環形行波超聲電機非工作模態的影響及檢測

陸旦宏, 陳柄汛, 劉星偉, 林秋香, 蔣春容, 胡 霞

(1.南京工程學院電力工程學院， 南京 211167； 2.國家電網泰州供電公司， 泰州 225300)

超聲波電機是利用彈性體諧振工作的一種致動器，其利用壓電陶瓷逆壓電效應進行激振，具有體積小、低速轉矩大、無電磁干擾等優點[1]。研究對象為環形行波超聲電機(ring-type traveling wave ultrasonic motor，RTWUSM)，其工作原理是將頻率接近定子工作模態頻率的交流電源作為電機的電源，通過逆壓電效應，產生相同頻率、不同相位的駐波，從而疊加成行波，再由定子與轉子之間的摩擦驅動轉子運動。

因此，建立定轉子接觸模型是RTWUSM分析的關鍵。目前，許多學者對RTWUSM的摩擦傳動模型進行了分析，并取得了一些研究成果。Garcia-Rochin等[2]基于干摩擦驅動原理提出了一種具有死區效應的行波型超聲波電機二階模型，其將定子抽象為速度源，對死區進行了動態描述?；诟赡Σ硫寗釉?，Kühne等[3]提出了一種具有死區效應的行波型超聲馬達二階模型，將定子抽象為速度源，對死區進行了動態描述。Jiang等[4]對應用在相機自動調焦系統中的RTWUSM進行了建模分析，分析中使用有限元法計算定轉子間的接觸應力，并考慮了黏滑效應最終得到RTWUSM的接觸模型。該建模方案中認為滑動摩擦系數是與速度有關的變量。因為摩擦系數不同應力分布也不同，因此該模型較為精確。徐志科[5]研究了含有齒槽結構定子的RTWUSM接觸模型的仿真分析，并將摩擦材料的受力方程與轉矩平衡方程相結合，建立了基于二維線性接觸的仿真模型，該模型發現了齒對電機振動的放大作用。Xu等[6]在彈性接觸仿真模型上也考慮了加工誤差及安裝誤差，該結論可用以指導超聲波電機的加工和裝配。Xu等[7]研究了轉子變形與接觸界面的應力分布對電機性能的影響，提出了一種通過改變轉子尺寸來改善超聲電機輸出特性的方法。由于定轉子接觸不均勻造成轉子磨損嚴重，對RTWUSM輸出影響很大。劉炯等[8]通過有限元仿真分析，得出了在相同邊界條件下各參數對電機接觸間隙距離大小的影響，分析結論為RTWUSM定轉子的結構設計提供了理論依據。Shen等[9]將 RTWUSM摩擦材料的楊氏模量和摩擦系數的影響納入考慮范圍，并分析了電機的輸出特性。Tan等[10]將定轉子接觸模型的建模過程分為兩個步驟，首先通過識別技術建立線性動態子模型，然后通過摩擦原理估計非線性子模型，該方案具有良好的推廣性。然而，以上接觸模型研究都是基于理想的定子工作波型，但實際的定子波型比較復雜，單純以正弦波為前提的研究與實際工況是有偏差的。

超聲波電機定子具有多種振動模態，各模態分量的幅值與電源頻率和電機諧振頻率有關。而電機的諧振頻率不是恒定的，它與溫度有關。當電機連續運行時，定子與轉子間的摩擦使定子發熱，使電機溫度明顯升高，溫升將影響超聲波電機的輸出特性[11]?；诮佑|模型和傳熱方程，Li等[12]建立了超聲電機的溫度預測模型，基于該模型可以準確預測電機的溫度。Lu等[13]針對電機的3種能量耗散進行了詳細分析，計算了摩擦損耗、定子阻尼損耗和壓電損耗3種影響溫升的熱源。文獻[14-15]采用有限元分析法研究了環境溫度對超聲波電機輸出特性的影響，為超聲波電機在極端環境下的運行提供了指導。為了減小溫升對電機性能的影響，可以采用極值搜索技術來補償溫度對摩擦的影響，進而穩定電機的轉速[16]，也可以采用魯棒控制器，使電機保持長時間穩定運行[17]。上述研究表明，溫度對電機的模態頻率和輸出性能有影響。然而，這些研究都只考慮溫度對定子振幅和輸出的影響，沒有考慮溫度變化會引起理想工作模諧振態頻率的變化，從而導致的定子波形畸變，影響電機輸出[18]。

因此，一些學者提出了頻率跟蹤方案跟蹤超聲波電機的諧振頻率，使之穩定運行。目前比較成熟的頻率跟蹤方案主要是對一些電學量進行跟蹤，如對驅動電壓、電流進行檢測跟蹤，對孤極電壓進行檢測跟蹤以及基于某些特定相位差的頻率跟蹤方案[18-19]。上述方案的效果取決于檢測電路的精度和控制模型的準確性，采用虛擬儀器技術可以簡化硬件和軟件的設計，并提高檢測精度[20]，但其僅適用于實驗室運用。此外，Shi等[21]首次提出了超聲波電機的最優工作頻率，并從機械品質因數模型推導了電學量與最優工作頻率的關系。分析結果表明，在最佳工作頻率點，超聲電機的能量損耗達到最小。因此，從降低能量損耗的角度出發，Shi等[22]提出了基于最佳工作頻率的頻率跟蹤方案。

目前，對定子非工作模態波的研究大多局限于電機結構的設計，根據不同模態的頻率對設計變量的靈敏度不同，可以實現模態分離[23]。通過模態分離技術，增大了非工作模態與工作模態的頻率差，從而提高了電機的性能。而關于非工作模態對電機輸出性能的影響以及非工作模態在控制中的應用的相關研究很少。

現對RTWUSM的定子波形進行分析，其中包括工作模態波形分量和非工作模態波形分量。然后，分析了定子的非工作模態波分量對電機輸出性能的影響，并研究了定子非工作模態波分量的檢測方法和在頻率追蹤中的應用。

1 RTWUSM的定子波形分析

以60 mm的RTWUSM為研究對象。采用有限元法分析電機在39.1～40.3 kHz頻率范圍內的定子模態，如表1所示。結果表明電機的工作模態(B09)頻率為39.1 kHz。工作模態(B09)和相鄰高階模態(B13)如圖1所示。

定子中各模態分量的含量取決于電源頻率是否接近該模態的諧振頻率。也就是說，當電源頻率接近某一模態的共振頻率時，該模態分量在定子中的含量增加；當電源頻率遠離某一模態的共振頻率時，該模態分量的比值減小。一般情況下，電源頻率接近并大于工作模態頻率，B09波是定子波的主要成分。隨著溫度的升高，所有模態的共振頻率都會降低。所以在電源頻率不變的情況下，定子中各模態的分量會發生變化，B09的分量減小，而B13的分量增大。由于其他的共振頻率遠離電源頻率，它們的模態分量占比很小，可以忽略不計。

表1 定子模態分析結果

圖1 模態振型示意圖Fig.1 Schematic diagram of modal shape

靜止坐標系(a,z)下B09對應的定子波形表達式為

(1)

靜止坐標系(a,z)下B13對應的定子波形表達式為

(2)

2 RTWUSM非工作模態的波形檢測

2.1 非工作模態檢測原理

RTWUSM的壓電陶瓷電極結構如圖2所示。在壓電陶瓷的兩相激勵區(A相和B相)之間設置有4個電極P1、P2、P3、P4，用于檢測每個位置的振幅。設電極區域P1的逆時針起始位置為空間零角位置，則電極P1、P2、P3、P4的中心線在定子圓周上的位置分別為π/36、3π/36、5π/36、13π/12。

圖2 RTWUSM壓電陶瓷電極結構Fig.2 Piezoelectric ceramic electrode configuration of RTWUSM

當施加交流電壓作用于A相和B相時，電機的定子會發生變形，同時各電極會因壓電效應而產生電壓。電極電壓頻率與電源電壓頻率相同，電極電壓幅值也與同一位置定子的變形幅值成正比。定子中各模態的波分量都會影響各電極的電壓。只考慮占主要優勢的B09和B13的影響。

由式(1)和式(2)可知，不同模態對P1和P3的壓電效應可以描述為

電極P1：

(3)

電極P3：

(4)

式中：k為壓電陶瓷的壓電效應系數；下標p1、p3分別為電極P1和電極P3。

由式(3)和式(4)可得，由B09振型(包括工作模態的行波分量和駐波分量)所激發的電極P1的電壓幅值與電極P3的電壓幅值相同，而相鄰高階模態(B13)振型不具有這一特性。

2.2 非工作模態波形檢測方案設計

利用ANSYS軟件對60 mm的RTWUSM的諧波響應進行分析。各電極在不同頻率下的電壓幅值如表2所示。

定義Δp1-3為

(5)

式(5)中：Up1、Up3為電極P1和電極P3的電壓幅值，它們是由壓電效應產生的，取決于定子的振動波形，包括工作模態分量、相鄰的高階模態分量和所有其他非工作模態分量。圖3所示為Δp1-3與頻率的關系曲線。從圖3中可以看出，當驅動頻率低于工作模態頻率時，Δp1-3為負。當驅動頻率等于工作模態頻率時，Δp1-3接近于0。當驅動頻率高于工作模態頻率時，Δp1-3為正。驅動頻率偏離諧振頻率越大，Δp1-3值越大。此外，隨著電源頻率的增加，Δp1-3近似呈線性增加，奇異性只出現在工作模態共振頻率附近的一個小區域。因此，通過該特性可以定性地檢測出定子非工作模態波分量與工作模態波分量的比值。此外，通過對Δp1-3的檢測，也可以確定電源頻率偏離工作模態頻率的大小和方向，從而實現對電機的頻率跟蹤控制。

表2 不同頻率下電極電壓幅值(部分數據)

圖3 Δp1-3與頻率的關系曲線Fig.3 Δp1-3 and frequency curve

3 考慮非工作模態的RTWUSM機械特性分析

為了便于分析，假設電機結構是理想對稱的，因此定子中不包含B09模態的wst09駐波分量。又由于定子是基于B09模態設計的，與其相鄰的高階B13模態對應的行波分量wtr13會很少，所以忽略這兩個量。定子中的波可以表示為工作模態的行波分量wtr09和相鄰高階模態的駐波分量wst13的混疊波?；殳B波可以表示為

(6)

建立固定于B09行波上的移動坐標系，且該坐標系原點始終位于B09波形中振幅為0的點，此時，B13振型的駐波波形則會“移動”，式(6)也可以表達為

(7)

在某一時刻，電機的定子波形如圖4所示。圖4中虛線分別為B09波形和B13波形，實線為重疊波形。wtr09的波長是定子的1/9圓周，而wst13的波長是定子的1/3圓周。因此，圖4只顯示了分布在定子1/3上的波形。

圖4 某一時刻電機定子疊加波Fig.4 Stator superposition wave of motor at a certain time

3.1 RTWUSM定轉子接觸分析

RTWUSM的定轉子是通過預壓力壓緊在一起的，定轉子間的應力與預壓力相平衡。假設定子為剛體，形變僅存在于轉子摩擦材料上，且轉子摩擦材料僅在定轉子接觸位置形變，此時與圖4所示的混疊波形相對應的電機定轉子接觸模型如圖5所示。

圖5 定轉子接觸模型Fig.5 Contact model of stator and rotor

在一個完整的混疊波形中有3個波峰，3個波峰的幅值并不相同，因此3個波峰與轉子接觸的長度并不相同。其中第1個波峰與摩擦材料的接觸區域為[α1,α2]，第2個波峰與摩擦材料的接觸區域為[α3,α4]，第3個波峰與摩擦材料的接觸區域為[α5,α6]。α1,α2，…，α6均為電機定子空間位置的機械角度。

因為摩擦材料僅在定轉子接觸位置產生形變，所以定子波形在擠壓摩擦材料以后其與摩擦材料在臨界接觸位置的高度相同，可描述為

w(α1,t)=w(α2,t)=w(α3,t)=w(α4,t)=

w(α5,t)=w(α6,t)

(8)

根據圖5中定轉子接觸模型，可得到摩擦材料的法向應力分布為

p(α,t)=E·ε(α,t)

(9)

式(9)中：E為摩擦材料的楊氏模量；ε為摩擦層的法向應變。接觸區域(α1,α2)、(α3,α4)、(α5,α6)的法向應變為

(10)

式(10)中：h表示摩擦材料厚度。摩擦材料接觸部分的變形用f1(α,t)表示。它可以表達為

f1(α,t)=w(α,t)-w(α1,t)=

(11)

將式(10)、式(11)代入式(9)可得法向應力分布為

(12)

設外加的預壓力為Fc，則電機穩定運行時混疊波形一個周期范圍內的法向應力的平均值與外加的法向預壓力相等，即

(13)

式(13)中：b為定、轉子接觸區域的寬度；λ為B13的波長，且λ=2πRav/3，Rav為定轉子有效接觸半徑；T為用機械角度表示的混疊波形的周期，且T=2π/3。將式(12)代入式(13)得

(14)

聯立式(8)和式(14)可以求解出α1～α6隨t變化的表達式。

3.2 RTWUSM輸出特性分析

因為混疊波形中的B13波形主要為駐波，但是只有行波才可以形成定子表面質點的切向速度。因此B13駐波對定子表面質點的切向速度的影響可以忽略不計。定子表面質點的切向速度只與工作模態波形的行波分量有關，根據彈性理論其可以近似表示[2]為

(15)

式(15)中：a表示從定子表面到中性面的距離；x表示空間位置，其可描述為

(16)

聯立式(6)、式(15)、式(16)得

(17)

當坐標系固定于B09行波上時，有

(18)

由式(18)可知，定子表面質點的切向速度近似為正弦函數，其波長等于工作模態波形的波長。也就是說，在一個混疊波形周期內，3個接觸區域的電機定轉子速度關系均相同，如圖6所示。

圖6 定、轉子速度關系Fig.6 Stator and rotor velocity

在圖6中，vS表示等效接觸半徑下，定子表面上質點的切向速度；vR表示等效接觸半徑下，轉子表面質點的切向速度。φ1～φ6為空間位置機械角。當電機穩定運行時，位于轉子表面相同接觸半徑處的所有質點的切向速度都是相同的。等效接觸半徑下，轉子表面質點的切向速度可以用圖6中的直線表示。在空間位置為φ1～φ6時，定子表面質點的切向速度與轉子表面質點的切向速度相同。

當vs(φ1)=vR時，可以從式(18)推到以下公式：

(19)

式(19)中：NR為轉子轉速，NR=60vR/(2πRav)。同理

(20)

此外，在每個波峰處，兩個接觸邊界位置之間的距離必須大于定子表面質點切向速度為VR的兩點之間的距離。這意味著[4]：

(21)

考慮到RTWUSM的黏滑效應和庫侖摩擦定律，當定子和轉子黏接時：

Ff=μsp(α,t),vs=vR

(22)

當定子和轉子滑動時：

|Ff|=μd·p(α,t),vs≠vR

(23)

式中：Ff表示摩擦力；μs表示靜態摩擦系數，μd表示動態摩擦系數。

在α1～φ1范圍內，定子質點的切向速度小于相同空間位置處的轉子質點的切向速度。因此，該接觸部分產生的扭矩為負。扭矩值可以描述為

(24)

在φ1～φ2范圍內，定子質點的切向速度大于相同空間位置處的轉子質點的切向速度。因此，該接觸部分產生的扭矩為正。扭矩值可以描述為

(25)

在φ2～α2范圍內，定子質點的切向速度小于相同空間位置處的轉子質點的切向速度。因此，該接觸部分產生的扭矩為負。扭矩值可以描述為

(26)

因此，[α1，α2]的接觸部分產生的扭矩為

TM1=TM11-TM12-TM13=

(27)

同理，由[α3，α4]和[α5，α6]的接觸部分產生的轉矩為

TM2=TM21-TM22-TM23=

(28)

TM3=TM31-TM32-TM33=

(29)

將式(12)代入式(23)，則摩擦力可描述為

(30)

將式(30)代入式(25)～式(27)，可得

(31)

電機混疊定子波形共有3個周期，因此電機的總轉矩TM為

TM=3(TM1+TM2+TM3)

(32)

電動機的轉矩平衡方程為

(33)

式(33)中：Jr表示電機的轉動慣量；ωr表示轉子的角速度，且ωr=vR/Rav=2πNR/60；dr表示轉子的周向阻尼系數；TL表示電機的負載力矩。將式(20)、式(31)～式(33)聯立，可將RTWUSM總輸出特性的數學模型寫為

(34)

4 RTWUSM輸出特性的數值分析

利用上述數學模型和MATLAB軟件，在考慮相鄰高階模態影響的情況下，對RTWUSM的輸出特性進行分析和計算。RTWUSM的結構參數如表3所示。給電機施加的預壓力為F，負載轉矩為TL。

表3 RTWUSM的結構參數

4.1 機械特性

4.1.1 不同含量的非工作模態波對電機機械特性的影響

定義B13/B09為相鄰高階模態波振幅與工作模態波振幅之比。如圖7所示，當B13/B09改變，電機的機械特性也會改變。wtr09和wst13的相對位置不斷變化，機械特性曲線會隨之波動。對比圖7(a)和圖7(b)可知，B13波含量越大，機械特性曲線波動范圍越大。

4.1.2 預壓力對電動機機械特性的影響

如圖8所示，當B13/B09=5%時，對不同預壓力下RTWUSM的機械特性進行數值分析。從圖8中可以看出，在輕載轉矩下，電機轉速隨預壓力的增大而減小，轉速波動范圍隨預壓力的增大而增大；在重載轉矩下，電機轉速隨預壓力的增大而增大，轉速波動范圍隨預壓力的增大而減小。

圖7 135 N預壓力下電機的機械特性Fig.7 Mechanical characteristics of motor under 135 N pre-pressure

圖8 不同預壓力下電機的機械特性Fig.8 Mechanical characteristics of motor under different pre-pressure

4.2 轉速和轉矩的波動

4.2.1 不同非工作模態含量對轉速和轉矩波動的影響

在仿真中，給電機施加的負載轉矩的初值為0.15 N·m，于0.216 ms跳至0.2 N·m。所得結果如圖9和圖10所示，其分別為相同預壓力、不同B13/B09值下的轉速波動曲線和轉矩波動曲線。對比圖9、圖10可以看出，轉矩和轉速的波動隨相鄰高階模態波所占比例增大而增大。

圖9 電機轉速波動曲線Fig. 9 Speed fluctuation of motor

圖10 電機轉矩波動曲線Fig.10 Torque Fluctuation of Motor

4.2.2 預壓力對轉速和轉矩波動的影響

(1) 輕載。在仿真中，給電機負載轉矩的初值為0.15 N·m，在0.216 ms跳到0.2 N·m。由圖11可以看出，預壓力越大，RTWUSM的轉速和轉矩波動越大。

(2) 重載。在仿真中，給電機負載轉矩的初值為0.37 N·m，在0.216 ms跳到0.42 N·m。由圖12可以看出，預壓力越大，RTWUSM的轉速和轉矩波動越平穩。

圖11 輕載下轉速和轉矩的波動曲線Fig.11 Fluctuation curve of speed and torque under light load torque

5 試驗結果

搭建相應的電機平臺并進行試驗，試驗平臺如圖13所示。

5.1 電機定子電極信號的測量

通過試驗測量不同頻率下RTWUSM電極信號的幅度，并計算其差值，結果如表4和圖14所示。

由表4和圖14可以看出，當電源頻率偏離工作模態頻率時，由于工作模態振型含量的減少和非工作模態振型含量的增加，Δp1-3近似線性增加。因此，利用Δp1-3可以定性地判斷功率頻率和工作模態頻率之間的差異，定性地檢測非工作模態在定子波形中的比例。

圖13 試驗平臺Fig.13 The platform of experiment

表4 不同頻率下電極信號幅值

圖14 不同頻率下電極信號的幅值差Fig.14 Amplitude difference of electrode signal at different frequencies

5.2 電機轉速和頻率特性測量

如圖15所示，通過試驗測量不同頻率下的轉速，并根據試驗結果計算出不同頻率下轉速和轉速波動的平均值，如表5所示。

從圖15和表5可以看出，當電源頻率增加時，電機的速度降低，而速度波動增加。其原因是電源頻率逐漸遠離工作模態頻率，導致工作模態波形含量減少，非工作模態波形含量增加。

圖15 不同頻率下的轉速試驗結果Fig.15 Experiments of rotational speed at different frequencies

表5 不同頻率下的平均轉速和轉速波動

6 結論

分析了RTWUSM的定子波形，研究了工作模態和非工作模態的特性，并提出了定子非工作模態的檢測方案。通過解析法推導了RTWUSM混疊波的接觸模型和電機輸出模型。利用該模型，仿真分析了RTWUSM在相鄰高階模態和工作模態不同比例下的機械特性、轉速和轉矩特性。理論和試驗結果表明:①相鄰高階模態含量占比越大，電機輸出的波動越大; ②在輕載轉矩下，電動機的轉速隨預壓力的增大而減小，轉速波動范圍隨預壓力的增大而增大；③在重載時，電機轉速隨預壓力的增大而增大，轉速波動范圍隨預壓力的增大而減小; ④通過比較電極P1和P3的電壓幅值，可定性確定定子波形中非工作模態波形含量的比例，故該方法可應用于RTWUSM的非工作模態波形檢測。