解析幾何中的數學思想

甘肅 彭長軍

一、函數思想

解析幾何中有不少問題，其中的某些點、線處在運動變化之中，這就引出了一些相互制約的量，它們之間可能構成函數關系，此時用函數的思想和方法去處理非常有效.

例1.已知拋物線y2=2x，設A(a，0)(a>0)，P是拋物線上的一點，且|PA|=d,試求d的最小值.

∴d=|PA|

二、方程思想

解決直線與二次曲線的位置關系問題，最常用的方法是將直線方程與二次曲線方程聯立，消去一個未知數，變為關于x(或y)的一元二次方程，然后設直線與二次曲線的交點坐標為(x1，y1)，(x2，y2)，再由韋達定理，得x1+x2，x1x2(或y1+y2，y1y2).此法最大的特點就是利用韋達定理，避免了求交點坐標，它對解決與“距離”或“中點”有關的問題特別有效.

(1)求雙曲線C的方程；

將①②代入，得k2=4，k=±2,∴所求Q點的坐標為(±2，0).

三、分類討論思想

分類討論思想是中學數學解題的重要思想，圓錐曲線中的許多問題都涉及分類討論.分類問題的解題步驟一般為：①確定分類的對象和標準；②進行合理的分類;③逐類逐級討論；④歸納各類結果.

例3.已知x2cosθ+y2sinθ=1,θ∈[0,2π),就θ的取值討論方程是何種曲線及曲線的位置特征.

解：(1)當θ=0時，方程變為x2=1，即x=±1,此時方程的曲線是平行于y軸且距y軸為1的兩條平行直線；

(7)當θ=π時，方程變為x2=-1，無實數解，此時方程的曲線不存在；

四、等價轉化思想

1.對于直線與二次曲線的位置關系問題，可轉化為直線方程與曲線方程的公共解的個數問題，于是可利用一元二次方程在給定區間上有無實數解的充要條件求解.

例4.已知直線l:y=kx-1與雙曲線C:x2-y2=4，在下列各種情況下求實數k的取值范圍.

(1)直線l與雙曲線C沒有公共點；

(2)直線l與雙曲線C有兩個公共點;

(3)直線l與雙曲線C只有一個公共點;

(4)直線l與雙曲線C的右支有兩個公共點；

(5)直線l與雙曲線C的左支有兩個公共點；

(6)直線l與雙曲線C的兩支各有一個交點.

解：將y=kx-1代入雙曲線x2-y2=4，得(1-k2)x2+2kx-5=0,

(3)直線l與雙曲線C只有一個公共點?方程(1-k2)x2+2kx-5=0只有一個實數根,

2.對于與圓錐曲線的焦半徑有關的一類最值問題，可通過圓錐曲線的定義將其轉化為平面幾何問題，從而利用平幾知識使問題得到快速解決.

( )

3.對于“圓錐曲線上的點到與其相離的直線的距離的最大值或最小值問題”，可通過將直線平移使其與圓錐曲線相切，從而將最大(小)值轉化為(切)點到已知直線的距離或平移前后兩直線間的距離.

解：設與直線x+2y+18=0平行的直線l的方程為x+2y+m=0,即x=-(2y+m)，將其代入橢圓方程，得25y2+16my+4m2-36=0.當直線l與橢圓相切時，有Δ=0，即m=±5.

4.對于“在直線上求一點使其到直線外兩定點距離之和最小(兩定點在直線同一側)或距離之差最大(兩定點在直線兩側)”的一類問題，可通過對稱性將其轉化為三點共線問題，從而快速求解.

例7.求滿足下列條件的點及最大值、最小值：

(1)已知點A(-3,5),B(2，15)，試在直線l:3x-4y+4=0上找一點P，使|PA|+|PB|最小，并求出最小值;

(2)已知點A(-3,5),B(0,4)，試在直線l:3x-y-1=0上找一點Q，使||QA|-|QB||最大，并求出最大值.

解：(1)由[3×(-3)-4×5+4]×(3×2-4×15+4)>0知A，B兩點在直線l的同側.

(2)易知A,B兩點在直線l的兩側，點B(0,4)關于l的對稱點為B′(3，3)，∴直線AB′的方程為2x+y-9=0.

五、數形結合思想

例8.已知直線l:y=kx-1與雙曲線C:x2-y2=4，在下列各種情況下求實數k的取值范圍.

(1)直線l與雙曲線C沒有公共點；

(2)直線l與雙曲線C只有一個公共點;

(3)直線l與雙曲線C的右支有兩個公共點；

(4)直線l與雙曲線C的左支有兩個公共點；

(5)直線l與雙曲線C的兩支各有一個交點;

(6)直線l與雙曲線C有兩個公共點.

圖1

圖2

圖3

圖4

(5)如圖4，當直線l從l1繞點P(0,-1)順時針旋轉到l2時，直線l與雙曲線C的兩支各有一個交點，∴-1

以上就是解析幾何中的五種常見的數學思想，若能靈活運用，則會大大提高學習效率！

1.對于能建立函數關系的問題，首先考慮函數思想，若不能求解，則轉換思路，另辟蹊徑.

2.對于涉及直線與圓錐曲線相交所產生的求中點弦所在直線的方程或弦的中點的軌跡方程的問題時，常常采用“點差法”求解，此時只需設出交點的坐標而無需求出，就可巧妙地表達出直線的斜率，通過將直線的斜率“算兩次”建立幾何量之間的關系，這樣既減少了運算量又能快速解決問題.

3.對于某些涉及線段長度關系的問題可以通過解方程、求坐標、用距離公式計算長度的方法來解；但也可以利用一元二次方程，使相關的點的同名坐標為方程的根，由根與系數的關系求出兩根間的關系或有關線段長度間的關系.后者往往計算量小，解題過程簡潔.

4.對于等價轉化，要求轉化過程中前因后果是充分必要的，才能保證轉化后的結果仍為原問題的結果.否則(非等價轉化)，就要對結論進行必要的修正.