編制高中數(shù)學(xué)多項(xiàng)選擇題的思考

江蘇 嚴(yán) 鵬 尤 裕

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》在課程性質(zhì)與基本理念一節(jié)的闡述中，提到：把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，啟發(fā)思考，改進(jìn)教學(xué).在課程目標(biāo)中說學(xué)生要必須獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)及發(fā)展的“四基”，提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力(“四能”).

江蘇省作為新高考實(shí)施的省份，數(shù)學(xué)試卷的命制有了新的調(diào)整，加入了多項(xiàng)選擇題這個(gè)試題類型.多項(xiàng)選擇題，又稱多選題，新高考中數(shù)學(xué)的多選題是一種正確選項(xiàng)數(shù)目多于1個(gè)少于4個(gè)的選擇題題型，多選題典型的分值為5分.考生選出一個(gè)或幾個(gè)正確答案，但沒有選出全部的，得3分；選錯(cuò)一個(gè)得0分；全部選對(duì)得5分.

多選題是選擇題的一種，所以解題時(shí)要認(rèn)真審題，忌諱題目沒有讀清楚，就開始埋頭苦算，結(jié)果不但浪費(fèi)了大量的時(shí)間，還會(huì)選擇選項(xiàng)中的干擾項(xiàng)導(dǎo)致做錯(cuò)，結(jié)果事倍功半.故解題前一定要把題目讀透，通過題目的條件迅速聯(lián)想到涉及的概念、公式、定理以及常見的思想方法.發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件，理解題目的真正含義.

另外，做選擇題特別要注意解題方法.選擇題和填空題、解答題不一樣，正確選項(xiàng)一定在給出的選項(xiàng)中，所以做題時(shí)除了按照解答題的思路直接來求解以外，也可以使用一些其他的方法，比如特殊值檢驗(yàn)、選項(xiàng)代入法、排除法、數(shù)形結(jié)合法等等.

多項(xiàng)選擇題有效地考查了學(xué)生的“四能”.筆者認(rèn)為，教師可以從以下幾個(gè)方面去考慮多選題的編制過程，進(jìn)一步改進(jìn)教學(xué)，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生“四能”的提高.

1.將單選題中選擇正確的選項(xiàng)，變成選錯(cuò)誤的選項(xiàng)

這樣的編制題目是比較容易操作的，但是對(duì)學(xué)生的能力訓(xùn)練不能達(dá)到預(yù)期目標(biāo).這類多選題本質(zhì)上來說還是單選題.學(xué)生不能感受到該種題目作為多選、單選、填空題之間的差異.

例1.原題：(2019·全國卷Ⅰ理·9)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知S4=0，a5=5，則

( )

A.an=2n-5 B.an=3n-10

學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，答案應(yīng)該選擇A.本題容易改編為下題：

改編：記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知S4=0，a5=5，則下列選項(xiàng)中不成立的是

( )

A.an=2n-5 B.an=3n-10

這類問題的解題策略，可以用直接求解法求解.

2.將求范圍的題目，改成求具體值的多項(xiàng)選擇題

例2.原題：(2017·全國卷Ⅰ理·5)函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若f(1)=-1，則滿足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范圍是

( )

A.[-2,2] B.[-1,1]

C.[0,4] D.[1,3]

本題中學(xué)生常用的解題方法是直接法，利用函數(shù)的單調(diào)性得到不等式-1≤x-2≤1，然后解出相應(yīng)的x的取值范圍.直接法比較有效，不過本題用驗(yàn)證法會(huì)更快，由題干f(1)=-1知，f(x-2)中令x=3，得到f(3-2)=f(1)=-1∈[-1,1]成立，驗(yàn)證出x=3應(yīng)該在要求的取值范圍內(nèi)，故排除A，B.再令x=4，f(4-2)=f(2)

改編：函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若f(1)=-1，則滿足-1≤f(x-2)≤1的x的取值可能是

( )

A.0 B.1

C.2 D.3

原題是給出函數(shù)性質(zhì)，通過不等式的計(jì)算得到變量的范圍.改編后變成滿足的變量值有哪些.這類問題的解題策略，可以使用直觀分析法中的估值法來求解.

3.解題策略問題條件的選擇

本類題目的設(shè)置一般是立足于開放性條件的變化，一個(gè)問題給出不同的條件會(huì)有多種解法.例如解三角形中的問題.

題目出處：2012年6月第4版蘇教版必修五：P14例題1(2)；P15例題4；P18例題1；P20練習(xí)4.賦予背景后，將這四個(gè)選項(xiàng)整合得到改編題目如下：

例3.改編：(2020·崇實(shí)女中高一期中考試·10)學(xué)校的校園是非常美麗的.校園內(nèi)，百年古樹相交映，草色遙看近卻無.走在學(xué)校的林蔭大道上，享受“沾衣欲濕杏花雨，吹面不寒楊柳風(fēng)”的感覺.可是，細(xì)心的同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)，林蔭大道不是直線構(gòu)成的，是由兩個(gè)路寬一樣的道路拼接而成，有一個(gè)拐角.其中，第一段路面是和校門口所在直線垂直的.如圖1所示，抽象出數(shù)學(xué)模型如圖2所示，其中O，E為校門口左右兩點(diǎn)，A，C為道路銜接處兩點(diǎn).

圖1

圖2

怎樣計(jì)算這個(gè)拐角OAB的角度或它的某個(gè)三角函數(shù)值呢？測(cè)量小組甲、乙、丙、丁四位同學(xué)給出了不同的測(cè)量方法，請(qǐng)問哪些同學(xué)給出的策略是能完成目標(biāo)的？

( )

A.甲同學(xué)的策略是：在第二段林蔭大道路邊任取一定點(diǎn)B，沿校門口O點(diǎn)出發(fā)，勻速走完路程OA,AB,BO，分別記錄走完OA,AB,BO所用的時(shí)間為t1，t2，t3.經(jīng)過計(jì)算，就可以算出這個(gè)拐角OAB的余弦值.

B.乙同學(xué)的策略是：用尺量出林蔭大道的路寬和拐角處的兩個(gè)點(diǎn)AC的距離.經(jīng)過計(jì)算，就可以算出這個(gè)拐角OAB的余弦值.

C.丙同學(xué)的策略是：用尺量出校門寬度，在校門E處測(cè)量出觀察點(diǎn)O和點(diǎn)B的視角OEB.經(jīng)過計(jì)算，就可以算出這個(gè)拐角OAB的余弦值.

D.丁同學(xué)的策略是：在第二段林蔭大道路邊任取一定點(diǎn)B.自己眼睛到地面的距離為1.6 m，站在校門口O處，測(cè)量出看點(diǎn)A的俯視角和看點(diǎn)B的俯視角.在門口點(diǎn)E處，再測(cè)量出看點(diǎn)A的俯視角和看點(diǎn)B的俯視角.量出校門的寬度.經(jīng)過計(jì)算，就可以算出這個(gè)拐角OAB的余弦值.

選項(xiàng)A改編于P14例題1(2)，通過時(shí)間來求出三邊的長(zhǎng)度，利用余弦定理計(jì)算得到拐角OAB的余弦值.選項(xiàng)B改編于P15例題4，如果過點(diǎn)C作對(duì)面路的垂線，垂足可能在OA上，也可能在AB上，也可能正好落在A處，所以分三種情況討論.由于AC已知，故可以計(jì)算得到拐角OAB的余弦值.選項(xiàng)C改編于P18例題1，由于缺少一個(gè)角度或者長(zhǎng)度，所以無法算出拐角OAB的余弦值.選項(xiàng)D改編于P20練習(xí)4和P18例題1,將原題中的山高變成了眼睛到地面的距離，利用俯視角得到邊長(zhǎng)，可以算出這個(gè)拐角OAB的余弦值.

這類問題的解題策略，可以使用推理分析法中的邏輯分析法和特征分析法.

4.開放性問題的研究

一般傳統(tǒng)數(shù)學(xué)題目，它的答案唯一.而開放性數(shù)學(xué)由于題目中的條件不夠完備，需要自己設(shè)定分類討論從而解出不止一解的答案.這類題目往往可以根據(jù)一個(gè)恒等式來隱藏部分條件進(jìn)行編制.

A.10° B.190°

C.280° D.350°

這類問題的解題策略，可以使用間接法中的逆推驗(yàn)證法.

5.題目本身就是多解

實(shí)際上，很多數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生都源于問題.有的題目本身就是有多個(gè)解答結(jié)果，如求極值點(diǎn)問題.

例5.函數(shù)f(x)=3x5-5x3+1的極值點(diǎn)有

( )

A.-1 B.0

C.1 D.2

這類問題的解題策略，可以使用直接法中的直接求解法.

6.概念的掌握和理解

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的掌握，還需要通過運(yùn)用，才能加深理解，真正成為自己的經(jīng)驗(yàn).學(xué)生要識(shí)別應(yīng)該用什么概念，區(qū)別相似而又不相同的概念.因此，運(yùn)用數(shù)學(xué)概念解答問題,可以鞏固和加深對(duì)概念的理解，豐富對(duì)概念的本質(zhì)特征的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的選擇、判斷和聯(lián)系的能力.

例6.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是

( )

A.(ln2)′=0 B.(cosx)′=sinx

這類問題的解題策略，可以使用直觀分析法或者間接法中的排除法.

7.原題有多個(gè)結(jié)論

該類題型可以將結(jié)論修改成多項(xiàng)選擇題的選項(xiàng).

例7.原題：(2019·全國卷Ⅰ理·11)關(guān)于函數(shù)f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四個(gè)結(jié)論：

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是

( )

A.①②④ B.②④

C.①④ D.①③

改編：關(guān)于函數(shù)f(x)=sin|x|+|sinx|，下列結(jié)論正確的是

( )

A.f(x)是偶函數(shù)

C.f(x)在[-π,π]有4個(gè)零點(diǎn)

D.f(x)的最大值為2

這類問題的解題策略，可以使用直接法中的圖象法或者推理分析法中的邏輯分析法.

在編制的過程中，選項(xiàng)的設(shè)置要精心編寫.如下題：

例8.原題：(2020·新高考Ⅰ卷(供山東省使用)·10)如圖是函數(shù)y=sin(ωx+φ)的部分圖像，則sin(ωx+φ)=

( )