巧借導數法 妙解三角題

江蘇 韓文美

導數法一直是研究與解決函數相關問題的一種“神技妙法”，在破解函數相關問題中都有導數法的影子.在很多三角函數問題中，看似與導數毫無關聯，沒有交集，但結合條件特征，巧妙利用導數法，借助導數的應用，巧妙轉化，經常可以優化過程，快捷處理，提高效益.

1.三角函數的奇偶性問題

利用導數法，結合可導偶函數(或奇函數)的導函數為奇函數(或偶函數)這一特征，可以有效確定三角函數的奇偶性.利用這一性質可以判斷三角函數的奇偶性等相關應用問題.

點評：原來三角函數的奇偶性問題中沒有涉及導數應用問題，看似與導數法沒有聯系，但通過對三角函數進行相應的求導處理，結合三角函數的性質可以有效改變原三角函數的奇偶性，進而可以更加直接有效地利用相關三角函數的奇偶性來分析與處理問題，直接有效.

2.三角函數的單調性問題

利用導數法，結合可導函數在給定區間上的函數值的非負(或非正)這一特征，可以有效確定三角函數在給定區間上的單調性問題.利用這一性質可以解決三角函數的單調性等相關應用問題.

例2.(2018·全國卷Ⅱ理·10)若f(x)=cosx-sinx在[-a，a]是減函數，則a的最大值是

( )

分析：破解此類問題經常借助三角恒等變換把原三角函數轉化為余弦型函數，利用三角函數的圖象與性質建立相應的不等式組，從而確定a的最大值.通過對三角函數求導，結合三角函數中輔助角公式的應用，利用題目條件確定三角不等式恒成立的條件，再利用正弦型函數的圖象與性質來分析與處理，直觀形象，快捷有效.

點評：原來三角函數的單調性問題中根本就沒有涉及導數應用問題，看似與導數法沒有聯系.但通過對三角函數的求導處理，結合導函數進行相應的三角恒等變換，利用三角函數的單調性來建立相應的不等式(組)，從而破解與三角函數的單調性相關的問題諸如參數的取值范圍、最值等.利用導數法可以有效破解有關三角函數在某個區間上的單調性問題，為三角函數問題的破解提供新的方法.

3.三角函數的最值問題

利用導數法，結合可導函數在極值或最值點處的導函數值為零這一特征，可以有效確定三角函數的最值.利用這一性質可以解決三角函數的最值等相關應用問題.

例3.(2020·北京卷·14)若函數f(x)=sin(x+φ)+cosx的最大值為2，則常數φ的一個取值為________.

分析：破解此類問題經常借助三角函數的有界性、三角恒等變換等方法來處理，結合三角函數的性質、公式等來轉化與應用.而根據題目中給出的三角函數的最大值條件，利用導數的性質確定函數取得最大值時所滿足的導數式，并結合最大值的關系式，通過兩個三角關系式的平方和處理，借助三角恒等變換公式來確定涉及參數的三角關系式，進而得到常數所滿足的關系式，圓滿解決問題.

解析：對于函數f(x)=sin(x+φ)+cosx，求導可得f′(x)=cos(x+φ)-sinx，

設當x=α時，函數f(x)取到最大值2，則有f′(α)=0，且f(α)=2，

可得cos(α+φ)-sinα=0，且sin(α+φ)+cosα=2，

由以上兩式的平方和可得2+2[sin(α+φ)cosα-cos(α+φ)sinα]=4，

點評：原來三角函數的最值問題中沒有涉及導數應用問題，看似與導數法沒有聯系.但通過對三角函數進行相應的求導處理，結合三角函數的性質可以有效確定三角函數的最值點也是對應導函數的零點，進而可以建立相應的三角函數關系式來轉化，完整處理，巧妙求解.通過導數法來處理，也是破解最值問題中常用的一種基本思維方法.

4.三角函數的對稱性問題

利用導數法，結合可導函數在極值點處的導函數值為零這一特征，而正弦型函數(或余弦型函數)在對稱點處為極值點，可以有效確定三角函數的對稱性.利用這一性質可以解決三角函數的對稱性等相關應用問題.

例4.若三角函數f(x)=sin(πx+φ)-2cos(πx+φ)(0<φ<π)的圖象關于直線x=1對稱，則cos2φ的值為________.

分析：破解此類問題經常借助三角恒等變換把原三角函數轉化為正弦型函數，結合圖象的對稱性質確定參數φ的表達式，再利用三角恒等變換公式來轉化與求解.通過對三角函數求導，結合導函數的極值點就是三角函數的對稱點加以轉化，有效確定參數φ的正切值，進而利用三角恒等變換公式來處理即可.

解析：對于函數f(x)=sin(πx+φ)-2cos(πx+φ)，求導可得f′(x)=πcos(πx+φ)+2πsin(πx+φ)，

點評：原來三角函數的對稱性問題中沒有涉及相應的導數應用問題，看似與導數法沒有聯系.但通過對三角函數進行求導處理，結合三角函數的對稱性條件，有效建立起三角函數的對稱性與原函數的極值點之間的密切關系，加以合理轉化，快速變形，可以有效快捷地處理相關三角函數的對稱性問題.

5.三角函數的綜合性質問題

綜合利用導函數與原函數的奇偶性、單調性、最值或對稱性等基本性質之間的關系，可以用來解決涉及三角函數的一些綜合性問題.

例5.已知函數f(x)=xsinx，若A，B是銳角三角形的兩個內角，則有

( )

A.f(-sinA)>f(-sinB)

B.f(cosA)>f(cosB)

C.f(cosA)>f(sinB)

D.f(-sinA)>f(-cosB)

分析：破解此類問題經常借助函數性質以及解三角形的相關知識來分析與處理.通過求導，結合題目條件中自變量的限定取值范圍來確定函數在對應區間上的單調性，并結合三角形的性質確定三角函數值之間的關系，進而綜合函數的單調性與奇偶性來分析與判斷，從而正確判斷三角函數值之間的大小關系.

解析：對于函數f(x)=xsinx，

結合函數的單調性有f(sinA)>f(cosB)，

又函數f(x)=xsinx滿足f(x)=f(-x)，即函數f(x)為偶函數，

則有f(-sinA)>f(-cosB)，故選D.

點評：原來三角函數的綜合性質問題中沒有涉及導數應用問題，看似與導數法沒有聯系.但合理借助導數法，可以有效解決與三角函數有關的綜合問題，有效確定相關函數的單調性、奇偶性、對稱性或最值等基本性質，合理轉化，巧妙破解.特別地，利用導數法可以有效破解有關三角函數、解三角形以及三角函數值的大小關系等交匯的綜合問題.