無窮限反常積分的狄利克雷（Dirichlet）判別法的應(yīng)用探討

李 霞

（沈陽理工大學(xué)理學(xué)院，遼寧 沈陽 110159）

無窮限反常積分是定積分的一種推廣形式，其收斂性的判別在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)理論體系與其他學(xué)科實(shí)際應(yīng)用中都有著重要的意義.在諸多收斂性判別法中，狄利克雷（Dirichlet）判別法則是理論意義重要但實(shí)際操作難以下手的一個(gè)定理.因此，能否找到一類適合狄利克雷判別法條件要求的被積函數(shù)，成為解決問題的關(guān)鍵，本文通過實(shí)例進(jìn)行類推，以期對狄利克雷判別法的實(shí)際應(yīng)用有所促進(jìn).

定理[1]設(shè)f(x),g(x)在[a, +∞)上有定義，

（1） ?X＞a,g(x)∈R[a,X],?M＞ 0,使得對

（2）f(x)在[a, +∞]上單調(diào)，且

由定理，狄利克雷判別法將函數(shù)乘積的無窮積分的收斂性判定問題轉(zhuǎn)化為判定兩個(gè)函數(shù)是否滿足特定條件的形式. 但在具體應(yīng)用中，相對于判別部分因式是否單調(diào)趨于零，更為困難的則是尋找是否有部分因式作為被積函數(shù)時(shí)積分有界.

先討論可以應(yīng)用狄利克雷判別法的例子.

解 ： 對g(x)=cosx，?M=2，對于?X＞ 1，

由狄利克雷判別法，當(dāng)α＞ 0時(shí)，收斂.

從例1發(fā)現(xiàn)，當(dāng)取g(x)為三角函數(shù)時(shí)，可以很輕松地得到其積分有界的結(jié)論，從而直接應(yīng)用狄利克雷判別法求證，在某種程度上，是三角函數(shù)的周期性及函數(shù)值有規(guī)律的取值使其很好地滿足了判別法的條件，那么三角函數(shù)的特性能否化為更一般的規(guī)律呢？

例2：g(x)是(?∞,+∞)上周期為2π的連續(xù)函數(shù)，

證明：對?α＞ 0，收斂[1].

證明：顯然，對?X＞ 1，g(x)在[1 ,X]上連續(xù)且可積，故g(x)在[1 ,X]上有最值.

既 ?m,M∈R，m＜M，當(dāng)x∈ [ 1 ,X]時(shí)，m≤g(x)≤M成立.

由狄利克雷判別法，對?α＞ 0，收斂.

例2提取了三角函數(shù)一個(gè)周期內(nèi)積分為零這一特性，構(gòu)成了更為一般的條件.進(jìn)一步，條件“g(x)是(?∞,+∞)上周期為2π的連續(xù)函數(shù)，可弱化為“g(x)是(?∞,+∞)上周期為T的連續(xù)函數(shù)，其中T為實(shí)數(shù)，T＞ 0”。

這樣就找到了更具普適性的一類函數(shù)，可以通過證明其積分有界，從而利用狄利克雷判別法證明其與某單調(diào)趨于零函數(shù)的乘積的廣義積分收斂.但是，這也僅僅窺得問題答案的冰山一角，相信經(jīng)過深入的理論研究，可以有更多發(fā)現(xiàn).