數學考試中結構不良問題的含義、功能及解法

福建 童其林

數學問題可分為結構良好問題和結構不良問題.在解決結構不良數學問題的過程中往往能體現出一個人的各種能力，如學習的遷移能力，即完成從非理想模型向理想模型的遷移；思維的變通能力，即能夠完成把不良結構變通為良好結構等等.也正因為如此，當今高考的素養立意就是要完成從結構良好數學問題的考查向結構不良數學問題的考查的轉化，也正基于此，結構不良問題往往被命題者作為測量問題解決能力的工具，以達到試題具有良好“區分度”的目的.中學數學教學中，我們應該努力尋求解決結構不良數學問題的方法，其中補償法是一種常用的方法.應用補償法一般可解決下面四類缺陷問題：物理性缺陷問題——物理割補，等效運算；情境性缺陷問題——返璞歸真，技術補償；過程性缺陷問題——結構假設，等效轉換；假設性缺陷問題——合理假設，檢驗校正.

1.結構不良試題的含義

Reitman(1965)首次從認知心理學的角度區分了結構良好問題和結構不良問題.前者是初始狀態、目標狀態和算子都很明確的問題，而后者是這三者中至少有一個沒有明確界定的問題.所謂算子就是解決問題的方法和途徑.結構不良的問題并不是指問題本身有什么錯誤或者不恰當，而是指它沒有明確的結構、要求或者解決途徑.

陳堯明老師認為，數學問題可分為結構良好問題和結構不良問題，在中學數學試題中大量出現的是結構良好的數學問題.所謂結構良好，是指提供的信息完整，數學結構(研究對象、輸血過程)理想，問題目標明確，解決過程和答案穩定，也就是我們常說的理想模型.結構良好和結構不良是一個相對的概念.結構不良一般分為結構缺陷和結構復雜兩類.

任子朝認為數學科結構不良問題的主要特征有：(1)問題條件或數據部分缺失；(2)問題目標界定不明確；(3)具有多種解決方法、途徑；(4)具有多種評價解決方法的標準；(5)所涉及的概念、規則和原理等不明確；(6)需要學習者表達個人的觀點或信念.

【例1】(2020·5月寧德市普通高中畢業班質量檢查試卷理·15)寧德市中學生籃球比賽中，如圖為某球隊8場比賽得分的莖葉圖，其中有兩個數字不慎被墨跡污染(分別用m,n標注).目前得知這組數據的平均值為58，則方差s2最大時m-n的值為________.

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點評：本例的數據部分缺失問題，解題時要注意隱含條件：m,n∈N.

本例是一個逆向思維的問題，也是具有多種解決方法、途徑，并需要驗證是否符合題意的問題，需要學習者表達個人的判斷.

【例3】(2019·11月山東海南調研卷)在①b1+b3=a2，②a4=b4，③S5=-25，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的k存在，求k的值，若k不存在，請說明理由.

設等差數列{an}的前n項和為Sn，{bn}是等比數列，________，b1=a5,b2=3，b5=-81，是否存在k，使得Sk>Sk+1且Sk+1

本例是典型的結構不良問題，具有多種解決方法，需要學習者表達個人的觀點或信念.

【例4】三角形ABC的三個內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，有下列兩個條件：(1)a,b,c成等差數列；(2)a,b,c成等比數列.

現給出三個結論：

請你選取給定的兩個條件中的一個為條件，三個結論中的兩個為結論，組建一個你認為正確的命題，并證明之.

本例是條件和結論都要學習者組織和判斷的問題，是條件和結論都開放的問題.

( )

2.結構不良試題的功能

近年來，結構不良問題引起了研究者的關注，新建構主義高度重視結構不良問題對于發展學生的思維、創新和遷移能力，他們強調應當變傳統知識的接受者為問題解決的主動者.

從知識觀來看，結構不良問題的解決有利于高級知識的獲得.有利于激發學生的學習興趣，有利于培養學生發現問題、解決問題的能力，有利于應對現實挑戰的創新能力和實踐能力的提高，有利于提高高考數學的區分度.

中學數學教學中，應該努力尋求解決不良結構數學問題的方法，其中補償法是一種常用的方法.

3.求解結構不良試題的一種方法：補償法

應用補償法一般可解決下面四類缺陷問題.

3.1物理性缺陷問題——物理割補、等效運算

所謂物理性缺陷是指數學解題對象在空間上與理想的數學模型存在一定的缺陷.補償法就是經物理性割補使之成為一個完整的理想結構，找出缺陷結構與理想結構之間的差異，再用有關的性質、原理求解，從而得到正確的結論.此類結構不良問題在立體幾何中比較常見.

如圖，把四面體補成一個長方體，假設長寬高為x,y,z,列出方程組即可快速求解.

解析:由題意知該三棱錐為正方體的一部分,如圖所示.

點評：將四面體補成正方體，通過求解正方體的對角線就是球的直徑，然后求解外接球的表面積.

3.2情境性缺陷問題——返璞歸真、技術補償

所謂情境性缺陷是指實際問題條件與使用條件之間的差異形成的缺陷.良好結構的數學問題的條件是有序的、正定的，但實際問題條件往往是無序的、離散的.碰到這種原理性缺陷問題時，可以通過畫圖象、畫表格等數學技術手段進行補償，使問題呈現良好有序的結構，返璞歸真.

【例8】若E,F分別是三棱柱ABC-A1B1C1側棱BB1和CC1上的點,且B1E=CF,三棱柱的體積為m,求四棱錐A-BEFC的體積.

解析：如圖,連接AB1,AC1.由于B1E=CF,則梯形BEFC的面積等于梯形B1EFC1的面積.

因為四棱錐A-BEFC的高與四棱錐A-B1EFC1的高相等,

設三棱柱的高為h,

點評：局部與整體考慮相結合.

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所以b1+b2020=b1+b2=4，即(a1-2)2+(a2020-2)2=4.

法三：(a1-2)2+(a2020-2)2=4，即(a1,a2020)在(x-2)2+(y-2)2=4上，

點評：本題是數列內部綜合問題，也是和其他數學分支的綜合，還是解題方法的綜合，有一定的難度.

3.3過程性缺陷問題——結構假設、等效轉換

不少數學問題，在連接題設和結論的關鍵點上，會遇到一些客觀上根本不可能知道的，或可以知道但不需要知道從而不用知道的，或需要知道但當前尚未知道的數學對象，這些我們泛指過程性缺陷問題.對于此類問題可以將結構假設為有利問題解決的理想狀態，抹去過程的碎碎末末，抓住理想狀態下的一些特殊環節進行分析剖解.

【例10】將n2(n≥3)個正整數1，2，3，…，n2填入到n×n個方格中，使得每行、每列及每條對角線上的數的和相等，這個正方形就叫做幾階幻方.如圖就是一個3階幻方，定義f(x)為幾階幻方一條對角線的和，例如f(3)=15，那么f(4)等于________.

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點評:深刻理解數學概念，掌握數學思想方法是會算的必要條件.

【例11】已知三角形ABC的頂點A(4,-1),角B和角C的角平分線方程分別是x-y-1=0和x-1=0.求BC邊所在直線的方程.

本題是讓許多學生百思不得其解的一個問題，主要是打不開思路、想不到方法造成的.畫圖，利用對稱性，即可知A(4,-1)關于角B的平分線所在直線x-y-1=0的對稱點E(0,3)在直線BC上，同理A(4,-1)關于角C的平分線所在直線x-1=0的對稱點D(-2,-1)在直線BC上，所以直線DE的方程，即直線BC所在的直線方程，為2x-y+3=0.

3.4假設性缺陷問題——合理假設、檢驗校正

分析：大多學生會如下解答：

【例13】(2020·全國卷Ⅰ理·12)若2a+log2a=4b+2log4b，則

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A.a>2bB.a<2b

C.a>b2D.a

此類問題構造函數，利用函數的奇偶性和單調性即可解決.而本例結構比以前知道的復雜.

解析：因為2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b，設f(x)=2x+log2x，則f(x)為增函數，

f(a)-f(b2)=2a+log2a-(2b2+log2b2)=22b+log2b-(2b2+log2b2)=22b-2b2-log2b，

當b=1時，f(a)-f(b2)=2>0，此時f(a)>f(b2)，有a>b2,

當b=2時，f(a)-f(b2)=-1<0，此時f(a)