芻議“爪”形圖在平面向量共線問(wèn)題中的處理策略

浙江 王 凱

一、問(wèn)題緣起

人民教育出版社2019版普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)“平面向量及其應(yīng)用”第6.4.1節(jié)“平面幾何中的向量方法”結(jié)束后給出了下面這個(gè)練習(xí).

【練習(xí)】如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線交分別直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N.設(shè)AB=mAM，AC=nAN，求m+n的值.

根據(jù)本節(jié)的教學(xué)內(nèi)容，此題的解決思路如下.

這個(gè)習(xí)題和探究給我們揭示了平面中若有三點(diǎn)共線的一種向量表達(dá)式.

這個(gè)結(jié)論可以作為我們判斷平面中三點(diǎn)共線的一個(gè)重要工具，由于它的圖形非常類似雞的三個(gè)主爪，教學(xué)中也常常稱其為“爪”形圖.

借助這個(gè)結(jié)論，可以讓向量問(wèn)題的線性關(guān)系在代數(shù)的“算”和幾何的“形”之間進(jìn)行相互切換，讓我們更深刻的理解數(shù)學(xué)內(nèi)容(向量代數(shù)式的幾何背景)，當(dāng)然也可以較便捷的處理一些復(fù)雜問(wèn)題.下面通過(guò)一些具體例子來(lái)加以說(shuō)明.

二、以數(shù)表形，化繁為簡(jiǎn)

在平面向量中，利用平面向量的基本定理將向量進(jìn)行分解是分析題干理解題意的首要環(huán)節(jié)，不過(guò)有些條件下的分解會(huì)對(duì)學(xué)生數(shù)形互換有較高的要求，但我們可以借助“爪”形圖的代數(shù)結(jié)構(gòu)，更快捷的實(shí)現(xiàn)以“數(shù)”表“形”.

三、以形輔數(shù)，一目了然

( )

A.(0,1) B.(1,+∞)

C.(-∞,-1) D.(-1,0)

這個(gè)問(wèn)題基于幾何的“形”，輔以代數(shù)結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)換，讓問(wèn)題一目了然，一望而解.

這個(gè)問(wèn)題的普遍解答方式是通過(guò)建系，將ax+by變成一個(gè)三角表達(dá)式，最后利用三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)來(lái)求范圍和最值.

而我們可以利用“爪”形圖以形輔數(shù)，將問(wèn)題的結(jié)果看出來(lái).

在題干的條件下，根據(jù)例4的處理方法可知點(diǎn)P落在以點(diǎn)D為圓心，1為半徑的圓內(nèi)(△ABC的外側(cè)部分，如圖所示).

例4和例5的解答過(guò)程讓我們感受到，可以把向量看作不依賴于坐標(biāo)系的解析幾何，它具備解析幾何的種種優(yōu)點(diǎn)，卻不被解析幾何的種種形式所局限.向量的幾何運(yùn)算，不僅僅是數(shù)的運(yùn)算，還包括圖形的運(yùn)算；向量解題在一定程度上擺脫了輔助線，這可能正是萊布尼茨所設(shè)想的幾何：同時(shí)具有分析和綜合的優(yōu)點(diǎn)，而不像歐幾里得幾何與笛卡爾幾何那樣分別只具有綜合的或分析的特點(diǎn).

四、數(shù)形結(jié)合，如虎添翼

( )

C.8 D.16

解決這道考題的基本思路是先通過(guò)代數(shù)結(jié)構(gòu)的變換，找到“爪”形圖的代數(shù)結(jié)構(gòu)，接下來(lái)再利用相關(guān)結(jié)論解決問(wèn)題.例6和例7的本質(zhì)是通過(guò)代數(shù)變換，實(shí)現(xiàn)圖形的相似變換，把不符合“爪”形圖的圖形變回到“爪”形圖，把問(wèn)題變回到本源的結(jié)構(gòu).

五、寫在最后

在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生尋求簡(jiǎn)潔直觀的解題方法，從上面給出的幾個(gè)例子來(lái)看，基于“爪”形圖的解題方法朝著這個(gè)目標(biāo)在前進(jìn).