數(shù)形結(jié)合·關(guān)注思維·溝通聯(lián)系

陳巧玲

一、教材分析

《同分母分?jǐn)?shù)加減法》是人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)《分?jǐn)?shù)的加法和減法》單元的起始課。該單元是小學(xué)“數(shù)的運(yùn)算”領(lǐng)域重要基礎(chǔ)知識(shí)之一。小學(xué)“數(shù)的運(yùn)算”主要包括整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算。其中，分?jǐn)?shù)的運(yùn)算在三年級(jí)上冊(cè)出現(xiàn)，在六年級(jí)完成全部學(xué)習(xí)內(nèi)容。（如表1）

三年級(jí)學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單的同分母分?jǐn)?shù)的加、減法，主要借助數(shù)形結(jié)合、直觀操作，理解算理、掌握算法，其目的是深化學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)含義的理解。五年級(jí)系統(tǒng)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的加法和減法（包括同分母分?jǐn)?shù)加減法、異分母分?jǐn)?shù)加減法和分?jǐn)?shù)加減混合運(yùn)算），使學(xué)生形成基本的分?jǐn)?shù)加減法運(yùn)算能力。至此，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的加、減法運(yùn)算全部學(xué)完，可以溝通分?jǐn)?shù)與整數(shù)、小數(shù)的加減法運(yùn)算的內(nèi)在聯(lián)系。

在分?jǐn)?shù)加減法運(yùn)算過(guò)程中，分?jǐn)?shù)單位相同才能相加減。在整數(shù)、小數(shù)加、減法運(yùn)算過(guò)程中，也是相同計(jì)數(shù)單位才能相加減。通過(guò)整體把握教材，發(fā)現(xiàn)整數(shù)、小數(shù)的計(jì)數(shù)單位具有直觀、顯性化的特點(diǎn)，而分?jǐn)?shù)單位相對(duì)抽象和隱性。但三者運(yùn)算本質(zhì)相同，即都是相同計(jì)數(shù)單位才能相加減。因此，分?jǐn)?shù)單位即計(jì)數(shù)單位十分重要，是理解算理的關(guān)鍵。

先學(xué)習(xí)同分母分?jǐn)?shù)加減法，理解相同單位的分?jǐn)?shù)相加減的算理，是為后面異分母分?jǐn)?shù)加減法的學(xué)習(xí)，理解算理搭好階梯。因此，為了幫助學(xué)生更好地理解同分母分?jǐn)?shù)加減法的算理，要重視數(shù)形結(jié)合，結(jié)合圖示引導(dǎo)學(xué)生從分?jǐn)?shù)意義的角度來(lái)理解算理，歸納出同分母分?jǐn)?shù)相加、減的算法，從感性經(jīng)驗(yàn)上升到理性認(rèn)識(shí)。同時(shí)，關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，溝通同分母分?jǐn)?shù)加減法和整數(shù)、小數(shù)加減法的內(nèi)在聯(lián)系，把點(diǎn)狀知識(shí)連成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)性。

二、學(xué)情分析

調(diào)研題目：計(jì)算 ? + ? =，并寫出自己的思考過(guò)程。

調(diào)研對(duì)象為五年一班全體學(xué)生，共42人。其中，能正確計(jì)算的有29人，正確計(jì)算并能說(shuō)明思考過(guò)程的有10人，計(jì)算錯(cuò)誤的有8人（其中7人錯(cuò)誤地把分子相加、分母相加得出結(jié)果 ? ?）。

1.從數(shù)據(jù)來(lái)看，約69%的學(xué)生會(huì)正確計(jì)算，但只有約23%的學(xué)生能說(shuō)明計(jì)算背后的道理。大多數(shù)學(xué)生采用比較直觀的方法，數(shù)形結(jié)合，通過(guò)畫圖合表達(dá)自己的思考過(guò)程。可見(jiàn)，數(shù)形結(jié)合可以更好地幫助學(xué)生理解算理。

2.約17%的學(xué)生受整數(shù)加法的負(fù)遷移，把分子、分母分別相加。由此可見(jiàn)，學(xué)生只關(guān)注算的形式，不會(huì)關(guān)注算的本質(zhì)，即不能根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義思考分?jǐn)?shù)加法的實(shí)質(zhì)。

三、課時(shí)目標(biāo)

基于對(duì)教材的分析和學(xué)情分析，擬定課時(shí)目標(biāo)如下：

1.理解同分母分?jǐn)?shù)加減法的算理，掌握算法，能正確計(jì)算出結(jié)果。

2.借助直觀模型，運(yùn)用分?jǐn)?shù)的意義，經(jīng)歷算理的探究過(guò)程，體會(huì)多樣化的學(xué)習(xí)策略。

3.溝通同分母分?jǐn)?shù)加減法和整數(shù)、小數(shù)加減法的內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

四、教學(xué)過(guò)程

（一）舊知鋪墊，目標(biāo)引領(lǐng)

師：同學(xué)們，今天我們繼續(xù)研究加減法，先回顧一下我們?cè)?jīng)學(xué)過(guò)的加減法。

（出示復(fù)習(xí)題：465+3= ?46.5-0.3= ）

師：你們是怎么想的？

生1：5+3=8，所以是468。

生2：個(gè)位上的5加個(gè)位上的3等于8，其它數(shù)位不用加，所以是468。

師：個(gè)位上的5表示幾個(gè)幾呢？個(gè)位上的3呢？

生3：個(gè)位上5表示5個(gè)一，個(gè)位上的3表示3個(gè)一，加起來(lái)是8個(gè)一，所以就是468。

師：那第二題是怎么想的？

生4：5個(gè)0.1減3個(gè)0.1就是2個(gè)0.1，所以是46.2。

師：說(shuō)得真好，整數(shù)、小數(shù)的加減法就是把相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)相加減。（如圖1）

師：那分?jǐn)?shù)的加減法呢？今天我們一起來(lái)研究。

（二）數(shù)形結(jié)合，初探算理

出示 ? ?+ ? =

師：請(qǐng)大家猜一猜，算一算， ? ?+ ? 的和是多少？（有的學(xué)生猜是 ? ?，有的學(xué)生猜是 ? ?）

師：同學(xué)們出現(xiàn)兩種不同的答案，到底哪個(gè)答案正確呢？請(qǐng)你通過(guò)畫一畫或?qū)懸粚懙姆绞奖磉_(dá)自己的想法，讓人一眼看明白。

1.學(xué)生自主探索，教師巡視指導(dǎo)。

2.全班交流，思維碰撞，理解算理。

師：老師選取了三副有代表性的作品，我們一起來(lái)交流一下。

生1：我是通過(guò)畫圖得到 ? ?+ ? = ? ? 。

生2：我也是通過(guò)畫圖來(lái)思考，不過(guò)我得到的答案是 ? ?。

生1：（質(zhì)疑）兩次合起來(lái)明明一共是16份，你怎么只畫了8份？

生2：兩次涂色共涂了4份，不到8份，所以只要畫一個(gè)長(zhǎng)方形，平均分成8份，把4份涂色。

生3：我有補(bǔ)充，如果把2個(gè)長(zhǎng)方形拼在一起平均分成16份，那其中的3份就表示 ? ?而不是 ? ?了，意思就發(fā)生變化，所以結(jié)果只能畫一個(gè)長(zhǎng)方形，把它平均分成8份，其中4份涂上顏色，也就是 ? ? 。

（生3說(shuō)完，全班學(xué)生給予了熱烈的掌聲）

師：同學(xué)們數(shù)形結(jié)合，通過(guò)畫圖得到結(jié)果，在交流中明確了為什么不能把分母相加的道理，真了不起！我們?cè)賮?lái)看看下面這幅作品。

生4：我也是畫圖得到結(jié)果的，我只畫一個(gè)長(zhǎng)方形，平均分成8份，先把其中3份涂上顏色就是 ? ?，再涂1份就是 ? ?，合起來(lái)涂了4份，也就是 ? ?。我們發(fā)現(xiàn)結(jié)果還可以用 ? ? 表示。

師：你們觀察得真仔細(xì)， ? 約分后是 ? ，計(jì)算結(jié)果一般要寫成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

（三）問(wèn)題導(dǎo)航，理解算理

師：同學(xué)們剛剛通過(guò)畫圖的方法計(jì)算出 ? ?+

的結(jié)果。

那請(qǐng)你繼續(xù)用畫圖的方法計(jì)算 ? ? ?+ ? ? ?。

生5：老師， ? ， ? 怎么畫呀，太難了。（其他學(xué)生附和）

師：那該怎么辦？ ? ?+ ? ? 我們就算不出來(lái)了嗎？

（學(xué)生陷入思考）

生6：可以直接將分子與分子相加，即4+19=23，分母不變，結(jié)果是 ? ? ?。

師：這個(gè)結(jié)果對(duì)不對(duì)？誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)你的思考？

生7：剛才用畫圖操作的方法計(jì)算 ? + ? 時(shí)，可以知道它就是3個(gè) ? 加1個(gè) ? ，得到4個(gè) ? ，就是 ? ? 。所以 ? ? ?+ ? ? ?就是4個(gè) ? ? 加19個(gè) ? ? ，得到23個(gè)

就是 ? ? 。

師：你真會(huì)思考，能從圖中找到兩個(gè)分?jǐn)?shù)加法算式的內(nèi)在聯(lián)系。

（四）自主遷移，深化理解

師：剛才我們研究了同分母分?jǐn)?shù)加法的計(jì)算方法，這里還有一個(gè)同分母分?jǐn)?shù)減法問(wèn)題，你會(huì)計(jì)算嗎？（出示 ? ?- ? ）

生： ? - ? = ? ?。

師：能說(shuō)說(shuō)這樣算的道理嗎？

生1： ?是3個(gè) ? ，3個(gè) ? 減1個(gè) ? 等于2個(gè) ? ，就是 ? ?。

師：說(shuō)得很清楚，誰(shuí)還有補(bǔ)充？

生2：計(jì)算結(jié)果要約分成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)， ?約為 ? ， ?-

結(jié)果是 ? ?。

師：同學(xué)們真厲害！通過(guò)自己的研究學(xué)會(huì)了同分母分?jǐn)?shù)的減法。還提醒結(jié)果要化為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

（五）練習(xí)鞏固，提煉算法

P90頁(yè)做一做第1、2題（略）

（學(xué)生獨(dú)立計(jì)算后，組織反饋與講評(píng)）

師：回顧這節(jié)課的研究，觀察這些算式，在同桌間互相說(shuō)一說(shuō)，怎樣計(jì)算同分母分?jǐn)?shù)加、減法？

（學(xué)生在同桌間討論，教師巡視，然后組織反饋）

生1：同分母分?jǐn)?shù)加法，都是幾個(gè)幾分之一相加，同分母分?jǐn)?shù)減法，都是幾個(gè)幾分之一相減，分?jǐn)?shù)單位是相同的，所以它們的分母不變。

生2：計(jì)算同分母分?jǐn)?shù)加、減法時(shí)，分母不變，只把分子相加、減。

（六）回顧對(duì)比，溝通聯(lián)系

師：學(xué)到這里，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的加減法有整數(shù)、小數(shù)以及同分母分?jǐn)?shù)，它們之間有沒(méi)有什么關(guān)系呢？請(qǐng)?jiān)谒娜诵〗M里互相說(shuō)一說(shuō)。（如圖5）

師：誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)自己的想法？

生1：這些數(shù)都不一樣，一個(gè)是整數(shù)、一個(gè)是小數(shù)、一個(gè)是分?jǐn)?shù)。

生2：都是幾個(gè)幾相加減。

生3：都要相同的才可以相加、減。

師：你說(shuō)的相同是指什么？

生3：第一個(gè)算式是相同的一，第二個(gè)算式是相同的0.1，后面兩個(gè)算式是相同的 ? ? 。

師：誰(shuí)聽(tīng)懂了？

生4：她是說(shuō)第一題個(gè)位5加3，是5個(gè)一加3個(gè)一，都是幾個(gè)一相加;第二題是十分位上5減3，都是幾個(gè)0.1相減;第三題都是幾個(gè) ? 相加;第四題都是幾個(gè) ? ?相減。

師：同學(xué)們說(shuō)得真好。正如你們所說(shuō)，它們都是幾個(gè)幾相加減的，你們說(shuō)的一、0.1、 ?都是計(jì)數(shù)單位。所以整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的計(jì)算道理是一樣的，都是相同的計(jì)數(shù)單位才能相加、減。

師：老師這里還有一道題，（出示） ? + ? =想一想，這兩個(gè)分?jǐn)?shù)可以直接相加嗎？

生：不行，它們分母不一樣。

師：那該怎樣計(jì)算？能變成分母一樣的嗎？我們下節(jié)課繼續(xù)來(lái)研究。

五、課后反思

（一）克服情境束縛，關(guān)注學(xué)生的思維

教材選擇學(xué)生熟悉的日常生活情境（分吃圓形大餅）為素材，結(jié)合直觀圖示，確實(shí)能很好地幫助學(xué)生計(jì)算出結(jié)果。但是，情境也束縛了學(xué)生的思維。通過(guò)前測(cè)分析知道學(xué)生容易受整數(shù)加法的負(fù)遷移，錯(cuò)誤地認(rèn)為分母也要相加。對(duì)于這樣的想法，教師不能視而不見(jiàn)。在本節(jié)課中，教師只是舍去例題情境，卻呈現(xiàn)了完全不同的效果，學(xué)生沒(méi)有了情境的束縛，充分暴露出整數(shù)加法“已有經(jīng)驗(yàn)”對(duì)分?jǐn)?shù)加法學(xué)習(xí)的影響。課堂上教師通過(guò)選取典型作品（數(shù)形結(jié)合），展示交流，引起學(xué)生間思維的碰撞，學(xué)生在交流中理解算理。

（二）擺脫對(duì)圖形的依賴，真正明理

三年級(jí)學(xué)生就能借助折紙、畫圖等操作計(jì)算出同分母分?jǐn)?shù)加法（分母不超過(guò)10），難道五年級(jí)這節(jié)課還停留在直觀圖支持層面？如果繼續(xù)用畫圖操作的方法計(jì)算，學(xué)生無(wú)法真正理解“為什么這樣算”。而計(jì)算 ? ?+ ? ?，畫圖操作太麻煩了，學(xué)生的認(rèn)知沖突自然產(chǎn)生。促使學(xué)生轉(zhuǎn)變思考方向，從說(shuō)理的角度出發(fā)。從而實(shí)現(xiàn)由原來(lái)借助感性經(jīng)驗(yàn)上升到理解算理的理性認(rèn)識(shí)的飛躍。

（三）溝通聯(lián)系，知識(shí)入框

數(shù)學(xué)知識(shí)間不是孤立存在的，而是有著密切的聯(lián)系。分?jǐn)?shù)加減法的算理其實(shí)和整數(shù)、小數(shù)加減法的算理是相通的。通過(guò)回顧對(duì)比，溝通分?jǐn)?shù)、整數(shù)、小數(shù)加減法三者之間的內(nèi)在聯(lián)系，把點(diǎn)狀知識(shí)連成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)性。