關注核心素養 引領教學改進

曾曉紅

【摘要】本文就2020南京市中考第20題，學生中的典型失誤進行分析，及本題對初中數學教學的幾點啟示：1.夯實基礎，穩扎穩打;2.關注知識間的聯系，完善數學認知結構;3.滲透數學思想方法，關注學生長遠發展;4.理解數學知識本質，注重解題指導。

【關鍵詞】反比例函數? 不等式（組）解法? 轉化? 數形結合? 數軸? 解題指導

【中圖分類號】G633.6 ? 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2021）45-0112-03

1.試題呈現

已知反比例函數y=■的圖象經過點（-2，-1）

（1）求k的值

（2）完成下面的解答

解不等式組2-x>1①■>1②

解：解不等式①，得____。

根據函數y=■的圖像，得不等式②得解集____。

把不等式①和②的解集在數軸上表示出來

從中可以找出兩個不等式解集的公共部分，得不等式組的解集。? ? ? ? ? .

2.試題解法分析

本題難度中等偏易題，第（1）問是根據所給條件，已知反比例函數y=■圖像上點（-2，-1），利用待定系數法，求出k的值，進而求出反比例函數表達式。第（2）問是解不等式組，4個得分點，分別是：①正確解不等式。②利用反比例函數中y>1圖像對應部分，找出函數自變量的取值范圍進而得出不等式■>1的解集。③準確地用數軸表示不等式的解集。④利用數軸找出各個不等式解集的公共部分，得出不等式組的解集。本題將反比例函數模型和不等式組模型有機結合，滲透數形結合思想。利用數形結合，以形助數，實現試題完美解決。

3.典型失誤及分析

3.1有關第（1）問的典型錯誤

失誤1：表達式亂寫，題目的題設中已經明確給出反比例函數關系式，但仍有一小部分考生設y=kx，y=kx+b，y=ax2等。

分析：學生對一次函數、正比例函數、反比例函數及二次函數的概念不能厘清。

3.2有關第（2）問的典型錯誤

失誤1：一空不等號寫反，錯解為x>1或 x<-3

分析：x>1是學生對不等式的基本性質理解與應用存在問題。x<-3是移項未變號。

失誤2：二空取值范圍有偏差，錯解x<2或x<2且x≠0。

分析：不能用題目提示的方法，由“形”利用反比例函數圖像求不等式的解，而是直接由”數”兩邊同乘x。這樣要進行分類討論， 其中x≠0，倘若x是一個負數，根據不等式的基本性質，不等號的方向要改變，<1，與題意矛盾，舍去。有的學生都把x當成正數，轉化成一元一次不等式來解，得錯解x<2。有的學生考慮到x≠0，可沒有考慮到反比例函數的單調區間不連續，要分兩部分加以描述。

失誤3：數軸表示解集錯誤：空實心位置標注錯誤，開口方向錯誤。

分析：數軸上空心與實心含義理解不清，不等式概念理解不清，數軸上表示數的大小位置也不清晰。

4.教學啟示

4.1夯實基礎，穩扎穩打

《數學課程標準（2011版）》提出：通過義務教育階段的數學學習，學生能夠獲得適應社會生活和進一步發展所必須的數學基礎知識、基本技能、基本活動經驗和基本思想方法。課標（2017版）也提出數學學科六大核心素養，這與 “四基”是一脈相承，數學學習的課程目標是“四基四能”，這更是初中教學的重中之重。（1）問的失誤1、失誤2，（2）問的中失誤1、失誤2其問題的根源是在于基本運算、方程、函數、不等式中基礎知識，基本技能和基本思想方法沒有得到有效的落實。如果學生能夠擁有基本的運算能力，順應題目要求，正確理解函數圖像上點與函數表達式的關系，運用待定系數法這個基本方法求出反比例函數關系式。再利用描點法正確畫出反比例函數的大致圖像，運用數形結合基本思想方法確定不等式解集。這些種種失誤都在提醒我們教師“落實四基，培養四能，以四基四能為載體，在學習和應用數學的過程中，發展學生數學學科核心素養”。

4.2關注知識間的聯系，完善數學認知結構

我們的教材為了遵循學生的認知特點和學習規律，分散難點，同時給學生學習數學內容提供有利的基礎，但是這樣卻一定程度上割裂了學習內容的連貫性、系統性與整體性，致使學生對知識體系缺乏清晰的認識，對知識間的聯系理解膚淺，造成了“只見樹木，不見森林”的現象。我們的數學教學既要見樹木，又要見森林。第（2）問中失誤2中有不少學生即使在題目給出具體的解題思路方法的情況下，也不能將不等式問題轉化為反比函數問題來解決。本題中解不等式<1，若單從解不等式數的角度去思考，以學生初中階段的知識水平，還是有一定難度的。而運用反比例函數中y>1，在反比列函數圖像中找到對應部分，進而找出對應的自變量x的取值范圍，就能直觀形象地得出不等式的解集，將數轉化為形，化抽象為形象，以形助數，很容易地得正解。函數與不等式之間有著密切的聯系，高中階段還會對它們進行比較深入的研究。實際上對于方程，不等式的問題，我們可采用代數方法求解，也可以采用圖像法求解。多角度解決問題可以讓我們對函數概念、圖像和性質有更深入的理解。由此可見，數學知識之間并不是孤立的，而是存在著前后照應的聯系，平時教學過程中要有意識地關注知識之間的內在聯系。第（2）問失誤1，在進行不等式基本性質新授的教學時可先復習回顧等式性質，不等式概念、意義及解集，類比等式的基本性質，由已知探求未知，體悟歸納思想，使學生歸納地去探究、發現，歸納地定義，再歸納地論證，完善數學認知結構，提升數學學科的核心素養。

4.3滲透數學思想方法，關注學生長遠發展

數學是一門基礎學科，教學的重中之重是培養、發展學生的思維能力，感悟知識的生成過程，數學思想方法的靈活運用是學生思維品質的外在表現，初中也要關注學生能力的培養。

在平時的教學中，筆者發現，教師對數形結合思想理解得不透徹，致使學生也無法較好地感悟應用，思想方法滲透流于口頭“蜻蜓點水”式的表達。如果本題沒有給出解題的思路，考生的得分率可能會大大下降，這就是由于學生沒有形成自覺運用思想方法的意識而造成。就第（2）問的失誤2，有的學生沒有利用反比例函數的圖像去解決問題，也是沒有自覺運用數形結合思想方法的意識。方程、不等式問題可以轉化為函數問題，可以通過圖像法解決;以“形”助 “數”， “數”借助“形”可以使抽象的問題生動化和直觀化。反過來，可以借助 “數”的精確性來闡明圖形的某些屬性或特征;以“形”助“數”、以“數”解“形”，數形結合。這樣，我們可以依托元認知學習策略，在平時的教育教學過程中，系統地向學生介紹數形結合的價值和操作體系，加強數形結合題型的訓練，充分經歷數形結合解題過程，幫助學生構建良好的數學認知結構，促使學生思維層次不斷提升，促進學生終身發展。

4.4理解數學知識本質，注重解題指導

筆者在之前的習題教學過程中，很多時候是“就題論題”，常常只關注“怎么做”，這是不行的，教師要更多關注“為什么這樣做”，理解數學知識的本質。第（2）問中的失誤3，不少學生不能正確地在數軸上表示不等式的解集，這可能是由于我們的教材上只是告訴我們“怎么畫”，沒有說明“為什么這樣畫”，教師又不夠重視，學生不易理解，導致出錯。后期教學要詳細解釋為什么這樣畫，讓學生知其然，還知其所以然。第（2）問第二空，可根據波利亞解題理論進行習題教學，教學中加強解題指導。先認真審題，反復讀題，正確理解題目所給信息，理清已知條件、未知條件及隱藏條件，能由已知推出間接條件，再根據個人解題經驗，思考之前有沒有見過類似的題型，之前是怎么做的，思考能否將其轉化，找出解題思路;然后實現計劃，這里需要學生認真畫圖，提高數形結合的意識解決問題，再利用數軸找出不等式組的公共部分，進而得解。如果這個題就到此為止的話，解題教學的效果會大打折扣，一題講完后，教師要引導學生及時回顧反思，這樣的解題方法是否可以運用到別的類似的題目上，可以由學生獨立設計運用此方法的題目，同伴研討，對知識追本溯源，明確思考方向，怎么去想，強化學法，力求觸類旁通，把握每一類數學問題的本質，積累并掌握解決問題的關鍵所在。這樣能夠培養學生分析問題和解決問題的能力，從而得心應手地處理新的問題。

參考文獻：

[1]羅增儒.中學數學解題的理論與實踐[M].廣西教育出版社，2008.

[2]韓蘇文.價值引領構建——數形結合思想下的“二次函數”復習課[J].數學教學通訊，2013（2）：66-69.

[3]馮強泉.不等式的解集[J].中學數學教學參考（中旬），2019（4）：24-25.

[4]楊運標.不等式性質的探索與運用[J].中學數學教學參考（中旬），2019（4）：27-29.

[5]裴光亞.在書房與教室間 穿行的教研人生[M].西安： 陜西師范大學出版總社，2013.

[6]兌繼華，侯穎.2019中考數學河南第21題學生答題典型失誤分析[J].中學數學教學參考（中旬），2019（12）：51-54.