數形結合思想下一類含參導數題命制策略探究

湖北 周 威

含單參數的導數問題一直備受命題者青睞,若利用數形結合思想,基于函數圖象相切界點,借助信息技術來歸類分析導數綜合題的命題立意,便能在這類試題的命制上找到一定的命題規律,便于把握該類題型的命題方向,并能以此為導向進行試題的命制或改編,從而在復習備考中真正抓住高考“四翼”的考查要求,真正體現“高考是引導教學的一面旗”的教學導向.

數形結合思想一直是高中數學比較重要的數學思想,不僅體現在解析幾何中,還體現在函數當中.利用函數圖象解決問題,便是數形結合思想的一種體現,避免了從函數的單調性、求導方面去解決問題.同樣,若能從數形結合的角度去研究和歸類導數的一些問題,也能很快透析命題立意,提升教師導數命題技術.本文從一道模考題出發,結合2020年全國卷Ⅰ以及新高考Ⅰ卷(供山東省使用)的導數題命制特點,探討一類導數題型的命制策略.

一、一道模考題的解法、命題立意與歸類

【例1】(2020·湖北七市州5月聯考理·20)已知函數f(x)=ex+ln(x+1)+asinx.

(1)當a=0時,求f(x)在(0,f(0))處的切線方程;

(2)若f(x)≥1對任意x∈[0,π]恒成立,求實數a的取值范圍.

此題基于基本初等函數y=ex與y=lnx,設問形式上第(1)問求f(x)在某點處的切線方程,第(2)問是與函數中含單參數a有關的恒成立問題,與2020年全國卷Ⅰ以及新高考Ⅰ卷(供山東省使用)導數題的設問一致.含單參數函數的恒成立問題多與“構造函數與分類討論思想”以及“分離參數”、“函數局部單調性”等解題策略有關.因此,例1(2)的解法自然也可以從這三個角度去分析.

1.構造函數與分類討論思想

例1(2)解法1：∵當x∈[0,π]時,f(x)=ex+ln(x+1)+asinx≥1恒成立.當a≥0時,∵x∈[0,π],∴sinx≥0,∴f(x)=ex+ln(x+1)+asinx≥ex+ln(x+1)≥1.∴f(x)≥1.

①當a≥-2時,f′(0)=2+a≥0,

則f′(x)≥f′(0)=2+a≥0,∴f(x)在[0,π]上單調遞增;又f(0)=1,∴f(x)≥f(0)=1恒成立.

②當a<-2時,∵g(0)=2+a<0,g(π)>0,∴g(0)·g(π)<0,∴f′(0)·f′(π)<0,

∵f′(x)在[0,π]上單調遞增,∴存在唯一的零點x0∈(0,π),使得f′(x)=0,

∴當x∈(0,x0)時,f′(x)<0.∴f(x)在x∈(0,x0)上單調遞減,f(x0)

∴當a<-2時,f(x)≥1不恒成立.

綜上當x∈[0,π]時,f(x)≥1恒成立,則a≥-2.

2.分離參數

3.函數局部單調性

所謂利用函數局部單調性,就是當函數f(x)滿足f(x0)=m時,且有某區間內f(x)≥m(或f(x)≤m)恒成立,則可結合f′(x0)的正負來確定參數的范圍,然后再驗證在此范圍下是否能得出題設中的已知結論.

4.參數a與正弦函數的積、固定函數組合的恒成立問題

在例1試題立意時,這個參數a的最小值(臨界點)是如何確定的呢？顯然,參數a的最小值(臨界點)在命題立意時就已經通過固定函數的圖象確定了,畢竟沒有無緣無故的a≥-2.為了透析-2的意義,通過變形可得到asinx≥1-ex-ln(x+1),即為參數a與正弦函數的積和一個固定函數比較的恒成立問題,若取固定函數n(x)=1-ex-ln(x+1),令m(x)=asinx,接下來就需要基于數形結合相切的臨界點,根據參數a的變化,使得兩函數的圖象相切.這其實是數學命題時經常采用的一種策略,從參數a的變化可得圖1中的圖象變化.

a<0

相切

a>0圖1

由圖可知,因為a變化只改變m(x),m′(x)最高點的位置,因此在(0,π)內當m(x)與n(x)相切時就是asinx≥1-ex-ln(x+1)的臨界點,即?x0∈(0,π),使得m(x0)=n(x0),m′(x0)=n′(x0),根據圖象可得此時a=-2.當a≥-2時,m(x)的圖象會永遠在n(x)圖象的上方.這就是此題的命題立意.

二、類似的高考題命題立意與模型歸類

1.參數a與二次函數的積、固定函數組合的恒成立問題

【例2】(2020·全國卷Ⅰ理·21)已知函數f(x)=ex+ax2-x.

(1)當a=1時,討論f(x)的單調性;

a<0

相切

a>0圖2

2.參數a與一次函數的積、固定函數組合的交點問題

鑒于以上命題分析,那么2020年全國卷Ⅰ文科導數20題命題特點也可看成通過參數a與一次函數y=x+2相乘,使得其與一個固定函數y=ex恒有兩個交點.

【例3】(2020·全國卷Ⅰ文·20)已知函數f(x)=ex-a(x+2).

(1)當a=1時,討論f(x)的單調性;

(2)若f(x)有兩個零點,求a的取值范圍.

第(2)問通過“零點”的形式需轉化到“函數與方程的根”的考點.令固定函數n(x)=ex,設m(x)=a(x+2),從參數a的變化可得圖3中的圖象變化.

a<0

相切

a>0圖3

3.參數a與指數函數的積、固定函數組合的恒成立問題

【例4】(2020·新高考Ⅰ卷(供山東省使用)·21)已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)當a=e時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;

(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.

與前面幾種情況不同的是,第(2)問f(x)≥1在變形為aex-1+lna≥lnx+1時,多了一部分lna(a>0),但注意到主元是x,并不影響函數的單調性.所以依然令m(x)=aex-1+lna,n(x)=lnx+1,從參數a的變化可得圖4中的圖象變化.

0

相切

a>1圖4

三、基于模型歸類的改編與命題

a<0

a>0且相切圖5

(2)若f(x)≥g(x)恒成立,求a的取值范圍.

數學命題沒有現成的套路,屬于創造性的智力活動.在命題過程中也可以使得參數a與一次函數、指數函數的積,再與固定函數組合的形式.

【例6】已知函數f(x)=axex-(x+1)2(其中a∈R,e為自然對數的底數).

(1)若a=1,求函數f(x)的單調區間;

(2)若x≥1時f(x)≥-2恒成立,求a的取值范圍.

四、教學啟示與結語