一類流固耦合系統強解的存在性問題

譚琳琳,郭真華

(1.西北大學數學學院,陜西 西安710127;2.西北大學非線性研究中心,陜西 西安710069)

1.引言

本文主要研究一類含有多剛體的粘性系數依賴于密度的流固耦合系統強解的存在性問題.剛體在運動中或者受力作用后,形狀大小以及內部各點相對位置不變.關于單個剛體――流體耦合系統的研究已經有許多豐富的結果.當粘性不可壓縮流體內僅含有單個剛體時,早在上個世紀七八十年代,Judakov[1]便證明了該流固耦合系統全局弱解的存在性.此外,WANG和XIN[2]還對R2上的不可壓縮流體與單個不規則剛體的耦合系統進行了研究,得到了二維條件下的W1,p強解的局部存在性.當理想流體與剛體耦合時,似乎獲得的結果要少得多.

由于流體和剛體所使用的數學描述框架不同,人們一般使用歐拉坐標描述流體的運動狀態,用拉格朗日坐標來描述剛體運動,因此在單剛體――流體耦合系統研究中,研究者常運用坐標轉換方法來克服這一難點,但這一方法在面對多剛體――流體耦合時,失去了其有效作用,因此需要尋找其他的解決問題的方法,但本質上解決此類問題的關鍵步驟是固定流體所占據的區域.

關于多個剛體與流體耦合系統的問題的研究還很少,這是由于剛體的運動是隨時間而變化的,使得剛體與流體區域的復雜邊界難以處理.當流體含有粘性時,Desjardins[3]建立了對于此類多剛體――流體耦合系統的經典模型.其思想是把剛體近似為粘性足夠大的流體,假設流體與剛體接觸界面摩擦足夠大,即接觸界面任意一點的剛體速度與流體速度是一致的,獲得了粘性系數為常數,初始密度不包含真空時三維情形下不可壓縮流體與多個剛體耦合系統的局部強解的存在唯一性,這種處理多剛體流體耦合系統內的流固邊界的方法,為后來研究流固耦合問題所廣泛使用.

對于系統初始密度包含真空的情形,由于退化和強非線性,要提高解的正則性就遇到了一系列的挑戰.GUO,YANG和YAO[4]在研究氣――液兩相流模型的柯西問題時,得到了當初始數據的能量足夠小時,全局強解的存在性,且結果是允許初始真空的.這給予本文研究工作的一個重要啟示,即可以參考非齊次不可壓縮流體的Navier-Stokes方程的有關研究.

關于非齊次不可壓縮流體的Navier-Stokes方程相關進展,初始密度包含真空的情形已經有大量的研究成果[5?9].特別地,韓國數學家Choe和Kim引進了相容性條件[10?11],來證明非齊次不可壓縮流體的Navier-Stokes方程經典解或強解的局部適定性.而后Craig,HUANG和WANG等學者在不同的相容性條件下將結果推廣到全局范圍.[12?13]另一方面,由于尚未查找到有關粘性系數依賴于密度的該系統的相關研究結果.研究者考慮是否可以在流固耦合問題中討論粘性系數依賴于密度的情形.而有關粘性系數依賴于密度的明確提法始于文[14].當從Boltzmann方程組通過Chapman-Enskog二階展開導出Navier-Stokes方程組時[15?16],可以發現其粘性系數和熱傳導系數都依賴于溫度,在等熵的情況下,由Boyle和Gay-Lussac定律可知溫度依賴于密度,于是粘性系數依賴于溫度轉化為粘性系數依賴于密度.[17]

受以上文獻的啟發,研究者將針對粘性系數依賴于密度的不可壓縮流體與多個剛體耦合系統方程的初始密度包含真空情形下局部強解的適定性問題進行探索.該問題的具體數學模型解釋如下：

在耦合系統內,流體的運動可以由下列帶外力項的粘性依賴于密度的不可壓縮Navier-Stokes方程組描述,

這里(ρα,v,p)分別代表流體密度,速度和壓力,μ(ρα)表示依賴于密度的流體粘性系數,流體區域是?的一個開子域,即?F(t)??,QT={(t,x)/t ∈(0,T),x ∈?F(t)}為本文所討論問題的時空空間,其中應變張量Dv=12(?v+?Tv),f ∈L2((0,T)×?)表示一個固定外力（比如重力）,?i(t)為t時刻第i個剛體運動的區域(如下圖所示).

圖1 流固耦合系統示意圖

其次,流固耦合系統內的剛體運動遵循牛頓第二定律

以及轉動定律

轉動慣量Ji遵循

剛體滿足初值條件

及Dirichlet邊界條件

在流體固體交界處假設無滑動,即有

這里?Ti表示第i個剛體對流體的反作用力,用Cauchy應力張量Σi可表示為Ti=Σi·ni.

首先,可通過虛擬區域法將剛體考慮為粘性足夠大的流體來進行變量替換

事實上由質量守恒知ρ滿足下列線性輸運方程[18]

綜上,可得整個流固耦合系統的運動方程,即本文主要研究對象

及初邊值條件

這里(?F(0),?1(0),...,?s(0))是?的開子域.

下面假設

2.主要結果

對于μ為常數的情形,Desjardins[3]得到了二,三維情形下弱解的存在性.本文主要研究的是粘性系數依賴于密度時的系統解的存在性問題,結果如下

定理2.1假設初值(ρ0,u0,f)滿足divu0=0,ρi,0D(u0)=0,1is.若滿足

1)對某個q ∈(n,+∞)有

2)存在(ρ0,g)∈H1(?)×L2(?)使得

則存在一個小時刻T?∈(0,T)及(1.14)-(1.19)的唯一一個強解(ρ,u,p),使得

3.定理的證明

本節假設μ∈C2[0,∞),根據文[10]有下列Stokes方程的經典結果.

引理3.1[10]假設ρ ∈W2,q(?),0ρ ≤C,令(u,p)∈H10(?)×L2(?)是下面邊值問題的唯一弱解

則對N=N(n,q)>0,有

1)若F ∈L2(?),則(u,p)∈H2(?)×H1(?),且

2)若F ∈Lr(?),r ∈(n,q),則(u,p)∈W2,r(?)×W1,r(?)且

3)若F ∈H1(?),則(u,p)∈H3(?)×H2(?),且

下面處理線性化系統

這里divv=0.

這是一個線性輸運方程和非穩態Stokes方程的非強耦合而成的方程組,其存在性和正則性容易得到,下面來證明非負情況下強解的存在性和正則性結果.

引理3.2假設(ρ0,u0,f)滿足定理2.1的假設條件,且有ρ0∈W2,q(?),vt ∈L2(0,T;H10(?)),divv=0于?,v ∈L∞(0,T;H10(?)∩H2(?))∩L2(0,T;W2,r(?))(n

證步1 解空間的構造.

給(3.3)左右兩端同時乘以rρr?1可以得到

在(0,t)×?上分部積分

化簡

即

繼續在?上分部積分

由于v ∈L∞(0,T;H10(?)∩H2(?)),可得

借助Gronwall不等式

及Sobolev不等式

可估計不等式右端項得到

正如文[11-19]所證明的,ρ遵循如下正則性估計

接下來使用Garlerkin方法證明強解的存在性.

步2 解的存在性.

首先介紹下列函數空間

這里?m為X內Stokes算子A=?P?的第m個特征函數,P是一個散度為零的投影算子.且∑∞1(?,?m)L2?m=?于H2(?),記(?,?m)L2=∫??mdx.

首先假設ρδ=ρ+δ,0<δ <1,令(uδ0,pδ0)∈H10(?)×L2(?)解下列邊值問題

構造逼近解um ∈C1([0,T];Xm)滿足：?ω ∈Xm有下列方程成立,

這里μδ=μ(ρδ),可以將ω=?k(k=1,...,m)代入(3.8)得到具有正則系數的線性常微分方程組.因此,依照線性常微分方程理論[18]容易得到唯一Garlerkin解um的存在性.

步3 一致估計.

由(1.1)及∥ρ(t)∥Lr=∥ρ0∥Lr,(1≤r ≤∞),可知

則易知

即

給(3.3)左右兩端同時乘以μ′(ρδ)可得代入上式可得

對(3.12)式在(0,t)積分,而∥μδ∥L∞C,∥ρδ∥L∞C,于是

借助Cauchy不等式可推出

結合以上兩個式子,可得

由(3.5)知∥?ρ∥2L∞C,結合Gronwall不等式可得

接下來對(3.12)關于t求微分,運用線性輸運方程(3.3)可以得到

記divumt=0并運用(3.3)有

逐項估計,可知

綜上可得

只需估計最后一項,固定τ ∈(0,T),在(τ,T)?(0,T)積分,

由Gronwall不等式可推出

接下來取ω=umt=umt(τ)代入(3.8)可以估計最后一項,推出

由不可壓縮條件divumt=0,得到

化簡得到

因此對(3.17)取τ →0,可以得到如下結論

而當t=0時,

代入(?)式右端可得

定義

則不等式可寫為

由ρδδ及于H2(?)可推出

步4 緊性證明.

步3證明結果表明,存在一個序列mk使得于L∞(0,T?;L2(?))且umk ?uδt于L2(0,T?;H1(?)).對(3.19)取極限并運用弱?收斂的下半連續性可知

即存在一序列0<δk <1,當δk →0時有uδk ??ut于L2(0,T?;H1),且uδkt ?ut于L2(0,T?;H1(?)).又由知

等價于

于是有下列結論

由(3.2)知

綜合步1-4的證明過程,最終得到了引理3.2的結論.

下面證明逼近解滿足一些一致估計且收斂到原非線性問題(1.14)-(1.18)的一個局部強解.

為了得到此逼近解的一致估計,首先引入一個函數ΦK(t),K1,

下面將逐項估計ΦK,運用Gronwall不等式可最終獲得ΦK的局部有界性.

簡記μk=μ(ρk)且2Dk(u)=?uk+?Tuk.可以觀察到δρkC,C?1μkC,|?μk|C|?ρk|,|?2μk|(|?ρk|2+|?2ρk|),依賴于∥?u2/?ρ2∥C.

對于ΦK的第一項,可以由以下引理得到.

引理3.3存在常數N=N(n,q)>0,使得?k,1kK有

證在(3.2)兩端同時乘以ukt并在?分部積分,由H?lder不等式有

記(uk,pk)∈H10(?)×L2(?)解下列Stokes方程

由H?lder不等式,Sobolev不等式知

由(3.23),(3.24)借助Young不等式,可得存在常數N1=N1(n,q)>0,使得

常數Ni,2i5使得

且

代入到(3.22)可得

對(3.26)關于t積分,可證得該引理.

引理3.4存在常數N=N(n,q)>0,使得?k,1kK有

其中C0=C(ρ0,u0,p0).

證對幾乎處處的t ∈(0,T),ω ∈H10,δ(?)={? ∈H10(?)|div?=0},有

由引理3.2所證明的(ρ,u)的正則性,可得(3.28)右側被A(t)|ω|H10控制,非負函數A(t)∈L2(0,T).因此可借助文[19]中引理1.1的結果,得到對所有的,(ρut)t ∈L2(0,T;H?1σ(?))，這里(?)是(?)的對偶空間,于是有

即

結合(3.3)并逐項估計(參見文[10])可得,

對(3.29)右側逐項估計知

其中估計第二項時,利用引理3.1知,存在N7=N7(n,q),使得

取τ ∈(0,T)并對(3.30)在(τ,t)?(0,T)積分可得

這里

且

應用Gronwall不等式知

接下來對AK(τ)的估計步驟類似于(3.18),此處簡寫主要步驟,在(3.3)兩端同乘ukt,并借助引理3.1,引理3.2知

因此,在(3.33)中令τ →0可得

即證得該引理.

接下來估計ΦK第二項∥?ρk∥Lq.

引理3.5存在常數N=N(n,q)>0,使得?k,1kK有

證由引理3.2 知,對任意n

由ΦK定義知,ΦK1,則,于是由Cauchy不等式知，

引理3.5得證.

現在將(3.27)與(3.35)結合可得對常數N=N(n,q)>0,有

因此可以定義

于是有

由積分不等式及文[9]中關于ΦK估計,易證存在一個依賴于C0及參數C的時間T?∈(0,T),使得

則得到了ΦK的局部有界性.固定K為足夠大的整數,對任意k1,綜合上述引理3.3-3.5易得下列一致上界

接下來證明整個序列(ρk,uk)強收斂到原非線性方程(1.14)-(1.18)的一個解.定義σk+1=則有

兩式相減,運用方程(3.3)及不可壓縮條件divuj=0可得

兩側同時乘以ωk+1,在?上積分有

關于時間t微分有

運用H?lder,Sobolev和Cauchy不等式,記可以推出

對上式在?積分,并運用(3.6)及ρkδ可知

而由yk+1(0)=0,及Bk(s)∈L1(0,T?),知

當k=1時,上式顯然成立,設k=n時仍然成立,則對于k=n+1時,有

即有

結合(3.38)知

同理

于是可以得到序列(ρk,uk)收斂到L∞(0,T?;L2(?))內的一個極限(ρ,u),對(3.37)關于t積分可得在L2(0,T?;H10(?))內uk →u.

4.總結

從以上收斂過程,可以得到(ρ,u)為(1.14)-(1.16)的一個弱解(詳見文[20]).利用文[20]中散度自由向量場的經典結論可得(3.36)滿足如下的一致估計

即

至此完成了在初始密度非負ρ0δ >0,μ∈C2假設下的強解的存在性證明.[21]

下面證明一般情形下的存在性.令(ρ0,u0)滿足定理2.1的假設條件,則對于任意δ ∈(0,1),取ρδ0∈W2,q(?)及μδ ∈C2[0,∞),能使得當δ →0時,有

記(uδ0,pδ0)∈{H10(?)×L2(?)}是下列方程的一個解

則相應的解(ρ0,u0,p0)滿足(4.1),C0=C(ρ0,u0,p0)=∥g∥2L2.而由于∥μδ ?μ∥C1→0,所以C不依賴于δ.取在弱意義下收斂到(ρ,u,p)的序列(ρδ0,uδ0,pδ0),顯然為滿足正則性估計(4.1)的原非線性問題的一個強解.由Lions[21]易得該解唯一性的證明,連續性的證明類似于文[10],這里從簡.

主要利用(3.36)與質量守恒方程得到ρt的存在區間,結合緊性結論得到ρ的右連續.固定t0∈[0,T?],知

此外,對(3.25)在[τ,t)上積分可以得到,對N=N(n,q)>0,有

由(3.24)可知

由(3.31)知

對(3.32)式運用積分形式的Gronwall不等式知

由(3.5)知

運用微分形式的Gronwall不等式,結合以上估計可以得到如下的爆破準則

即t →T?時,有J(t)→∞.所以我們要求T?足夠小.至此,我們證明了定理2.1的全部結論.