例說導數中未定式極限的處理策略

四川 高繼浩

【例1】(2019·全國卷Ⅰ文·20)已知函數f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)為f(x)的導數.

(Ⅰ)證明：f′(x)在區間(0,π)存在唯一零點；

(Ⅱ)若x∈[0,π]時,f(x)≥ax,求a的取值范圍.

解析：(Ⅰ)證明略.

(Ⅱ)當x=0時,不等式恒成立.

又因為g(π)=0,所以a≤0.綜上,a≤0.

高中數學人教A版必修1教材第101頁闡述了指數函數、對數函數和冪函數的增長速度快慢,其實對于給定的函數是可以進行嚴格證明的,例如：

證明：令f(x)=2x-x2,則f′(x)=2xln2-2x,令g(x)=f′(x),則g′(x)=2x(ln2)2-2.當x∈(4,+∞)時,g′(x)>24(ln2)2-2=4(ln4)2-2>0,故g(x)在(4,+∞)上單調遞增,從而g(x)=f′(x)>f′(4)=8(ln4-1)>0,

【例2】(2018·全國卷Ⅱ理·21)已知函數f(x)=ex-ax2.

(Ⅰ)若a=1,證明：當x≥0時,f(x)≥1；

(Ⅱ)若f(x)在(0,+∞)只有一個零點,求a.

解析：(Ⅰ)證明略.

點評：教材對幾類函數增長速度快慢的呈現是通過圖象直觀感受的,在解答題中的運用應上升到理性認識.命題(※)表明y=ex的增長速度遠快于y=x2,即當x→+∞時,ex遠大于x2,故本題中當x→+∞時,g(x)→+∞.其他函數可以類似地證明.

3.換元轉化法求解0·∞型

【例3】若函數f(x)=xlnx-a有兩個零點,求a的取值范圍.

4.比較大小法求解∞-∞型

【例4】若方程xlnx-2xex+x2ex=ax-1有兩個不相等的實數根,求a的取值范圍.