一類具有對數非線性項的四階薄膜方程新的爆破結果

趙元章,施明雨

(中國海洋大學數學科學學院,山東 青島266100)

1.引言

我們考慮具有非線性對數源項的四階薄膜方程

給出邊界條件和初始條件

其中? ?RN(N ≥1)為具有光滑邊界??的有界區域,v是邊界??上的單位外法向量,初始值u0∈H10(?)∩H2(?),常數p滿足條件

四階薄膜方程(1.1)可描述許多物理過程,比如相變、薄膜的生長過程等都可用如下一般化的形式表達：

在外延薄膜生長理論中,u(x,t)表示外延生長中薄膜高度,α?2u表示毛細驅動的表面擴散,?β?·(f(?u))表示原子的向上跳躍,γ?u表示蒸發冷凝引起的擴散,g表示沉降通量.[1?3]

近些年來,許多學者致力于一般化的四階拋物方程(1.4)初邊值問題,比如,King等[2]考慮了如下四階拋物型方程初邊值問題

利用半離散逼近技巧,他們在適當的條件下建立了問題弱解的存在性、唯一性及正則性且導出了長時間行為.LIU[4?5]在一維和二維空間中考慮了齊次四階擬線性拋物方程在零質量流邊界條件下,他基于一致Schauder型估計和Campanato空間證明了問題整體古典解的存在性及正則性.

另一方面,當非齊次項g(x,t,u)關于u滿足超或次線性增長條件(|u|s,s>1或s<1)且初值滿足適當條件時,方程(1.4)的解可能會整體存在或有限時間爆破.XU等[6]研究了在高維空間中四階半線性拋物方程初邊值問題

當g滿足適當的結構性條件時,他們利用位勢井方法及迭代技巧等建立了問題解的整體存在性與爆破、正則性及整體吸引子的存在性.最近,許多學者研究了如下具有質量守恒結構非局部源項的半線性四階拋物方程初邊值問題:

得到了解的整體存在性和有限時間爆破性以及解的長時間行為.在一維情形中,QU等[7]考慮了不含p-Laplacian項的半線性薄膜方程并利用位勢井方法,得到了當初始能量滿足次臨界和臨界的情形時問題變號解的整體存在性與非存在性的門檻結果及消失性質.緊接著,ZHOU[8]建立了具有正初始能量解的爆破結果并導出了爆破時間的上界.CAO和LIU[9]利用Galerkin方法及不等式技巧,對次線性增長條件情形證明了問題弱解的整體存在性及非消失性.LI等[10]考慮了在一維空間中含有p-Laplacian項的四階拋物方程,他們利用位勢井方法證明了在次臨界初始能量和臨界初始能量條件下給出了問題解的整體存在性、唯一性、有限時間爆破及漸近性質.DONG和ZHOU[11]延伸了文[10]的結果并得到了超臨界初始能量情形.對高維情形(N ≥1),HAN[12]考慮了具有乘冪型源項的四階拋物方程初邊值問題并證明了在任意初始能量條件下問題解的整體存在性與有限時刻爆破及整體解的衰減估計值.在文[13]中,ZHOU針對文[12]中整體解的漸近行為做出了進一步延伸.

關于具有對數非線性項的發展方程的研究方面,最近也有一些新的起色且有許多成果.[14?19]從數學的角度來看,對數非線性項不滿足單調性且可能變號,因此與具有乘冪型源項的問題相比較有著較大的難度.在文[14]中,HAN等研究了具有非線性對數項的四階拋物型方程初邊值問題

并借助于修正的對數Sobolev不等式和位勢井方法,他們證明了在適當初值條件下整體解的存在性和無限時刻爆破及整體解的衰減估計.LIU和LIU[15]考慮了具有一般對數源項和Navier邊界條件的半線性薄膜方程

注意到,前述的大部分文獻中主要采用的證明方法是位勢井方法.位勢井方法是Payne和Sattinger[20?21]于上個世紀60年代末研究雙曲型方程初邊值問題整體解存在性、穩定性與非穩定性時首次提出.此后,許多學者其推廣和應用到各種非線性發展方程初邊值問題解的整體存在性和非存在性問題,其中代表性的工作有見文[22-23].特別地,文[23]中引入了位勢井族方法,解決了位勢井的結構問題,并發現了非線性發展方程解在某些集合內不變性及解的真空隔離現象等.進一步,證明了具有臨界初始條件解的整體存在性.但是,最大的缺點在于井的深度d太淺且其確切值很難計算.本文的主要目的在于探索問題(1.1)-(1.3)中與井的深度d無關的新爆破結論.事實上,類似于文[14-15],我們易得出當初始能量滿足(其中α為任意正數且B為Sobolev嵌入常數)時問題(1.1)-(1.3)在適當的條件下弱解在有限時刻發生爆破.

本文剩余部分結構如下：第二章,我們給出一些記號、定義及主要定理證明過程中所需要的引理.第三章,我們給出主要結論的詳細證明過程.

2.預備知識

本節中,我們引入一些記號、定義及主要結論證明所需的引理.

本文將用到一些記號.當1≤r <∞時,對任意u ∈Lr(?),∥u∥r表示u的Lr(?)范數,以(·,·)表示Lr(?)空間中的內積,記X:=H10(?)∩H2(?),X0:=X{0}.同時,由Poincaré不等式和帶ε的Cauchy不等式可得

其中λ為??在?上固定邊界薄膜振動問題的第一特征值,且令ε=λ,則我們有

因此,空間X范數∥u∥X賦予等價范數∥?u∥2.

對于任意的u ∈X,我們給出能量泛函J(u)和Nehari泛函I(u)定義

及Nehari 流形

我們定義位勢井深度

則結合(2.1)和(2.2),我們有

下面,我們引入局部弱解及解的最大存在區間定義.

定義2.1令T0>0,假設u=u(x,t)∈L∞(0,T0;X),如果ut ∈L2(0,T0;L2(?)),u(x,0)=u0,且對任意φ ∈X有

則稱u=u(x,t)∈L∞(0,T0;X),為問題(1.1)-(1.3)在?×[0,T0)上的弱解.

注意到,由Galerkin逼近技巧[14]易知問題(1.1)-(1.3)存在唯一弱解且u=u(x,t)∈L∞(0,T0;X),證明與文[14]中的定理3.1的證明類似,此處省略.

定義2.2假設u(t)為問題(1.1)-(1.3)的弱解,我們定義如下最大存在時間Tmax:

(i)如果Tmax<∞,我們說u(t)在有限時間爆破并且Tmax是爆破時間;

(ii)如果Tmax=∞,我們說u(t)是整體存在的.

緊接著,給出我們主要結論證明所需的引理.

引理2.1 對u ∈X0和正實數λ>0,如下斷言成立:

(ii)存在唯一的λ?=λ?(u)>0使得并且J(λu)在0<λ <λ?上單調遞增;在λ?<λ<+∞上單調遞減;當λ=λ?時,J(λu)取得最大值;

(iii)當0<λ<λ?時,I(λu)>0;當λ?<λ<+∞時,I(λu)<0;當λ=λ?時,I(λ?u)=0.

證對u ∈X0,根據能量泛函的定義(2.1)有

則

我們令

并直接計算可得

滿足j(λ)在上遞增;在上遞減.再由易知,存在唯一λ?>,使得j(λ?)=0,且當0<λ<λ?時,j(λ)>0;當λ?<λ<+∞時,j(λ)<0.因此,J(λu)在0<λ<λ?上單調遞增；在λ?<λ <+∞上單調遞減；當λ=λ?時,J(λu)取得最大值.顯然(i)和(ii)成立.

關于結論(iii),結合(2.2)和(2.6)可得出

且易知,結論(iii)顯然成立.引理2.1證畢.

注2.1引理2.1中,(iii)表明N非空.

現在,我們記λ1為特征值問題

的第一特征值.則由文[24]知λ1>0且

同時,定義新的能量泛函

并定義如下集合：

類似于引理2.1,我們易得到如下引理：

引理2.2對u ∈X0,存在唯一的λ?>0使得λ?u ∈N?;當0<λ <λ?時,λu ∈N?+;當λ>λ?時,λu ∈N??.

由集合N和N?的定義,我們可得到引理.

引理2.3假設N和N?分別如(2.3)和(2.10)式定義,則有N ∩N?=?.

證利用反證法,假設存在u=N ∩N?,則u ∈N且u ∈N?.對u ∈N由Nehari流形的定義(2.3)易知,u ∈X0且I(u)=0.結合(2.5)和(2.8),我們得到

對u ∈N?.由集合N?定義(2.10)易知,u ∈X0且J?(u)=0.由(2.9)得到

顯然,(2.13)與(2.14)導致矛盾且N ∩N?=?.引理2.3證畢.

引理2.4設u=u(t)為問題(1.1)-(1.3)的弱解,則J(u(t))關于t是非增函數.

證對J(u(t))直接求導,我們得到

在定義2.1 中取φ=ut,我們有

且易知

引理2.4 證畢.

3.主要結論

本節中,在之前的研究中爆破結果密切依賴于位勢井深度d的大小,但是d的準確數值很難計算.因此,本節中我們建立一個不依賴于d的爆破條件.

定理3.1假設常數p滿足條件(P),u0∈X且滿足

如果u(x,t)是問題(1.1)-(1.3)的弱解,則u(x,t)在有限時刻T發生爆破且滿足

證由(2.1),(2.2),(2.8)和(3.1)式,我們得到

緊接著,我們利用反證法證明對所有的t ∈[0,T)有

假設結論不成立,則必然存在t0∈(0,T)使得

且

現在,由(3.4)可得u(t0)∈N.同時,結合(2.5),(2.8),(3.1)和(3.4)可得

且與引理2.4導致矛盾.因此,對所有的t ∈[0,T)有I(u(t))<0.

下面,我們只需考慮J(u(t))≥0的情況.事實上,如果存在t1使得J(u(t1))<0,則由(3.3)易知,J(u(t1))

于是,當J(u(t))≥0時,我們再次利用反正法證明u(t)是非整體存在的,即解在有限時刻發生爆破.假設u(t)是整體存在且我們定義函數

由條件(3.1)易知

對(3.5)直接求導并結合(3.4)和(3.5),我們有

且利用Gronwall不等式可得

另一方面,利用H?lder不等式和J(u0)≥J(u(t))≥0,我們得到

綜合(3.6)和(3.7),我們可得

現在,我們定義函數

并直接求導得到

顯然,當t →0+時g′(t)>0,且存在T1>0使得g′(T1)= 0,當t ∈(0,T1)時,g′(t)>0;當t ∈(T1,∞)時,g′(t)<0.另一方面,由g(0)>0易知,存在充分大的T >T1,使得g(T)= 0,且當t ∈(T,∞)時,g(t)<0因此,與(3.8)導致矛盾,即u(t)是在有限時刻發生爆破.

最后,我們給出爆破時間T的上界估計值.首先,對任意的,我們定義如下函數：

其中α,β為待定正常數.顯然,我們有

且對(3.9)式直接求導得到

且滿足

然后,對(3.9)式求二階導數,并結合的I(u(t))定義和(2.8)式,我們導出

另外,為了表達方便,我們記:

則經過簡單的計算并利用H?lder不等式,我們得到如下不等式成立：

因此,我們直接計算得到

再結合(3.12),我們導出

現在,我們選取α足夠小,使得

其中

則由(3.13)易知

我們再定義如下函數：

且直接求導,我們有

且易知

同時,由y(t)的定義和(3.11)有

因此,由(3.10)和(3.15)得到

且取極限T →T有

我們選取β足夠大使得

則有

現在,由(3.14)和(3.16)如下定義集合：

且有

下面,我們定義函數

且求下確界.

顯然,對固定的β,f(α,β)關于α在單調遞減;對固定的α,f(α,β)在處取最小值,所以有

定理3.1證畢.

定理3.2假設常數p滿足條件(P),u0∈X且滿足

如果u(x,t)是問題(1.1)-(1.3)的弱解,則u(x,t)將在有限時刻發生爆破.

證令u0∈X且滿足為相應的弱解且它的最大存在時間為T.

首先由(2.1)、(2.2)、(2.8)和(3.17)式,我們得到

我們可以斷言I(u0)<0.事實上,如果I(u0)= 0.則u0∈N且我們有u0∈N ∩N?,這與引理2.4矛盾.

緊接著,我們利用反證法證明對所有的t ∈[0,T)有I(u(t))<0.

假設結論不成立,則必然存在t0∈(0,t)使得

且

則在定義2.1中取φ=u,我們有

再結合(2.5),(2.8)和(3.18)可得

且與引理2.4導致矛盾.因此,對所有的t ∈[0,T)有I(u(t))<0.接下來,我們對J?(u(t))直接求導有

又因為J?(u0)=0,所以必然存在t1>0使得J?(u(t1))<0,即

如果我們假設t1為初始時刻,則類似于定理3.1的證明過程易知,u在有限時刻發生爆破.