淺談函數切線的五重境界

山東 王懷興

與函數切線有關的知識在近幾年的高考試題中頻繁出現，以2020年與函數切線有關的真題為例，淺談函數切線的五重境界.

第一重境界：與函數圖象上在某點的切線相關

例1.(2020·全國卷Ⅰ理·6)函數f(x)=x4-2x3的圖像在點(1，f(1))處的切線方程為

( )

A.y=-2x-1 B.y=-2x+1

C.y=2x-3 D.y=2x+1

【答案】B

【解析】因為f(x)=x4-2x3，所以f′(x)=4x3-6x2，所以f(1)=-1，f′(1)=-2，

因此，所求切線的方程為y+1=-2(x-1)，即y=-2x+1，故選B.

(Ⅰ)當a=1時，求曲線y=f(x)在x=0處的切線方程；

(Ⅱ)若函數f(x)在區間[0,π]上是增函數，求實數a的取值范圍.

(Ⅱ)f′(x)=a-x-sinx，因為f(x)在區間[0,π]上是增函數，所以f′(x)≥0在區間[0,π]上恒成立，令a-x-sinx≥0，即a≥x+sinx，令g(x)=x+sinx，則g′(x)=1+cosx≥0，所以g(x)在區間[0,π]上單調遞增，所以g(x)max=g(π)=π，故實數a的取值范圍是[π,+∞).

解決與函數圖象上在某點的切線相關的問題，是教材中最先呈現的，一般明確給出切點.解決此種境界的問題時要注意切點既在曲線上又在切線上，利用函數在切點的導數，求得切線斜率，再利用直線的點斜式方程，求得切線方程.

第二重境界：與函數圖象上過某點的切線相關

例2.已知函數f(x)=x3-ax2.當a>3時，求證：過點P(1,f(1))恰有2條直線與曲線y=f(x)相切.

【證明】設過點P(1,f(1))的曲線y=f(x)的切線切點為(x0,y0)，f′(x)=3x2-2ax，f(1)=1-a，

令g(x)=2x3-(a+3)x2+2ax+1-a，則g′(x)=6x2-2(a+3)x+2a=(x-1)(6x-2a)，

x(-∞,1)11,a3 a3a3,+∞ g'(x)+0-0+g(x)↗極大值↘極小值↗

所以過點P(1,f(1))恰有2條直線與曲線y=f(x)相切.

(Ⅰ)求曲線C上任意一點處切線的斜率的取值范圍；

(Ⅱ)若曲線C上存在兩點處的切線互相垂直，求其中一條切線與曲線C的切點橫坐標的取值范圍；

(Ⅲ)試問：是否存在一條直線與曲線C同時切于兩個不同點？若存在，求出符合條件的所有直線方程；若不存在，說明理由.

【解析】(Ⅰ)f′(x)=x2-4x+3，則f′(x)=(x-2)2-1≥-1，即曲線C上任意一點處切線的斜率的取值范圍是[-1,+∞).

(Ⅲ)設存在過點A(x1,y1)的切線與曲線C同時切于兩點，另一切點為B(x2,y2)，x1≠x2，

但當x2=2時，由x1+x2=4得x1=2，這與x1≠x2矛盾.所以不存在一條直線與曲線C同時切于兩點.

解決與函數圖象上過某點的切線相關的問題時，一定要注意此點是切線的切點，也有可能是函數的某條切線經過此點，然后再用第一重境界的方法解決此類問題.務必要考慮全面，切記不要漏解.

第三重境界：與過函數圖象外一點的切線相關

例3.過點A(2，1)作曲線f(x)=x3-3x的切線最多有

( )

A.3條 B.2條

C.1條 D.0條

【答案】A

變式3：已知函數f(x)=x3-3x.

(Ⅰ)求函數f(x)的極值；

(Ⅱ)過點P(1,n)，n≠-2，作曲線y=f(x)的切線，問：實數n滿足什么樣的取值范圍，過點P(1,n)可以作出三條切線？

【解析】(Ⅰ)因為f′(x)=3(x2-1)，所以在x=±1處取得極值，極大值f(-1)=2，極小值f(1)=-2.

由g′(x0)=0，得x0=0或x0=1.所以g(x0)在(-∞,0)，(1,+∞)上單調遞增，在(0，1)上單調遞減.

所以函數g(x0)的極值點為x0=0，x0=1.

故所求的實數n的取值范圍是-3

解決與過函數圖象外一點的切線相關的問題，一定要明確此點肯定不是切線的切點，所以要先設出此切線在函數某處的切點，再利用函數在切點的導數求得切線斜率.同時，此切線斜率也可以用給出的定點和設出的切點兩點坐標表示，然后再利用斜率相等，切點在曲線上解決此種境界的問題.

第四重境界：與過兩函數圖象交點的切線相關

例4.設函數y=x2-2x+2的圖象為C1，函數y=-x2+ax+b的圖象為C2，已知C1，C2上存在過C1與C2的一個交點的兩切線互相垂直，求a+b的值.

【解析】對于C1：y=x2-2x+2，有y′=2x-2，對于C2：y=-x2+ax+b，有y′=-2x+a，

設C1與C2的一個交點為(x0，y0)，由題意知過交點(x0，y0)的兩條切線互相垂直.

變式4：(2018·江蘇卷·19)記f′(x),g′(x)分別為函數f(x),g(x)的導函數.若存在x0∈R，滿足f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0)，則稱x0為函數f(x)與g(x)的一個“S點”.

(Ⅰ)證明：函數f(x)=x與g(x)=x2+2x-2不存在“S點”；

(Ⅱ)若函數f(x)=ax2-1與g(x)=lnx存在“S點”，求實數a的值；

【解析】(Ⅰ)函數f(x)=x，g(x)=x2+2x-2，則f′(x)=1，g′(x)=2x+2.

因此，f(x)與g(x)不存在“S點”.

設x0為f(x)與g(x)的“S點”，由f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0)，得

(Ⅲ)對任意a>0，設h(x)=x3-3x2-ax+a.

因為h(0)=a>0，h(1)=1-3-a+a=-2<0，且h(x)的圖象是不間斷的，

由f(x)=g(x)且f′(x)=g′(x)，得

此時，x0滿足方程組(**)，即x0是函數f(x)與g(x)在區間(0,1)內的一個“S點”.

因此，對任意a>0，存在b>0，使函數f(x)與g(x)在區間(0,+∞)上存在“S點”.

解決與過兩函數圖象交點的切線相關的問題，一定要注意交點同時在兩條曲線上，交點坐標同時滿足兩個函數的解析式，再對交點分別采用前三個境界涉及的方法，解決此類問題.

第五重境界：與一條直線同時與兩函數圖象相切相關

( )

【答案】D

(Ⅰ)討論f(x)的單調性，并證明f(x)有且僅有兩個零點；

(Ⅱ)設x0是f(x)的一個零點，證明曲線y=lnx在點A(x0，lnx0)處的切線也是曲線y=ex的切線.

綜上，f(x)有且僅有兩個零點.

所以曲線y=lnx在點A(x0,lnx0)處的切線也是曲線y=ex的切線.

解決一條直線同時與兩函數圖象相切相關的問題，一定要注意兩個切點分別在兩個函數圖象上，同時這兩個切點又同在這一條直線上，從而得到切點的導數同時等于切線的斜率，并且切點分別在兩條曲線上，采用前四個境界涉及的方法，解決此類問題.