多孔介質中的Brinkman-Forchheimer模型的收斂性

石金誠,李遠飛

(廣州華商學院數據科學學院,廣東 廣州511300)

1.引言

偏微分方程的穩定性研究是近年來偏微分方程中的一個重要研究方向,其中連續依賴性(或收斂性)的研究依賴于模型本身的變化,而不是初始數據的變化.Ames和Straughan在專著[1]中多次提到了相關的工作,強調了模型本身的變化對模型解的影響.偏微分方程中本構方程的參數的變化可以在物理上反映出來,通過數學上的分析,有助于了解模型在物理中的適用性.連續依賴性(或收斂性)的結果很重要,因為在數值計算和數據測量過程中,不可避免地會出現誤差,我們需要知道一個微小的誤差能否引起解的急劇變化.

多孔介質中流體方程組的研究是當前數學與力學領域的熱點問題,其研究主要集中在Brinkman,Darcy和Forchheimer方程組上.Nield和Beijan[2]以及Straughan[3]討論了多孔介質中的這些模型.參考文獻中有一些論文討論了Brinkman,Darcy,Forchheimer和其他多孔介質方程的Saint-Venant原則,但主要是研究多孔介質中流體方程組的空間衰減估計結果[4].關于多孔介質中流體方程組的結構穩定性,Franchi和Straughan[5]、Payne和Straughan[6]、LIN和Payne[7]等人已有一些研究進展.近年來,文[8–21]取得了一些新的結果,但這些文獻大多只研究了方程的連續依賴性,而忽略了方程的收斂性.當流速過大時,Darcy定律將不成立,此時Brinkman模型被認為是準確的,如果采用Forchheimer逼近,我們就能得到如下Brinkman-Forchheimer方程組[3]:

其中ui,p,T,C分別表示為速度,壓強,溫度和鹽濃度,gi(x)和hi(x)為重力函數,?為拉普拉斯算子.σ是Soret系數,此外v和b分別是Brinkman系數和Forchheimer系數.在方程組(1.1)中v,b,σ,k1,k2都是大于零的常數.一般來說,熱擴散系數k1和鹽擴散系數k2相差很大,因此,不妨假設k1k2.方程組(1.1)是一種基于動量守恒,質量守恒,能量守恒以及鹽濃度守恒的方程組,并在動量方程中采用了Forchheimer逼近.LIN等人在文[7]中首先研究了這類多孔介質中含有鹽濃度的流體方程組的結構穩定性,他們在溫度與鹽濃度滿足齊次Neumman邊界條件下得到解的結構穩定性結果.接著文[8,21]在此基礎上將σ?T換成一個連續函數f(T),也得到一些類似的結果.本文我們將繼續文[7]的研究,假設溫度與鹽濃度滿足與文[7]中不同的邊界條件,通過一些新的方法,得到解的收斂性結果.

方程組(1.1)在?×[0,τ]區域內成立,其中?是R3中的一個有界單連通的星形區域,τ是給定的常數且0≤τ <∞.

邊界條件為

此外，初始條件為

本文研究了方程組(1.1)的解對Brinkman系數v的收斂性.當v趨于0時,速度梯度的估計將會有困難,同時,由于鹽濃度C的方程中含有σ?T項,從而導致鹽濃度C的估計難度加大,本文能夠較好解決這些難題.目前我們尚未發現有研究此類問題的文獻.

本文采取以下符號約定,用逗號表示求偏導,用,i表示對xi求偏導,如:u,i表示為,重復指標表示求和,表示Lp范數.

2.溫度T和鹽濃度C的先驗界

為了得到本文的主要結果,我們給出以下引理:

引理2.1溫度T和鹽濃度C滿足以下最大值估計:

證在文[22]中,Payne,Rodrigues和Straughan得出了下面的結果

定義一個新函數

方程(1.1)4變形為

則方程組(1.1)可重新寫為

函數N滿足的邊界條件為

此外，初始條件為

由于N滿足與T相同的方程，所以

引理2.2設(u?i,p?,T?,C?)是方程組(3.4)的解,則溫度T?的梯度和鹽濃度C?的梯度范數滿足以下估計:

其中m2(t)=2K1(t)+2ˉk2m1(t),m3(t)是可計算的大于零的函數.

證為了得到的界，引入滿足下列條件的函數φ(x,t)

顯然,有

顯然,有

聯合(2.13)式和(2.15)式,可得

在方程(2.17)1兩邊同時乘以φ ?ψ,并且在?上積分,可得

因為在邊界??上T0?ψ(x,0)=0,所以

其中λ是大于零的常數.

對于(2.20)式,由分部積分,可得

顯然,有

其中n和s分別是邊界??上的法向量和切向量,?sψ是切向導數,我們可以得出

將(2.24)式和(2.25)代入到(2.22)式,可得

由(2.27)式,可知

因此,我們得到?[T0?ψ(x,0)]2dx的界.由(2.18)式,(2.19)式和(2.28)式,可得

因此,有

由(2.28)式,同樣可得

聯立上兩式,可得

因此,有

我們得到以下方程

由φ的最大值原理,可得

方程(3.4)1兩邊同時乘以u?,并在?×[0,t]上積分,可得

由(2.36)式和(2.37)式,可得

聯合(2.33)式和(2.38)式,可得

其中m3(t)是可計算的大于零的函數.

3.Brinkman系數υ的收斂性結果

在這一節中,我們建立了對Brinkman系數υ的收斂關系.設(ui,p,T,C)為下列邊界初值問題的解

邊界條件為

初始條件為

設(u?i,p?,T?,C?)為下列邊界初值問題的解

邊界條件為

初始條件為

假設ωi=ui ?u?i,θ=T ?T?,S=C ?C?,π=p ?p?,則(ωi,θ,S,π)滿足下列方程組

邊界條件為

此外,初始條件為

引理3.1對于速度u?i,有以下估計:

其中m4(t)是大于零的函數.

證為了得到的界,構造一個新的函數

結合方程(3.4)1,可得

聯合(2.39)式,(2.40)式和(3.13)式,可得

我們將得到以下主要結果:

定理3.1設(ui,T,C,p)為初邊值問題(3.1)-(3.3)式的經典解,(u?i,T?,C?,p?)為初邊值問題(3.4)式-(3.6)式的經典解,(ωi,θ,S,π)是這兩個解的差.當Brinkman系數v趨于0時,解(ui,T,C,p)收斂于解(u?i,T?,C?,p?).解的差(ωi,θ,S,π)滿足

證將方程(3.7)1乘以ωi,并在?上積分,可得

將方程(3.7)3乘以θ,并在?上積分,可得

其中ε1是大于零的任意常數.

將方程(3.7)4乘以S,并在?上積分,可得

其中ε2,ε3是大于零的任意常數.

設

對(3.20)式兩邊同時在[0,t]上積分,可得

不等式(3.21)表明了在指定測度下當Brinkman系數v趨于0時,ui收斂到u?i,T收斂到T?,C收斂到C?.