基于徑向基逼近的KdV方程的無網(wǎng)格辛算法

張勝良

(南京林業(yè)大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院,江蘇 南京210037)

1.引言

本文研究一類守恒律型方程的無網(wǎng)格辛算法構(gòu)造問題,所考慮的守恒方程具有如下形式:

這里Jx是Poisson結(jié)構(gòu)(或辛結(jié)構(gòu)),H是Hamilton函數(shù),是泛函導(dǎo)數(shù).例如,令Jx=?x以及

就可以得到Korteweg-de Vries(KdV)方程:

其中ε和μ都是正常數(shù).KdV模型一直都是學(xué)術(shù)界研究的熱點(diǎn)問題[12].一些學(xué)者研究KdV方程的顯式解,比如文[8].由于顯式解難以推導(dǎo),因而學(xué)者提出了一些數(shù)值解法[5?6,9?10].

另一方面,系統(tǒng)(1.1)是一個(gè)Hamilton系統(tǒng),它具有辛結(jié)構(gòu).因而數(shù)值求解Hamilton系統(tǒng),也需要保持辛結(jié)構(gòu)守恒.在這個(gè)指導(dǎo)思想下,學(xué)者提出并發(fā)展了一些經(jīng)典辛算法[1?2,11].經(jīng)典辛算法的構(gòu)造多是結(jié)合傳統(tǒng)的基于網(wǎng)格類方法,如有限差分方法、有限元方法、譜方法等,因而面臨不規(guī)則區(qū)域求解問題、散亂采集點(diǎn)問題等挑戰(zhàn).

基于徑向基逼近理論,本文將研究KdV方程的無網(wǎng)格辛算法構(gòu)造問題,基于徑向基無網(wǎng)格理論構(gòu)造辛算法是新的研究視角,具有原創(chuàng)性.徑向基方法是一種理想的無網(wǎng)格逼近方法,它不僅在工程技術(shù)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用,而且被廣泛應(yīng)用于科學(xué)計(jì)算領(lǐng)域[3?4,7].

其中?(r)是徑向基函數(shù),向量f= [f(x1),··· ,f(xM)]T以及插值矩陣Φ = (?(∥xi ?xj∥)).另外根據(jù)文[13],導(dǎo)數(shù)具有逼近形式:

這里γ=(γ1,··· ,γd),γj ∈Z,?是對導(dǎo)數(shù)的逼近階.

本文結(jié)構(gòu)如下.在第二節(jié),我們通過徑向基空間離散Hamilton函數(shù)以及Poisson結(jié)構(gòu),將KdV方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)有限維的Hamilton系統(tǒng).在第三節(jié),利用辛積分子時(shí)間離散有限維系統(tǒng),就可以構(gòu)造出無網(wǎng)格的辛算法.本節(jié)進(jìn)一步討論了所構(gòu)造辛算法的守恒性和收斂性.第四節(jié)給出了一些數(shù)值例子來驗(yàn)證理論.第五節(jié)進(jìn)行簡單總結(jié).

2.KdV方程的Hamilton形式以及徑向基空間離散

一個(gè)無窮維的Hamilton 系統(tǒng)具有三個(gè)要素:

1)一個(gè)相結(jié)構(gòu)空間z ∈Z;

2)一個(gè)Hamilton函數(shù)H:R;

3)一個(gè)Poisson括號(hào){F,G},滿足反對稱條件{F,G}=?{G,F}以及Jacobi等式

則這個(gè)系統(tǒng)就有Hamilton形式:

KdV方程(1.3)是無窮維的Hamilton系統(tǒng)的一類,它保持能量(1.2)守恒,這是因?yàn)樵谶m合的邊界條件下,

這里表示關(guān)于u的泛函導(dǎo)數(shù),其定義為

其中η是緊支柱函數(shù),在邊界點(diǎn)取值為0.如果選取Poisson結(jié)構(gòu)

則KdV方程可以寫成Hamilton系統(tǒng)的形式

更多關(guān)于Hamilton偏微分方程的內(nèi)容可以參考文[2].

本文利用徑向基插值,分別離散Hamilton函數(shù)H和Poisson括號(hào).如果令Φ(x)= [?(∥x ?x1∥),··· ,?(∥x ?xM∥)]T,根據(jù)式(1.4),可以得到

這里U=[u(x1,t),··· ,u(xM,t)]T.進(jìn)一步根據(jù)徑向基的導(dǎo)數(shù)逼近公式(1.5),有

其中Ux=[ux(x1,t),...,ux(xM,t)]T,Uxx=[uxx(x1,t),...,uxx(xM,t)]T,Φ1=(?x(xi ?xj))以及Φ2=(?xx(xi ?xj)).因此,算子‘?x’有逼近形式Φ1Φ?1,算子‘?xx’有逼近形式Φ2Φ?1.

下面從兩個(gè)方面來看空間離散方式:

IH(u)的徑向基空間離散

討論離散之前,我們先給出引理.

引理2.1[14]如果以及積分dw存在.令Φ(·)=?(∥·∥),假設(shè)當(dāng)w →0.取核函數(shù)Φc(x)=Φ(1/c)/c,則成立不等式

根據(jù)引理2.1,Φ?1≈?.再由上文分析Φ2Φ?1U ≈Uxx,因此可以按下列方式離散Hamilton函數(shù)H:

其中向量1=[1,··· ,1]T.因而

這里?H?=[...,?uiH?,...]T.

II Poisson括號(hào)的徑向基空間離散

相應(yīng)的Poisson括號(hào)可以離散為

這里?F?= [...,?uiF?,...]T以及?G?= [...,?uiG?,...]T.因?yàn)棣?是反對稱矩陣(徑向基核函數(shù)Φ(x)通常是正定的,它的導(dǎo)數(shù)是反對稱的).容易驗(yàn)證{F?,G?}?=?{G?,F?}以及成立Jacobi等式

因而得到KdV方程的徑向基空間離散形式

這是一個(gè)有限維的Hamilton系統(tǒng).

接下來證明離散的Poisson括號(hào){F?,G?}?是連續(xù){F,G}的一個(gè)逼近.

定理2.1令h=maxx∈?minj ∥x ?xj∥表示數(shù)據(jù)點(diǎn)的密度,當(dāng)h →0,則有

證首先,根據(jù)泛函導(dǎo)數(shù)的定義以及數(shù)值積分公式

可以得到

注意到?x ≈Φ1Φ?1,Φ?1≈?(引理2.1),因此,當(dāng)h →0時(shí),離散Poisson括號(hào)

成立.

3.辛積分子空間離散以及辛算法

在時(shí)間方向上,利用Euler中點(diǎn)格式離散方程(2.2),就可以得到KdV方程的無網(wǎng)格辛算法:

這里,Uk={u(xj,tk)},tk=t0+k?t.定義截?cái)嗾`差

令∥·∥表示L2范數(shù),則有如下定理.

定理3.1假設(shè)u(x,t)∈H10(R)∩H2(R),?t ∈[0,T],u(x,t)∈C4(R),?x.則Tk有估計(jì)式

這里?是徑向基逼近兩階導(dǎo)數(shù)的誤差階.

證根據(jù)Taylor展開,下式成立

以及

因此,有

注意到Φ1Φ?1和Φ2Φ?1是?x和?xx的逼近,逼近階是?.因此

4.數(shù)值例子

本節(jié)給出兩個(gè)例子來說明所構(gòu)造無網(wǎng)格辛算法的精度和效率.例4.1給出一個(gè)單孤立波,用來驗(yàn)證,無論配置點(diǎn)是等距還是非等距的,所構(gòu)造辛算法都是高精度的.例4.1也驗(yàn)證所構(gòu)造辛算法具有長時(shí)間跟蹤能力.例4.2用來說明,當(dāng)求解兩列波交叉的例子,算法效果依然很好.

例4.1考慮具有單孤立波的KdV方程(1.3)這里ε=6,μ=1.初始條件

此時(shí)解析解為

定義均方誤差L2以及最大誤差L∞分別為

選擇Gaussian 徑向基函數(shù)(GS?(x)=exp(?r2/2c2)),取形狀參數(shù)c=0.6.首先在區(qū)間[0,40]內(nèi)取M個(gè)均勻分布點(diǎn),以及t=1做精度測試,數(shù)值計(jì)算結(jié)果列在表4.1.表4.1說明,所構(gòu)造的辛算法具有較高的逼近度(逼近階為4.27).

圖4.1 t=1時(shí)真實(shí)解(實(shí)線)和數(shù)值解(圓圈)比較(非等據(jù)點(diǎn),單孤立波)

圖4.2驗(yàn)證了所構(gòu)造辛算法具有長期跟蹤能力,當(dāng)我們計(jì)算到t= 30,在30000步(?t=0.001)之后,數(shù)值依然精確的模擬出真實(shí)解.所需時(shí)間不超過5秒,說明該方法是高效率的.

圖4.2 t=30時(shí)真實(shí)解(實(shí)線)和數(shù)值解(圓圈)比較(等據(jù)點(diǎn),單孤立波)

例4.2考慮交叉孤立波方程(1.3),仍取ε=6以及μ=1.給定精確解為

所需初邊值條件可以從精確解中提取.在數(shù)值程序中,選擇逆multiquadric徑向基函數(shù)(IMQs形狀參數(shù)c= 1.2,以及在區(qū)間[?20,60]選擇400個(gè)等據(jù)點(diǎn)做模擬.數(shù)值模擬結(jié)果如圖4.3.

圖4.3 數(shù)值解(圓圈)和真實(shí)解(實(shí)線)比較(等據(jù)點(diǎn),兩列波交叉)

5.結(jié)論

基于徑向基逼近理論,本文為KdV方程構(gòu)造了一個(gè)高精度的無網(wǎng)格辛算法.理論分析了該算法的收斂性,并給出了誤差界估計(jì).數(shù)值例子驗(yàn)證了理論結(jié)果,表明所構(gòu)造的辛算法是高精度的、無網(wǎng)格的、具有長期跟蹤能力.