對一道三角形面積問題的探究與拓展

安徽 劉海濤

1 試題呈現與分析

分析:這是一道解三角形問題,解法靈活、綜合性較強、難度略大,主要考查三角形內切圓半徑與面積的關系,不等式求最值等知識,考查了學生分析問題、解決問題的能力及化歸與轉化的數學思想,體現了邏輯推理、數學運算、直觀想象等數學核心素養.本文嘗試對該題從不同的角度予以思考,給出不同的解法,并推廣到一般化情況.

2 解法探究

評注:在解法2的基礎上,發現三角形面積等于半周長,于是想到海倫公式,得到p=(p-a)(p-b)(p-c),結合三元基本不等式,得到半周長的最小值.

評注:在解法4的基礎上,巧妙利用余切函數的凹凸性,借助琴生不等式,求出最小值.

評注:解析幾何法相較于前幾種解法,雖然過程略顯煩瑣,但是借助坐標系與向量解決幾何問題,是高中數學的一種重要思想方法.

3 問題的提出

數學家波利亞曾說:“解題就像采蘑菇一樣,當我們發現一個蘑菇時,它的周圍可能有一個蘑菇圈.”解答完本題后,筆者有如下思考:

問題1 若△ABC中∠A是定值,內切圓半徑r也是定值,則△ABC面積的最小值是多少？

問題2 若半徑為r的圓內切于△ABC,則△ABC的面積最小值是多少？

問題3 若半徑為r的圓外接于△ABC,則△ABC的面積最大值是多少？

4 問題的拓展

5 反思總結