋截面Fig.5 Floor section

圖6 鋼筋網與波紋圓筒布置圖Fig.6 Layout of reinforcing mesh and corrugated cylinder

3.2 單元的選取以及本構模型

樓蓋采用分離建模的形式建立混凝土、鋼筋網以及波紋圓筒的模型。混凝土板采用三維實體8節點縮減積分單元(C3D8R)，縮減積分可以在結構計算位移時提高計算的精度；鋼筋網采用三維2節點桁架單元，桁架單元在進行位移計算時采用線性內插法，單元只承擔軸向的拉伸與壓縮荷載；波紋圓筒在模型的建立選用三維可變形實體單元進行螺紋旋轉得到。

非線性有限元分析的關鍵是選取材料的本構模型，在材料屬性的模塊中分別定義混凝土、鋼筋以及波紋圓筒的材料屬性[13]。在彈性階段分別輸入對應的彈性模量以及泊松比；對于塑性階段，鋼筋選用典型的雙折線模型；混凝土板采用混凝土塑性損傷模型，此模型結合了各向同性損傷彈性與各向同性拉伸以及壓縮的特性，可以用于多種加載場合，從而很好地模擬混凝土受壓的彈塑性行為[14]，提高計算精度。

3.3 網格劃分及約束

圖7所示為樓蓋的網格劃分，進行網格劃分時，混凝土板和鋼筋網采用Structured網格劃分技術按照圖7(a)進行種子大小為0.1的網格劃分，波紋圓筒采用自適應網格劃分將波紋圓筒自上而下進行劃分，單圈單元體數為35，如圖7(b)所示。

在進行接觸設置時，波紋圓筒以及鋼筋網不考慮與混凝土之間的黏結滑移作用的影響，在相互作用的模塊中通過創建內置區域的約束將其置于混凝土板內。邊界條件為四邊簡支，則四邊位移與彎矩均為0，板面分別承受1.5×105、1.75×105、2×105、2.25×105、2.5×105Pa的均布荷載，分析時采用準牛頓分析法對四邊簡支邊界條件下的空心樓蓋進行分析。

圖7 樓蓋網格劃分Fig.7 Floor grid division

為了更清楚地對比數值模擬結果和理論結果，選取了a、b、c 3個單元點作為參考點來驗證，其中a點為板中心處單元點，b點取距板中1/4處單元點，c點為距板中1/2處單元點。

3.4 結果驗證與分析

經過有限元的計算，結果顯示樓蓋在不同荷載作用下的混凝土板、鋼筋網以及薄壁波紋圓筒受力特點規律分布。

3.4.1 受力與荷載分析

圖8 2×105 Pa均布荷載下混凝土應力云圖Fig.8 2×105 Pa Concrete stress cloud image under uniform load

在此選取2×105Pa的均布荷載作用下內置波紋圓筒空心樓蓋混凝土板、內置波紋圓筒和鋼筋網的受力情況下分析樓蓋的受力特性，圖8～圖10顯示 2×105Pa均布荷載下樓蓋內各部件的應力云圖。

從圖8中可以看出，樓蓋在四邊簡支的邊界條件下整體呈雙向受彎狀態，受力均勻。混凝土板四周根據受力特點以及邊界條件主要承受拉應力，其受力情況符合力學性能與實際工程使用情況，跨中混凝土板主要承受壓應力。

從圖9可以看出，鋼筋網在受到橫向荷載的狀態下，板底部中的鋼筋主要承擔拉應力，鋼筋網最大拉應力處位于板邊，呈現負彎矩狀態。

從圖10可以看出，跨中最大正彎矩處，波紋圓筒和混凝土同時承擔壓應力，板內除跨中以外波紋圓筒和鋼筋一起承擔整個樓蓋的拉應力。

圖9 2×105 Pa均布荷載下鋼筋網應力云圖 Fig.9 2×105 Pa Stress cloud diagram of reinforcement mesh under uniform load

圖10 2×105 Pa均布荷載下波紋管應力云圖Fig.10 2×105 Pa Stress cloud diagram of bellows under uniform load

表1為1.5×105、1.75×105、2×105、2.25×105、2.5×105Pa的均布荷載作用下板內混凝土、鋼筋網以及波紋管的最大應力結果，其中，σ′為壓應力，σ為拉應力。

圖11顯示了在不同荷載作用下樓蓋的各個部件的最大應力。從圖11可以看出樓蓋中的壓應力主要是由混凝土以及波紋管承擔，拉應力主要是由鋼筋網以及波紋管承擔。由此可以看出，波紋管作為樓蓋的填充體，可以和混凝土以及鋼筋協同工作，為樓蓋的穩定性起到了一定的作用。

在承受均布荷載的作用下，四邊簡支板的位移在荷載的影響下是呈線性遞增的。板的中心部位附近為撓度最大區域，板邊處變形為0。圖12顯示了在分別承受1.5×105、1.75×105、2×105、2.25×105、2.5×105Pa的均布荷載時，板內最大位移分別為2.536×10-2、2.958×10-2、3.381×10-2、3.8×10-2、4.226×10-2mm。

3.4.2 結果對比與分析

表2列出了內置空心波紋圓筒樓蓋的板中a、b、c 3點的數值模擬結果。基于經典薄板理論的正交異性板的撓度公式進行理論模擬計算，將修正后提出的剛度公式運用到計算實例當中，得出抗彎剛度Dx、Dy與樓板整體剛度H分別為4.6×108、1.28×108、4.68×108N/m。將上述理論結果代入到薄板的撓度公式(2)中，計算板的撓度。與數值結果對比顯示a、b、c 3點的位移的誤差值均不超過3%，發

表1 不同荷載下板內最大應力

圖11 不同荷載下板內最大應力Fig.11 The maximum stress in the plate under different loads

圖12 不同荷載下板內最大位移Fig.12 The maximum displacement in the plate under different loads

表2 各點在不同荷載下位移對比

生最大誤差處位于板內撓度最大處的a點，誤差達到2.28%，整體的平均誤差為1.65%。同理，基于呂輝[9]提出的剛度公式，將其應用到本文的數值模擬工程實例中，計算出內置空心波紋圓筒樓蓋的板中a、b、c 3點的撓度值，與數值模擬結果對比，發現誤差最低為12.23%，最高為16.94%，平均誤差為15.27%，如表2所示。因此，本文中的材料和構造各向異性耦合下內置波紋圓筒空心樓蓋的剛度公式比呂輝[9]的剛度公式更精確。

圖13 不同荷載作用下a、b、c 3點撓度對比Fig.13 Comparison of deflection of a, b and c under different loads

圖13給出了基于本文材料和構造各向異性耦合下內置波紋圓筒空心樓蓋的剛度公式、呂輝[9]的剛度公式下的板的撓度以及有限元數值模擬得到的撓度結果。從不同荷載作用下a、b、c 3點的撓度對比可以看出，撓度在靠近板內中間處變化速率相對于其他兩點更快，同時，計算結果中發現改進后的剛度公式在撓度最大點處的誤差相對于其他兩點較大，越靠近板邊誤差越小，但與數值模擬結果接近。

4 結論

(1)同時考慮了板材料各向異性和構造異性，對已有的剛度公式進行改進，提出形式簡便的材料和構造各向異性耦合下內置波紋圓筒空心樓蓋的剛度公式。計算公式不僅為空心樓蓋的力學性能的研究以及結構設計奠定了理論基礎，同時也為實際工程提供了理論依據。

(2)給出具體算例，對內置波紋圓筒空心樓蓋進行了數值模擬計算，得出混凝土板、配置的鋼筋網和內置波紋圓筒的應力結果以及撓度數值模擬結果。

(3)借助板撓度的數值模擬結果進行對比，結果顯示本文中剛度公式結果誤差可控制在3%以內，提高了計算精度，可為內置波紋圓筒空心樓蓋力學性能分析提供理論基礎。