一類帶非局部源項的p-Laplace方程解的整體存在與爆破

李建軍,呂雅婷

(遼寧工程技術大學理學院,遼寧 阜新123000)

1.緒論及主要結論

本文研究了以下帶非局部源項的p-Laplace方程解的整體存在與爆破

其中?是RN中具有光滑邊界??的有界區域,n是邊界??上的外法向量,u0(x)是非負函數,,當s >0 時,h′(s)>0,f,g ∈C1(R+),且f,g >0.t?為(1.1)的解的爆破時間,即解存在的最大時間.

非線性反應擴散方程的研究涉及化學反應、傳熱、爆破動力學、電流變液等多個領域.在過去的幾十年里,許多學者對非線性反應擴散方程(組)解的整體存在和爆破問題做了大量的研究[1–3],其中有很多作者對函數h(u)的時間導數的問題進行了研究.早在1991年,Imai和Kiyoshi[4]研究了以下擬線性退化方程

的初邊值問題的爆破問題以及接近爆破時間方程解的漸近行為,其中邊值條件Bu(x,t)包含Dirichlet、Neumann、Robin三種邊值條件.作者對輔助函數進行假設使其滿足相關條件,利用Friedman-McLeod方法來證明方程的解在有限時間內爆破.

在文[5]中,作者借用輔助函數的方法,研究了在Robin邊界條件下帶梯度項的非線性拋物方程解的整體存在和爆破問題,最終得到了整體解存在的充分條件和上界估計,爆破時間的上界估計和爆破速率的上界估計.文[6]的作者研究了以下帶有p-Laplace方程解的整體存在和爆破問題,通過構造一些輔助函數,并且利用極值原理和微分不等式技術,證出了方程在有限時間內爆破的條件和解整體存在的條件,同時還給出爆破的上界估計.

在此基礎上,文[7]研究了以下帶有Dirichlet邊界條件的非線性反應擴散方程,通過構造輔助函數并對輔助函數中的相關參數假設,利用微分不等式技巧不僅給出了方程解整體存在的條件和解在有限時間內爆炸的結論,而且還計算了爆破時間的上下界估計.

文[8] 研究了在非局部邊界條件下的p-Laplace方程的爆破問題,在微分不等式技術的幫助下,利用Soblev不等式,證明了在一定的條件下爆破解的存在.并且還得到了爆破時間的上界和下界估計.趙陽洋和崔澤建[9]研究了當問題(1.1)中的參數p=2時,方程解的整體存在性和爆破性,并給出了爆破時間的上下界估計.

受到以上文獻的啟發,本文對問題(1.1)解的整體存在性和爆破性進行研究.通過構造不同的輔助函數,利用Young不等式、Sobolev不等式等微分不等式來證明解整體存在和爆破.

2.解的整體存在性

在本節中主要的研究內容為問題(1.1)解的整體存在性.為了證明方程解的整體存在性,需要建立如下輔助函數：

先給出本節的主要結論:

定理2.1設u是方程(1.1)的非負古典解,并且滿足

證將函數Φ(t)對時間t求導,得到

由定理2.1中的相關條件,將問題(1.1)的第一個式子代入(2.1)中,則有

由散度定理[10],可知式(2.2)的右端第一項有：

接下來利用微分不等式技巧對式(2.3)右端的兩項進行分析.將(2.3)右邊的第一項和第二項利用Young不等式

其中

且M1>0,取

使得M2>0.

由H?lder不等式,有

對上式進行變換,可得

將式(2.9)帶入式(2.8),可得

由定理2.1中的假設條件對輔助函數進行估計

對式(2.12)兩端求積分,可得

即

結合式(2.10)、(2.11)、(2.13),計算可得

接下來,我們利用反證法來證明定理2.1的成立.假設以上的結論是錯的,即一定存在時間t?使得函數在函數Φ(t)的意義下爆破,即

令t →t??,可以得到所以,一定存在一個時間t1

對上式兩邊取極限,即令時間t →t??,我們可以得到以下不等式

這與結論產生矛盾,所以定理2.1成立.

3.解爆破時間的上界估計

本節的主要內容是方程(1.1)的解在有限時刻爆破的充分條件以及解爆破時間的上界估計.為了得到結果,第2節給出的輔助函數已經不能繼續使用,需要重新構造如下的輔助函數：

先給出本節的主要結論:

定理3.1設u是方程(1.1)的非負古典解,并且滿足

且初始值Ψ(0),Φ1(0)>0,則方程(1.1)的解u在函數Φ1(t)的意義下在有限時間爆破,當p >2,時,Φ1(t)→∞;當0

接下來證明方程(1.1)的解u在函數Φ1(t)的意義下爆破.

證對輔助函數Φ1(t)關于時間t進行求導,則可以得到下式

根據定理3.1中的相關條件,將式(1.1)的第一個式子帶入式(3.1)中,則上式為

再對輔助函數Ψ(t)關于時間t進行求導,則有

利用分部積分對輔助函數H(u)進行分析,可得

結合式(3.3)和式(3.4)以及H?lder不等式可得不等式

也就是說

將不等式(3.6),從0到t進行積分,有

將式(3.2)帶入上式,可得

1)當p>2時,將(3.7),從0到t進行積分,得到

2)當0

4.解爆破時間的下界估計

本節的主要內容為問題(1.1)的解爆破時間的下界估計.為了得到本節的研究內容建立如下的輔助函數：

在證明結論之前,先給出本節的主要結論:

定理4.1假設u是方程(1.1)的非負古典解,且在t?處爆破,函數滿足

其中,r1,r2,r3,r4由(4.17)-(4.20)給出.

為了得到方程(1.1)的解爆破時間的下界估計,我們利用下面兩個不等式：

由文[11]中推論9.14,可以得到當N >2時,則有下列Sobolev不等式

證將函數Φ2(t)對時間t求導,得到

根據定理4.1中給出的假設條件,上式為

將式(4.6)帶入式(4.4)中,則有

下面重復過程(2.3)、(2.5)、(2.6),可得如下不等式

其中C是Sobolev指數,且依賴于N和?的值.由Young不等式計算(4.10)等式右邊第二項可得

其中ε3待定.利用Young不等式對(4.10)右端第一項進行估計

其中ε4待定,在后面會給出具體的數值.結合式(4.7)-(4.13),得到

接下來將函數積分項轉化成輔助函數Φ2(t)的指數形式.由定理4.1中的條件計算可得

即

將ε1,ε2,ε3,以及式(4.15)代入(4.14)中,可得

其中

如果方程(1.1)的解在函數Φ2(t)意義下有限時間爆破,即,對式(3.37)關于時間t在[0,t?]上進行積分,整理后可得

5.應用

本節通過幾個例子來說明定理2.1-4.1的結果.

例5.1設u(x,t)是下列方程的非負古典解：

其中? ?R3,且?是一個單位球,h(u)=,f(u)=u3,p=4.通過對例5.1的分析,可知定理2.1中的假設條件方程(5.1)滿足,取β=3,則函數Φ(t)為

由定理2.1可知,例5.1中方程的解在函數Φ(t)的意義下整體存在.

例5.2設u(x,t)是下列方程的非負古典解：

其中? ?R3,?是一個半徑為0.5的球.

分析式(5.2),有

下面計算各個輔助函數：

通過以上的計算,很顯然,定理3.1中的假設條件滿足,所以

所以,由定理3.1可知方程(5.2)的解的爆破時間上界為:

例5.3設u(x,t)是下列方程的非負古典解：

其中? ?R3,且?是一個單位球,|??|= 4π,h(u)=u+ln(u+1),ρ(?u|4)= e|?u|4,g(u)= eu2,b(x)f(u)=

由定理4.1,可知a2= e,b2= 0.5,p2= 3,q2= 2,c2= 1,m= 1,h2= 1,β1= 4,d0= 1,ρ0= 1通過查詢文[12],可以得到Sobolev指數C= 7.5931.很容易可以計算得到上述參數滿足定理4.2的條件,則

由定理4.1,可以得到若解發生爆破時方程的解爆破時間的下界為

6.總結

本文通過構造輔助函數,以及微分不等式得出問題(1.1)解整體存在和爆破解的充分條件,以及方程解的爆破時間上界和下界的估計,并通過三個具體的例子進行說明.