基于回收期的科技創新項目決策模型分析

徐龍華

(1.安康學院數學與統計學院,陜西 安康725000;2.安康學院數學與應用數學研究所,陜西 安康725000;3.陜南生態經濟研究中心,陜西 安康725000)

1.引言

在對一個科技創新項目決定是否投資時,有多種方法可供決策者參考.標準的NPV方法是許多文獻中經常推薦的方法,而對回收期方法頗有爭議.根據回收期法,回收期較短的項目應該優先考慮.但在不確定情形下,很容易構造一個例子說明回收期較短的項目不一定能具有較大的凈現值,即不一定使企業獲得最大的收益,此時,回收期法與NPV法對同一項目進行決策時,可能會導致不同的決策.對資本受到限制的科技創新公司來說,利用回收期法可能較好,因為較早的收回成本可以使科技創新公司可以從事之后的項目開發.但對資金充足的科技創新公司來說,NPV法則是他們更好的選擇.投資項目在企業經營發展中具有重要的作用,合理選擇投資項目內容,合理配置投資方案,對于實現科技創新企業主體的可持續發展來說非常重要.

科技創新公司通常通過計算預期回報率和投資回收期來評估投資機會,許多科技創新公司要求在幾年內收回投資支出,要求更高的隱含回報率.因此,許多科技創新公司的資本支出決策對利率變化并不直接敏感.盡管最低回報率和投資回收期都提供了一個客觀的決策規則來作為支出決策的依據,但整個決策過程往往具有高度的主觀性.目前,大部分科技創新公司都采用回收期法來評價項目,那么為什么回收期法會這么受歡迎呢？本文將會回答這個問題.

對于傳統的NPV方法看起來似乎是一個很合理的評價方法,然而,在不確定下的投資時,諸多文獻如文[1-6]都指出了NPV方法的不合理性和缺點.傳統的方法只適用于那些不可逆轉的投資行為,即管理人員根據目前已知的或預測的信息對投資項目作出決策,然后觀察和控制將要發生的情況.然而這類方法卻不適用于下述情況:企業有機會等待和觀察那些與投資項目有關的不確定性因素,等待事態發展到一定程度,然后作出投資決策.在這種情形下,科技創新企業的投資項目顯然與股票的看漲期權很類似;所以此時即使項目的NPV為正,投資者也應該等待投資.主要原因在于傳統的NPV方法沒有考慮到管理者的各種管理柔性,如所謂等待期權等.即在投資之前,可能等待一段時間看事情怎樣發展再決定是否投資會更好.由于實際中,回收期方法被大多數科技創新企業所采納,而現有的文獻中卻很少對此做出解釋.Wambach在文[7]中引入了在不確定性下回收期概念.分析了對回收期與等待期權之間的關系,得出了回收期較短的項目具有較少的等待價值.但是,Wambach是對投資決策做討論的,在得到“回收期較短的項目是具有較少的等待價值”這個主要結論時,使用的不是直接論證的方法,而是間接推斷出來的.通過對不確定性投資的實物期權[8?10]方法的研究,投資者使用投資回收期作為經驗法則是合理的.本文把Wambach的模型推廣到科技創新項目決策問題,并給出回收期的計算公式,直接證明了回收期與等待期權的正相關性,回收期與單位資本回報的負相關性;另外也分析了同一參數對回收期及等待期權產生的不同影響.

2.不確定性下科技創新項目的回收期

本文利用Wambach的思想,對他的基本模型作出了推廣.Wambach的模型是針對投資決策的,而本文將他的模型推廣到科技創新項目投資問題.因為在當今科技高速發展的時代,投資者們如何準確把握時代的脈搏,尋找市場的最佳切入點,抓住機遇,改革創新使科技創新企業立于不敗之地是一個相當重要很值得探討的問題.現在雖然許多的文獻都對企業的最優進入與退出時機進行了分析,但很少考慮到科技創新企業進入某項目后,了解到該行業市場行情及發展趨勢,從而具有科技創新的能力,這樣,科技創新企業具有一個新的期權,即研究開發與創新的期權.[11?14]而本文引進回收期法的概念,考慮對一種簡單的科技創新項目作決策的情況:再進行研究之前,一次性投入固定成本,且投資不可逆.研究成功時間具有不確定性.研究成功后,投入市場無須成本,而利潤流也具有不確定性.下面就是要給出計算這種項目的回收期方法.

考慮一個科技創新公司有這樣的一次投資機會:投資成本為I.進行某一研究,而研究成功時間具有不確定性.這里假定成功時間服從指數分布,即它的密度函數為f(t)=λe?λt,t ≥0,λ表示研究的努力程度.研究成功后,以零成本投入市場獲取利潤流P(t).P(t)也是具有不確定性,假定它服從一個幾何布朗運動,即dP=αPdt+σPdz,這里dz定義一個標準的維納過程,α和σ是常數.P的期望值是時間的增函數,即E(P(t))=P0eαt,其中α表示項目漂移率.α越大,則將來期望支付越大;σ越大,則科技創新項目的利潤流的不確定性就越大.特別,支付的方差Var(P(t))=P20e2αt(eσ2t ?1).只要就會有任意大的t都有P(t)>0 ,因此科技創新項目永遠都有價值,這里我們假定投資者是風險中性的.因此較大的σ,并不意味要求更大的回報.在后面會給出證明,更大的σ會有更大的等待期權,即使對風險中性者來說,當不確定性更大時,等待一段時間再作決定可能是更好的.那么,對這類科技創新項目如何計算它的期望的回收期,下面我們就給出計算過程.

假如現在的利潤流水平為P0,回收期設為PP(P0),根據回收期法的概念,也就是到第PP(P0)年時期望能收回成本I.我們采用記號G(X)表示從投資I開始后至第X年期間所獲得的利潤折現值.其中折現率為γ,γ可看作無風險利率,且假設γ >α,因此

這里T0表示研究成功的時間.因為只有研究成功后科技創新公司才會獲得利潤流,所以當T0>X時,沒有利潤流,即G(X)=0.因此到第X年時科技創新公司的期望收益為:

根據回收期定義,回收期內的科技創新公司期望收益等于公司對此項目的資本投資,則應有:

由(2.2)及(2.3)可知,PP(P0)滿足方程:

上式化簡變形即得:

(2.4)式即為回收期PP(P0)應滿足的方程.

命題1當時,方程(2.4)關于PP(P0)的解是存在唯一的.

證(2.4)式左邊對PP(P0)求導,得:

所以(2.4)式左邊是關于PP(P0)的單調減函數.由于(2.4)式左邊是關于PP(P0)的單調減函數,又有當PP(P0)=0時,(2.4)式左邊為大于(2.4)式右邊,而當PP(P0)→∞時,(2.4)式左邊→0.因此(2.4)式左邊的最大值為,最小值為0.由此,當時,方程(2.4)有唯一解,即存在一個有限的回收期PP(P0).

故此在利潤水平為P0時投資,該項目的凈現值NPV(P0)為:

以上便是對這樣一種簡單的科技創新項目的回收期進行計算的過程,我們得到了一個可以確定回收期的重要方程(2.4).這個方程不僅能夠唯一的確定回收期,方程(2.4)的右邊還可以計算總現值和凈現值以及有助于得到等待期權的價值,而且這個方程可以得到各個參數對回收期的影響.

有了確定回收期的方程,就有了評價科技創新項目是否應該進行投資的指標,我們便應該考慮如何利用這個指標來做出決策,即該科技創新項目是投資還是不投資,或即刻投資或等待投資.

3.等待期權

對上面給出的這種科技創新項目,管理者是馬上投資還是等待呢? 是否要根據傳統的NPV法,只要現在的NPV(P0)大于零就可以進行投資? 如果現在不投資,那么什么時候才是最佳的投資時間? 或者說最優的投資決策是在P達到多大時就馬上投資呢? 這個臨界值P?如何確定? 要回答這個問題,采用實物期權的思想是很有用的.投資機會可以看作是一個期權,以及實物期權的思想.我們知道了通常在做出投資決策是處在不確定的環境下的,如果光憑著科技創新項目的凈現值來決定是否投資不一定是正確的,因為凈現值只能決定在此刻是投資還是不投資,而不能說明在此刻投資是否能獲得最大的收益.在這種情況下,我們是否要考慮等待更多的信息以獲取更多價值.這就有了一個最優投資點的問題了,下面我們具體來解決這個問題.

投資者有一個支付I進行科技創新,成功后可獲利潤流為P(t)的期權,但他不一定立即執行這個期權,可以采取等待,在最佳時機再進行投資.為了得出這個最佳投資點,我們借用數學上,已經發展起來的在不確定性下的動態優化理論工具.考慮一個科技創新公司已經作了投資,那么它的總現值是:

(3.1)可以由(2.5)直接得到,其中,P(t)為在t時刻已知投資的利潤流.

現在,考慮一個科技創新公司還未對項目進行投資,則這個項目的價值可由貝爾曼原理得出:

這就是現在的投資期權值等于明天的投資期權值折現.只要這個投資期權沒有被執行,即只要P及P+dP是小于P?(臨界值),方程(3.2)總成立.(3.2)式右邊可利用伊藤引理展開:

通過利用E[dP] =αPdt,E[(dP)2] =σ2P2dt,及e?γdt= 1?γdt+o(dt),代入上式得到關于V(P)的微分方程:

解這個方程可得到:

設β1,β2是方程(3.5)的兩根.由于γ >α,因此由方程(3.5)可知,它的其中一根大于1,另一根小于0,我們不妨假設β1>1,β2<0.A1,A2由邊界條件可確定,其中一個條件是:如果P= 0,則項目值應該為0(V(0)= 0),這一點可以直接解釋,因為當P= 0 時,隨機過程P(t)總會為常數值0.因此,由β2<0,可得A2= 0.至于A1的計算,則必須考慮投資的最優點時的項目價值V.我們定義這個最優點為P?.則有兩個條件必須滿足:(i)值匹配條件,即投資的期權值應該等于總現值減掉投資成本;(ii)光滑通過條件,即期權值V(P)對P的偏導,在P=P?時應等于總現值GPV對P的偏導.A1及P?由(3.6)確定.

將式(3.1)及式(3.4)代入(3.6)可解出:

其中P?是最優投資的臨界點,這個臨界點的意義在于,當P ≥P?時,等待沒有價值,則應該馬上投資.如果不考慮等待柔性,傳統的NPV方法對給出現值P可得出:

那么,當P

此時有GOW>0.

利用不確定性下的動態優化理論工具所算得的P?是判斷是否馬上進行投資的關鍵指標.在t時刻的利潤流是P,當P ≥P?時,等待沒有價值,則應該馬上投資;當P

在下面第四部分我們將給出這個科技創新項目的回收期和其等待期權的價值的關系,通過回收期與等待期權的這種正相關性來解釋回收期決策方法的合理性.并討論各個參數對回收期以及等待期權的影響.

4.回收期方法的合理性

傳統的財務投資理論認為,用凈現值法(NPV法)來判斷一項投資項目是否可行是最主要的方法.但是這種方法有很多不合理的地方,對投資項目有很多局限性.即在不確定的環境下,NPV法的有效性受到了質疑.為了考慮這些不確定性,應該要融入實物期權理論,前面提出了很多科技創新公司都是用回收期法評價項目,而已有的文獻卻很少解釋它,這里我們通過回收期與等待期權的這種正相關性來解釋它.

為了更具一般性,我們用平均單位投資成本的等待期權及平均單位投資成本的收益與回收期的長短來比較.由(3.8)式可知,因為P ≥P?時,無需等待,立即投資,所以我們只考慮P

由(3.7)式的結果代入(4.1)式,得到:

方程(2.4)可變形為:

則(4.3)式左端表示在利潤為P狀態時,投資的單位回報,記為將(4.3)代入(4.2)式,可得:

然后方程兩邊對RUC求導,得:

由P

此可解釋為,如果現在投資時的每單位回報增加,則每單位投資等待期權的價值就減少;如果現在投資時的每單位回報減少,則每單位投資等待期權的價值就增加.而另一方面,從(4.4)式有:

此可解釋為,回收期越長,則每單位投資的回報越少;回收期越短,則每單位投資的回報越多.綜合(4.4)與(4.5)兩式可得到下面的命題2.

命題2等待投資期權與回收期正相關,即:

因此,當回收期越長時,每單位投資的回報越少,每單位投資的等待期權就會越大;而回收期越短,每單位投資的回報越多,則每單位投資的等待期權就會越少.所以,回收期越短的項目應該越早投資.這就揭示了在不確定的環境下,利用回收期法,不僅可以給科技創新公司管理者幾年可收回投資的信息,還可以利用回收期與等待期權的正相關性,決定項目是應該早點投資,還是晚點投資.

5.參數分析

下面分析參數λ,γ,α等對回收期PP(P)及等待期權GOW的影響.因為回收期PP(P)由方程(2.4)確定,(2.4)式兩邊對λ求導得:

變形為:

記F(PP(P))(5.1)式的右邊,則,當PP(P)≥0,時,

由此可見F(PP(P))是PP(P)的增函數,當PP(P)=0時,F(0)=0,因此(5.1)式右端F(PP(P))>0,又由于(5.1)左端最后一項是負數,由此推出此可解釋為當研究的努力程度增大或研究成功的期望時間下降時,則期望的回收期會減短;當研究努力程度減小,則期望的回收期會增長.這個結論是符合實際常識的.

當λ →∞時,PP(P)會達到最小,由(2.4)式可推出

(5.2)式就是文[7]的結論,因此它是本文λ →∞時的一種極端情形.由于每單位資本回報,可知當λ增大時,RUC增大.又由(4.5)式可知,在P

因為α <γ <∞,由(2.4)式即可知,當γ變大或α變小時,回收期PP(P)會變長.這里由于假定了P(t)服從幾何布朗運動,而P(t)的期望值與σ無關,因此σ對回收期沒有影響.

但由于(3.5)式及β1>1可知,當γ變大時,β1變大,而當α變小或γ變小時,β1會變大,因此有而由(4.2)式兩邊對β1求導可得:

當P

γ變大或α變小,都會使GWUC變小,但是,由于γ變大或α變小,又會使單位資本回報率變小,從而由(4.4)知,會使GWUC變大.因此γ變大或α變小,可能使等待期權的變化比較模糊.

最后我們利用前面計算得到的一些公式,可以得出最優點的回收期,即在P=P?時,投資研究開發,PP(P?)應該滿足的方程是:

即

6.結論

由上述分析我們可以得到結論:在不確定性投資下,利用回收期法對科技創新項目作決策是很合理的,即使科技創新公司資金不受限制,也應該采用它作為判斷的依據.因為,回收期短的科技創新項目具有較少的等待期權價值,因此應優先投資;而回收期較長的科技創新項目則應延期投資,因為等待期權價值較大.本文給出了回收期所應滿足的方程,且由該方程能唯一確定回收期,以及由該方程可以得到各個參數對回收期的影響.本文是文[7]的推廣模型,Wambach是對投資決策做討論的,在得到“回收期較短的項目是具有較少的等待價值”這個主要結論時,使用的不是直接論證的方法,而是間接推斷出來的.本文把他的模型推廣到科技創新項目決策問題,給出回收期的計算公式,直接證明了回收期與等待期權的正相關性,回收期與單位資本回報的負相關性.另外也分析了同一參數對回收期及等待期權產生的不同影響.