數(shù)形結(jié)合思想下一類(lèi)含參導(dǎo)數(shù)題命制策略探究

湖北 周 威

含單參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題一直備受命題者青睞,若利用數(shù)形結(jié)合思想,基于函數(shù)圖象相切界點(diǎn),借助信息技術(shù)來(lái)歸類(lèi)分析導(dǎo)數(shù)綜合題的命題立意,便能在這類(lèi)試題的命制上找到一定的命題規(guī)律,便于把握該類(lèi)題型的命題方向,并能以此為導(dǎo)向進(jìn)行試題的命制或改編,從而在復(fù)習(xí)備考中真正抓住高考“四翼”的考查要求,真正體現(xiàn)“高考是引導(dǎo)教學(xué)的一面旗”的教學(xué)導(dǎo)向.

數(shù)形結(jié)合思想一直是高中數(shù)學(xué)比較重要的數(shù)學(xué)思想,不僅體現(xiàn)在解析幾何中,還體現(xiàn)在函數(shù)當(dāng)中.利用函數(shù)圖象解決問(wèn)題,便是數(shù)形結(jié)合思想的一種體現(xiàn),避免了從函數(shù)的單調(diào)性、求導(dǎo)方面去解決問(wèn)題.同樣,若能從數(shù)形結(jié)合的角度去研究和歸類(lèi)導(dǎo)數(shù)的一些問(wèn)題,也能很快透析命題立意,提升教師導(dǎo)數(shù)命題技術(shù).本文從一道模考題出發(fā),結(jié)合2020年全國(guó)卷Ⅰ以及新高考Ⅰ卷(供山東省使用)的導(dǎo)數(shù)題命制特點(diǎn),探討一類(lèi)導(dǎo)數(shù)題型的命制策略.

一、一道模考題的解法、命題立意與歸類(lèi)

【例1】(2020·湖北七市州5月聯(lián)考理·20)已知函數(shù)f(x)=ex+ln(x+1)+asinx.

(1)當(dāng)a=0時(shí),求f(x)在(0,f(0))處的切線(xiàn)方程;

(2)若f(x)≥1對(duì)任意x∈[0,π]恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

此題基于基本初等函數(shù)y=ex與y=lnx,設(shè)問(wèn)形式上第(1)問(wèn)求f(x)在某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程,第(2)問(wèn)是與函數(shù)中含單參數(shù)a有關(guān)的恒成立問(wèn)題,與2020年全國(guó)卷Ⅰ以及新高考Ⅰ卷(供山東省使用)導(dǎo)數(shù)題的設(shè)問(wèn)一致.含單參數(shù)函數(shù)的恒成立問(wèn)題多與“構(gòu)造函數(shù)與分類(lèi)討論思想”以及“分離參數(shù)”、“函數(shù)局部單調(diào)性”等解題策略有關(guān).因此,例1(2)的解法自然也可以從這三個(gè)角度去分析.

1.構(gòu)造函數(shù)與分類(lèi)討論思想

例1(2)解法1：∵當(dāng)x∈[0,π]時(shí),f(x)=ex+ln(x+1)+asinx≥1恒成立.當(dāng)a≥0時(shí),∵x∈[0,π],∴sinx≥0,∴f(x)=ex+ln(x+1)+asinx≥ex+ln(x+1)≥1.∴f(x)≥1.

①當(dāng)a≥-2時(shí),f′(0)=2+a≥0,

則f′(x)≥f′(0)=2+a≥0,∴f(x)在[0,π]上單調(diào)遞增;又f(0)=1,∴f(x)≥f(0)=1恒成立.

②當(dāng)a<-2時(shí),∵g(0)=2+a<0,g(π)>0,∴g(0)·g(π)<0,∴f′(0)·f′(π)<0,

∵f′(x)在[0,π]上單調(diào)遞增,∴存在唯一的零點(diǎn)x0∈(0,π),使得f′(x)=0,

∴當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),f′(x)<0.∴f(x)在x∈(0,x0)上單調(diào)遞減,f(x0)

∴當(dāng)a<-2時(shí),f(x)≥1不恒成立.

綜上當(dāng)x∈[0,π]時(shí),f(x)≥1恒成立,則a≥-2.

2.分離參數(shù)

3.函數(shù)局部單調(diào)性

所謂利用函數(shù)局部單調(diào)性,就是當(dāng)函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x0)=m時(shí),且有某區(qū)間內(nèi)f(x)≥m(或f(x)≤m)恒成立,則可結(jié)合f′(x0)的正負(fù)來(lái)確定參數(shù)的范圍,然后再驗(yàn)證在此范圍下是否能得出題設(shè)中的已知結(jié)論.

4.參數(shù)a與正弦函數(shù)的積、固定函數(shù)組合的恒成立問(wèn)題

在例1試題立意時(shí),這個(gè)參數(shù)a的最小值(臨界點(diǎn))是如何確定的呢？顯然,參數(shù)a的最小值(臨界點(diǎn))在命題立意時(shí)就已經(jīng)通過(guò)固定函數(shù)的圖象確定了,畢竟沒(méi)有無(wú)緣無(wú)故的a≥-2.為了透析-2的意義,通過(guò)變形可得到asinx≥1-ex-ln(x+1),即為參數(shù)a與正弦函數(shù)的積和一個(gè)固定函數(shù)比較的恒成立問(wèn)題,若取固定函數(shù)n(x)=1-ex-ln(x+1),令m(x)=asinx,接下來(lái)就需要基于數(shù)形結(jié)合相切的臨界點(diǎn),根據(jù)參數(shù)a的變化,使得兩函數(shù)的圖象相切.這其實(shí)是數(shù)學(xué)命題時(shí)經(jīng)常采用的一種策略,從參數(shù)a的變化可得圖1中的圖象變化.

a<0

相切

a>0圖1

由圖可知,因?yàn)閍變化只改變m(x),m′(x)最高點(diǎn)的位置,因此在(0,π)內(nèi)當(dāng)m(x)與n(x)相切時(shí)就是asinx≥1-ex-ln(x+1)的臨界點(diǎn),即?x0∈(0,π),使得m(x0)=n(x0),m′(x0)=n′(x0),根據(jù)圖象可得此時(shí)a=-2.當(dāng)a≥-2時(shí),m(x)的圖象會(huì)永遠(yuǎn)在n(x)圖象的上方.這就是此題的命題立意.

二、類(lèi)似的高考題命題立意與模型歸類(lèi)

1.參數(shù)a與二次函數(shù)的積、固定函數(shù)組合的恒成立問(wèn)題

【例2】(2020·全國(guó)卷Ⅰ理·21)已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-x.

(1)當(dāng)a=1時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;

a<0

相切

a>0圖2

2.參數(shù)a與一次函數(shù)的積、固定函數(shù)組合的交點(diǎn)問(wèn)題

鑒于以上命題分析,那么2020年全國(guó)卷Ⅰ文科導(dǎo)數(shù)20題命題特點(diǎn)也可看成通過(guò)參數(shù)a與一次函數(shù)y=x+2相乘,使得其與一個(gè)固定函數(shù)y=ex恒有兩個(gè)交點(diǎn).

【例3】(2020·全國(guó)卷Ⅰ文·20)已知函數(shù)f(x)=ex-a(x+2).

(1)當(dāng)a=1時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

第(2)問(wèn)通過(guò)“零點(diǎn)”的形式需轉(zhuǎn)化到“函數(shù)與方程的根”的考點(diǎn).令固定函數(shù)n(x)=ex,設(shè)m(x)=a(x+2),從參數(shù)a的變化可得圖3中的圖象變化.

a<0

相切

a>0圖3

3.參數(shù)a與指數(shù)函數(shù)的積、固定函數(shù)組合的恒成立問(wèn)題

【例4】(2020·新高考Ⅰ卷(供山東省使用)·21)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)當(dāng)a=e時(shí),求曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;

(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.

與前面幾種情況不同的是,第(2)問(wèn)f(x)≥1在變形為aex-1+lna≥lnx+1時(shí),多了一部分lna(a>0),但注意到主元是x,并不影響函數(shù)的單調(diào)性.所以依然令m(x)=aex-1+lna,n(x)=lnx+1,從參數(shù)a的變化可得圖4中的圖象變化.

0

相切

a>1圖4

三、基于模型歸類(lèi)的改編與命題

a<0

a>0且相切圖5

(2)若f(x)≥g(x)恒成立,求a的取值范圍.

數(shù)學(xué)命題沒(méi)有現(xiàn)成的套路,屬于創(chuàng)造性的智力活動(dòng).在命題過(guò)程中也可以使得參數(shù)a與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的積,再與固定函數(shù)組合的形式.

【例6】已知函數(shù)f(x)=axex-(x+1)2(其中a∈R,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)若a=1,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若x≥1時(shí)f(x)≥-2恒成立,求a的取值范圍.

四、教學(xué)啟示與結(jié)語(yǔ)