基于2020年高考全國卷Ⅲ理科第12題的解析與思考

陜西 劉正章

1.試題呈現

(2020·全國卷Ⅲ理·12)已知55<84，134<85.設a=log53，b=log85，c=log138，則

( )

A.a

C.b

【點睛】我們知道實數具有基本性質，即任意兩個實數a，b必定滿足并且只滿足下列三個關系之一：ab.因此基于所學基本知識和方法的比較大小問題高考年年考也就不足為怪了，特別是指數、對數的比較大小問題.本題考查對數式的大小比較，試題設計很有特色：第一，考查的知識點豐富，涉及基本不等式、對數式與指數式的互化、換底、乘方以及指數函數的單調性等；第二，解法多樣，作差、作商、函數單調性、界值法等；第三，人文關懷，為降低難度，給出輔助信息55<84，134<85；第四，體現數學文化，由斐波那契數列數3,5,8,13構成對數式，讓人嘆服.

2.試題解析

由對數函數性質易得a，b，c∈(0,1).

首先考慮a，b的大小關系.由于兩個對數式的底數和真數均不同，所以利用比較大小的基本策略“作差(或作商)”將二者結合起來研究，有：

途徑二：由b=log85，c=log138，得8b=5,13c=8，

又因為55<84，134<85，所以134c=84>55=85b>134b，所以b

途徑三：由已知得5b=log855log13134=4，所以b

3.題型反思

雖然在教材中沒有單獨安排“比較大小”的課節，但高中階段指數和對數的比較大小問題卻比比皆是.此類題型往往小而巧，類型不同解決方法也存在差異，但主要還是考查學生靈活運用基本知識的能力.下面僅從高考復習備考的視角來看比較大小的幾種常見類型：

3.1比較指數式的大小

【例1】(2014·湖北試題改編)比較e3，3e，eπ，πe，π3，3π的大小.

【解析】因為e<3<π，且函數y=xe，y=xπ，y=ex，y=πx在(0,+∞)上單調遞增，所以3e<πe<π3，e3

綜上可得，3e

3.2比較對數式的大小

【例2】若a=log23，b=log32，c=log46，則下列結論正確的是

( )

A.b

C.c

【評注】比較兩個對數大小時，盡量化為同底或同真數，當底數相同，真數不同時，構造同底對數函數，然后比較大小；當真數相同，底數不同時，可以先用換底公式化為同底后再比較，或構造兩個對數函數利用圖象比較大小；當底數與真數都不同時，常借助中間量(如0,1)進行比較.本題首先利用中間量1比較，再利用換底公式轉為同底的對數比較a,c，當然也可利用“擴倍法”：2a=log29>log28=3，2c=log436

3.3比較不同類型數的大小

( )

A.a

C.c

3.4比較含字母代數式的大小

【例4】若a>b>0，則下列不等式中一定正確的是

( )

4.教學啟示

4.1注重通性通法 鞏固基本能力

現在輔導資料遍地開花，精彩的試題也很多，但不要被資料所左右，我們要時刻保持清醒.“題”是做不完的，要以問題所涉及的知識和通性通法為目標，夯實學生以不變應萬變的能力.高考比較大小試題考查的主干知識是指數、對數的變形和運算，以及指數函數和對數函數性質的運用.常用的求解方法有作差比較法、作商比較法、中間量法、單調性法、圖象法、特殊值法、放縮法，側重于變形技巧的方法有平方法、倒數法、分子(分母)有理化法、移動因式(指數)法等.這些知識和方法的掌握是重點，重點內容要特別關注，在通性通法的運用上要舍得花時間，不妨讓學生用自己的語言說出思路及相關公式、性質，寫出規范求解過程，使學生形成看到問題就能想到解決方法，且具備靈活運用相關知識解決問題的能力.

4.2重視“函數”作用形成方法體系

比較大小問題中，從運算角度看，指數、對數和常數經常用到指數運算性質、對數恒等式、換底公式、對數性質化為同底(同指數或真數)；分式用到分式的基本性質化為相同分子(分母)；根式用到穿墻術、根指互化、有理化、乘方開方等，其核心思想是化異為同，然后利用函數的單調性處理.英國數學家懷特海，A.N.說：“數學就是對于模式的研究.”從系統的高度分析，比較大小可以看作是函數模型的產物.因此在理解比較大小本質的基礎上心中要有函數觀，不僅對反比例函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數的性質要了然于胸，而且要提升利用數式的結構構造函數，結合導數解決問題的能力.

4.3重視過程感悟 發展核心素養