混合系數線性模型參數的廣義Liu估計

蔡擇林,陳金陽,江秉華

(1.湖北師范大學數學與統計學院,湖北 黃石435002;2.重慶三峽學院數學與統計學院,重慶404130)

1.引言

考慮如下混合系數線性模型

其中x(t)=(x1(t),x2(t),...,xp(t))T,y(t)=(y1(t),y2(t),...,yq(t))T是t的已知向量函數,a是p×1的固定系數向量,β是q×1的隨機系數向量,且β ～(b,Σ).

現對m個樣品,分別在tij(ti1p+q)時測得以下數據,

這里的βi和εij分別是每個樣品的隨機系數和每次測量的誤差,βi與εij獨立,且

若記zi=(zi1,zi2,··· ,zini)T,εi=(εi1,εi2,··· ,εini)T,

則可得

設Ci=(Xi,Yi),d=(aT,bT)T,ei=Yi(βi ?b)+εi,則式(1.3)變為

進一步,記z= (zT1,zT2,··· ,zTm)T,e= (eT1,eT2,··· ,eTm)T,C= (CT1,CT2,··· ,CTm)T,D=diag(D1,D2,··· ,Dm),其中Di=YiΣYTi+σ2Ini.則可將式(1.4)寫成

這里還要求rank(Xi)=p,rank(Yi)=q,

混合系數線性模型在經濟分析、可靠性退化分析以及生物學等領域有著廣泛的應用,許多學者研究了該模型的參數估計問題[3?10].基于模型(1.5),莊東辰等給出了d的LS估計[3],LS估計雖然無偏,但當系數陣接近病態時,LS估計的均方誤差過大,穩定性不好.針對此情況,郭金亞等提出了一種有偏估計,即Liu估計[4].本文改進Liu估計后給出了廣義Liu估計,并證明了在均方誤差意義下,此類估計分別優于最小二乘估計、Liu估計,最后討論了參數的選取問題.

本文符號說明:對于矩陣A和B,A ≥0表示A為半正定矩陣;A >0表示A為正定矩陣;A ≥B表示A ≥0,B ≥0且A ?B ≥0;A>B表示A ≥0,B ≥0且A ?B >0.

2.廣義Liu估計

模型(1.5)的典則形式為

其中L=CQ,r=QTd,QTCTCQ=Λ=diag(λ1,λ2,...,λg).

莊東辰等給出了d的LS估計:=(CTC)?1CTZ,其典則形式為=Λ?1LTZ.

郭金亞等給出了d的Liu估計:

本文將Liu估計(2.1)做如下拓廣,稱

為d的廣義Liu估計.其典則形式為= (Λ+I)?1(Λ+W),其中W為對角矩陣且滿足0≤W= diag(w1,w2...,wg)≤I.顯然,當W=wI,0≤w ≤1時即為普通Liu估計(2.1).特別地,當W=I時即為LS估計.

3.廣義Liu估計的性質

定理3.1估計的期望向量和協方差矩陣分別為

定理3.2估計是有偏、壓縮估計，即等號成立當且僅當W=I.

證因為故有:

定理3.3存在0≤W?

證顯然,

其中M= diag(M1,M2,...,Mm)= diag(Y1ΣYT1,Y2ΣYT2,...,YmΣYTm),lj= (LTML)jj ≥0,

對二次函數fj(wj)=(1+kjλj)w2j+2(1?kj)λjwj+λ2j+kjλj,容易解得wj的最優值為

顯然0≤W?=diag(w?1,w?2,...,w?g)

于是定理得證.

定理3.4設Liu估計的均方誤差

當w=w0時達到最小,則存在0≤W?

證如下選取參數w?j

顯然0≤W?= diag(w?1,w?2,...,w?g)

從而

所以定理得證.

4.參數的選取

此處介紹極小化均方誤差的無偏估計法,由

可得

可構造均方誤差

的一個無偏估計如下：

5.模擬算例

模擬中,取p=q= 1,m= 1,n1= 2.假設時刻tij服從[0,1]上的均勻分布,由MATLAB生成隨機數t11= 0.8147,t12= 0.2785.取(1,2)T,β1～N(2,1),ε1～N(0,I2).

當W=I時,=67.6274,當W=diag(0.1,0.2)時,比較知:即廣義Liu估計優于LS估計.

當0≤w ≤1時,通過對w的取值得到下表:

w 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 MSE(dw)30.0399 34.4668 39.2080 44.2634 49.6331 55.3170