兩擋變速器換擋過程最優(yōu)控制的偽譜法求解*

劉曉坤，趙鑫鑫

（北京科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，北京 100083）

前言

當(dāng)前國內(nèi)關(guān)于新能源汽車的研究主要是純電動(dòng)汽車，采用固定擋位的汽車存在著電機(jī)效率低下、動(dòng)力不足的情況，且轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)矩傳遞效果不好，大大浪費(fèi)了在行駛過程中的電量。如果采用較大功率的電動(dòng)機(jī)，則會(huì)發(fā)熱較為嚴(yán)重，降低了電機(jī)的使用壽命。在純電動(dòng)汽車的開發(fā)與設(shè)計(jì)過程中，需要兼顧動(dòng)力性和經(jīng)濟(jì)性，選擇合適的驅(qū)動(dòng)電機(jī)和傳動(dòng)裝置，兩者能夠相互匹配，充分提高其運(yùn)行性能。考慮到汽車傳動(dòng)系統(tǒng)的布置空間有限，為了保障其最佳運(yùn)行性能，采用兩擋或者多擋變速裝置能有效利用電機(jī)的高效區(qū)域，有利于提高車輛行駛的動(dòng)力性與經(jīng)濟(jì)性［1］。

在變速器換擋最優(yōu)控制方案設(shè)計(jì)的過程中，需要基于現(xiàn)代控制理論、優(yōu)化概念，以變速器換擋過程作為優(yōu)化對(duì)象，減小動(dòng)力中斷時(shí)間，確保轉(zhuǎn)矩輸出的平穩(wěn)變化。考慮到離合器滑摩功、換擋沖擊度、主從動(dòng)盤的轉(zhuǎn)速差等多個(gè)問題，需采取有效控制措施，保障換擋過程中的動(dòng)態(tài)平衡。

文獻(xiàn)［2］中對(duì)并聯(lián)混合動(dòng)力車輛AMT 不分離離合器換擋過程進(jìn)行了研究，深入分析了換擋各個(gè)階段中影響換擋時(shí)間、零部件壽命以及換擋沖擊的因素。文獻(xiàn)［3］中在換擋協(xié)同控制中采用了電機(jī)主動(dòng)調(diào)速換擋的控制方法，降低并聯(lián)混合動(dòng)力汽車AMT換擋過程產(chǎn)生的沖擊。文獻(xiàn)［4］中對(duì)一種裝有組合式濕式離合器/制動(dòng)器的兩擋行星齒輪式變速器的換擋過程電機(jī)協(xié)調(diào)控制策略進(jìn)行了仿真研究。文獻(xiàn)［5］中以雙電機(jī)混合動(dòng)力系統(tǒng)為研究對(duì)象，通過協(xié)調(diào)控制動(dòng)力源的輸出轉(zhuǎn)矩以及執(zhí)行機(jī)構(gòu)的工作狀態(tài)，實(shí)現(xiàn)了無動(dòng)力中斷換擋。文獻(xiàn)［6］中對(duì)采用輪轂電機(jī)作為動(dòng)力裝置的兩輪獨(dú)立驅(qū)動(dòng)電動(dòng)汽車的驅(qū)動(dòng)控制進(jìn)行了研究。

偽譜法屬于最優(yōu)控制問題的數(shù)值解法，因其收斂性好，計(jì)算效率高，適合本文中兩擋變速器換擋過程最優(yōu)控制問題的求解。

偽譜法求解最優(yōu)控制問題的一般步驟［7］如下：

（1）選擇合適的正交多項(xiàng)式系，在其作用域的正交配點(diǎn)上，將連續(xù)函數(shù)離散為有限的離散點(diǎn)集；

（2）利用譜微分矩陣與正交求積公式，在離散點(diǎn)集上表達(dá)最優(yōu)控制問題，形成非線性規(guī)劃問題；

（3）采用常用的序列二次規(guī)劃（SQP）算法直接求解非線性規(guī)劃（NLP）問題；

（4）在非線性規(guī)劃問題解（離散點(diǎn)集）上，通過最佳逼近理論獲得原最優(yōu)控制問題的解。

偽譜法的正交配點(diǎn)由基底函數(shù)和正交求積方法決定，可以將偽譜法細(xì)分為Radau 偽譜法、Legendre偽譜法、Gauss 偽譜法和Chebyshev 偽譜法。Radau偽譜法因其在處理連續(xù)時(shí)間最優(yōu)控制問題上具有優(yōu)勢，以及具有結(jié)構(gòu)簡單、指數(shù)收斂速度快、精度較高等特點(diǎn)得到了快速發(fā)展。因此，本文中采用Radau偽譜法求解兩擋變速器換擋過程最優(yōu)控制軌跡。

1 兩擋變速器建模

1.1 兩擋變速器的結(jié)構(gòu)

本文中研究的兩擋變速器的基本結(jié)構(gòu)是并聯(lián)雙排行星齒輪機(jī)構(gòu)，其兩個(gè)單排行星齒輪機(jī)構(gòu)均為單級(jí)行星齒輪機(jī)構(gòu)。并聯(lián)關(guān)系中，一級(jí)太陽輪與二級(jí)太陽輪相連，一級(jí)行星架與二級(jí)齒圈相連，用S 代表太陽輪，R 代表齒圈，C 代表行星架，P 代表行星輪，整個(gè)變速器屬于典型的辛普森式CR-SS 型變速器。一二級(jí)太陽輪S1S2 與驅(qū)動(dòng)電機(jī)相連，一級(jí)齒圈R1由制動(dòng)器B2 制動(dòng)，二級(jí)齒圈R2 由制動(dòng)器B1 制動(dòng)，二級(jí)行星架C2 連接主減速器。整個(gè)系統(tǒng)由S1S2 輸入，由換擋機(jī)構(gòu)控制B1 和B2 的制動(dòng)與分離，由C2輸出動(dòng)力。該兩擋變速器結(jié)構(gòu)簡圖和三維渲染圖如圖1和圖2所示，各部件名稱如表1所示。

圖1 變速器結(jié)構(gòu)簡圖

圖2 兩擋變速器三維結(jié)構(gòu)圖

1.2 兩擋變速器的換擋工作原理

兩擋變速器的換擋機(jī)構(gòu)由換擋電機(jī)、蝸桿、帶有楔形塊的蝸輪、2 個(gè)螺旋曲面導(dǎo)引機(jī)構(gòu)和鋼片、摩擦片組成。換擋機(jī)構(gòu)的電機(jī)通過底座連接在兩擋變速器的外殼體上，經(jīng)聯(lián)軸器將動(dòng)力輸入到蝸桿上。蝸桿通過外殼體的軸承支撐，將動(dòng)力傳遞到蝸輪上。蝸輪的兩側(cè)是通過螺栓連接直接固定在殼體上的螺旋引導(dǎo)機(jī)構(gòu)，蝸輪的旋轉(zhuǎn)經(jīng)螺旋引導(dǎo)機(jī)構(gòu)的限位，分別壓緊兩側(cè)的摩擦片，實(shí)現(xiàn)行星輪系齒圈的制動(dòng)和放松。擋位信息如表2 所示（++表示接合，--表示分離）。

表1 兩擋變速器結(jié)構(gòu)部件

表2 兩擋變速器擋位信息

蝸輪蝸桿換擋機(jī)構(gòu)可提供一個(gè)很大的減速比，且擁有自鎖功能，在制動(dòng)器完成接合之后，換擋電機(jī)無需再提供轉(zhuǎn)矩來防止制動(dòng)器放松，消除了換擋電機(jī)由于長時(shí)間堵轉(zhuǎn)導(dǎo)致電機(jī)燒毀的可能。在換擋時(shí)，只需控制換擋電機(jī)的正反轉(zhuǎn)，使蝸輪產(chǎn)生軸向位移，分別壓緊兩側(cè)的離合器片，即可實(shí)現(xiàn)擋位的切換。

由兩擋變速器的結(jié)構(gòu)形式和換擋電機(jī)的工作原理可得到3 個(gè)階段換擋過程，分別為：現(xiàn)接合擋位的制動(dòng)器分離-空行程階段-將接合擋位的制動(dòng)器接合。由于車輛本身的慣性影響，驅(qū)動(dòng)電機(jī)和負(fù)載之間的轉(zhuǎn)矩不同，制動(dòng)器分離和接合過快會(huì)導(dǎo)致車輛出現(xiàn)頓挫感，影響換擋品質(zhì)。空行程階段關(guān)系著系統(tǒng)的動(dòng)力輸出，應(yīng)盡量減小，整個(gè)換擋過程3 個(gè)階段應(yīng)遵循慢-快-慢的規(guī)律，具體情況如圖3所示。

圖3 換擋過程轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)速變化（以升擋為例）

1.3 兩擋變速器動(dòng)力學(xué)模型建立

目前對(duì)行星式齒輪變速器的主流建模方法可分為兩類：基于運(yùn)動(dòng)學(xué)建模和基于動(dòng)力學(xué)建模。基于運(yùn)動(dòng)學(xué)的建模方法通常有杠桿法、能量法、相對(duì)速度法和圖解法；基于動(dòng)力學(xué)的建模方法通常有拉格朗日法、功率鍵合圖法、運(yùn)動(dòng)學(xué)分析和靜力分析法等。本文中選取的兩擋變速器結(jié)構(gòu)較為簡單，采用較為簡單的杠桿法來建立兩擋變速器的動(dòng)力學(xué)模型。

杠桿模擬法是Benrord和Leising在文獻(xiàn)［8］中提出的用杠桿模擬行星輪系的分析方法。對(duì)于單行星齒輪系統(tǒng)，可以運(yùn)用等效杠桿法將其等效為具有3個(gè)節(jié)點(diǎn)的杠桿［9］，由文獻(xiàn)［10］中可知，等效杠桿法中行星輪系和模擬杠桿的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表3所示。

表3 等效杠桿法的對(duì)應(yīng)關(guān)系

本文中研究的兩擋變速器為2 自由度系統(tǒng)，系統(tǒng)中任何1 個(gè)構(gòu)件的角速度ωj都可以由任意選定的2個(gè)基準(zhǔn)構(gòu)件A、B的角速度ωA、ωB進(jìn)行線性表示。

式中：α、β為速度表出系數(shù)，其大小由j點(diǎn)到A、B 兩點(diǎn)的距離決定，當(dāng)位于兩點(diǎn)之間時(shí)α、β均為正，當(dāng)位于A 點(diǎn)之外時(shí)β為負(fù)，位于B 點(diǎn)之外時(shí)α為負(fù)。α、β的具體圖示與表達(dá)式如圖4與式（2）所示。

圖4 速度表出系數(shù)示意圖

對(duì)等效杠桿來說，兩擋變速器各構(gòu)件的角速度與基準(zhǔn)構(gòu)件的角速度關(guān)系即為各節(jié)點(diǎn)的速度vj與基準(zhǔn)點(diǎn)的速度vA、vB的線性關(guān)系：

等效杠桿的靜力學(xué)平衡充要條件為

式中Fj為杠桿上各點(diǎn)受到的外力。

在換擋過程的動(dòng)力學(xué)分析中，行星輪也有轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，需要將這部分能量考慮其中，因此在變速器杠桿法的建模中，需要把行星輪放在杠桿之上。

在單級(jí)行星齒輪系統(tǒng)之中，行星輪與太陽輪直接相連，隨行星架繞太陽輪公轉(zhuǎn)和自身自轉(zhuǎn)，為了簡便計(jì)算，其等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

式中：Jp'為行星輪的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Jp為行星輪自轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；rp為行星輪公轉(zhuǎn)半徑；mp為行星輪的質(zhì)量。

在等效之后，行星輪只有自轉(zhuǎn)，其與太陽輪之間的速比就可以確定。

式中：ZS為太陽輪齒數(shù)；ZP為行星輪齒數(shù)。

兩擋變速器的結(jié)構(gòu)是兩級(jí)行星排，分別遵循各自的杠桿原理，但在整體研究時(shí)，需要將分杠桿圖進(jìn)行合并，合并時(shí)保證各節(jié)點(diǎn)之間的力臂比例與分杠桿圖中的比例相同即可［11］。在合并時(shí)，選擇將S1C1 的力臂長度進(jìn)行放大，放大系數(shù)K=(ZR2+ZS2)/ZR1，將行星輪與齒圈之間的力臂長度記為ZL=ZS(ZR/ZP- 1)，這樣就可以將兩個(gè)分杠桿圖進(jìn)行合并得到總杠桿圖，變換過程如圖5 和圖6 所示，總杠桿轉(zhuǎn)矩示意如圖7所示。

圖5 兩擋變速器分杠桿圖

圖6 兩擋變速器總杠桿圖

圖7 兩擋變速器總杠桿轉(zhuǎn)矩示意圖

選擇S1S2 和C2 作為基準(zhǔn)構(gòu)件，分別令ωS1S2和ωC2等于0 和1，根據(jù)杠桿中各支點(diǎn)之間的力臂長度，得到各構(gòu)件相對(duì)于基準(zhǔn)件的角速度表出關(guān)系（見圖8和表4）。

通過角速度表出關(guān)系，得到了變速器中各構(gòu)件與基準(zhǔn)構(gòu)件之間的角速度關(guān)系。在杠桿的靜力平衡方程式的基礎(chǔ)上，運(yùn)用達(dá)朗貝爾原理，即可以得到模擬杠桿的動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程：

式中：mj為j點(diǎn)等效后的質(zhì)量；aj為j點(diǎn)等效后的加速度。

圖8 兩擋變速器角速度表出關(guān)系圖

表4 角速度表出關(guān)系

根據(jù)行星輪系和模擬杠桿之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，由式（7）得到本文中所使用的兩擋變速器的動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程：

式中：J為由表出系數(shù)α、β和各構(gòu)件轉(zhuǎn)動(dòng)慣量組成的系數(shù)矩陣；A為由角速度表出系數(shù)組成的矩陣；T為兩擋變速器各構(gòu)件傳遞的轉(zhuǎn)矩。

由兩擋變速器結(jié)構(gòu)決定的轉(zhuǎn)矩對(duì)應(yīng)關(guān)系如表5所示。

表5 兩擋變速器轉(zhuǎn)矩對(duì)應(yīng)關(guān)系

由表5 的對(duì)應(yīng)關(guān)系可得到整個(gè)變速器的動(dòng)力學(xué)模型表達(dá)式：

2 兩擋變速器換擋過程最優(yōu)控制問題

根據(jù)文獻(xiàn)［12］，本文中將雙離合器聯(lián)合起步過程的優(yōu)化控制問題歸結(jié)為一個(gè)最優(yōu)控制問題并進(jìn)行求解。選取發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩變化率和離合器轉(zhuǎn)矩變化率作為控制變量，以滑摩功和沖擊度平方為性能指標(biāo)，在滿足狀態(tài)方程、終端約束和過程約束條件下求解最優(yōu)控制規(guī)律。

2.1 狀態(tài)方程

（1）狀態(tài)變量的選取

選擇驅(qū)動(dòng)電機(jī)輸出軸轉(zhuǎn)速ωm、變速器輸出軸轉(zhuǎn)速ωv、制動(dòng)器主動(dòng)片的轉(zhuǎn)速ωR2和ωR1、驅(qū)動(dòng)電機(jī)轉(zhuǎn)矩Tm、制動(dòng)器傳遞的轉(zhuǎn)矩TB2和TB1作為狀態(tài)變量。

（2）控制變量的選取

在由等效杠桿法建立的整車動(dòng)力學(xué)方程中，電機(jī)的輸入轉(zhuǎn)矩、制動(dòng)器傳遞轉(zhuǎn)矩和整車負(fù)載轉(zhuǎn)矩直接影響了換擋過程中兩擋變速器的響應(yīng)，因此在換擋過程中，著重關(guān)注驅(qū)動(dòng)電機(jī)和制動(dòng)器的轉(zhuǎn)矩變化情況，選擇驅(qū)動(dòng)電機(jī)的轉(zhuǎn)矩變化率T˙m、制動(dòng)器的轉(zhuǎn)矩變化率T˙B2和T˙B1作為控制變量。

（3）系統(tǒng)的狀態(tài)方程

系統(tǒng)的狀態(tài)方程由狀態(tài)變量和控制變量組成：

根據(jù)建立的兩擋變速器動(dòng)力學(xué)模型，可得到

因此整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

2.2 評(píng)價(jià)函數(shù)

換擋品質(zhì)客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)包括沖擊度、換擋時(shí)間和滑摩功［13］。沖擊度［14］用來表征汽車縱向速度的變化情況，在一定程度上體現(xiàn)了換擋過程的平順性。對(duì)于裝有自動(dòng)變速器的汽車，換擋過程的平順性顯得更為重要。使用沖擊度作為換擋品質(zhì)評(píng)價(jià)指標(biāo)，不僅可以避免道路條件和駕駛員等非換擋因素的影響，更能真實(shí)反映換擋時(shí)變速器輸出軸轉(zhuǎn)矩的擾動(dòng)情況，這與駕駛員和乘客的主觀感受一致。

式中：a為汽車行駛的縱向加速度；r為車輪半徑；i0為主減速比；ωv為變速器輸出轉(zhuǎn)速。

為了表征換擋過程中沖擊度，取沖擊度的平方作為優(yōu)化目標(biāo)。

滑摩功［15］是計(jì)算離合器主從動(dòng)片接合過程中摩擦做功的多少。在滑摩過程中，離合器的主從動(dòng)片由于其轉(zhuǎn)速不同產(chǎn)生摩擦，離合器的溫度隨之上升，若滑摩時(shí)間過長，會(huì)導(dǎo)致摩擦片過度磨損，甚至導(dǎo)致制動(dòng)失效。因此滑摩功的大小可以代表離合器的使用壽命，滑摩功越小，離合器主從動(dòng)片之間的磨耗就越小，離合器的使用壽命就會(huì)越長。

由兩擋變速器結(jié)構(gòu)決定的制動(dòng)器從動(dòng)摩擦片轉(zhuǎn)速為0，因此在換擋過程中，滑摩功來自于制動(dòng)器主動(dòng)片，即兩擋變速器兩級(jí)行星排的齒圈，表達(dá)式為

式中：tf為換擋完成時(shí)間；TB為離合器傳遞的轉(zhuǎn)矩；ωR為兩級(jí)行星排齒圈的轉(zhuǎn)速，即離合器主動(dòng)片的轉(zhuǎn)速。

通過分析可知，在換擋過程中若想獲得較好的平順性，要求離合器盡可能緩慢接合，減小沖擊度。而與此同時(shí)帶來的結(jié)果是離合器接合的時(shí)間變長，滑摩所產(chǎn)生的熱量增多，不利于保護(hù)離合器。由此可見，沖擊度和換擋時(shí)間/滑摩功是相互矛盾的目標(biāo)。因此需要設(shè)計(jì)合理的換擋控制策略來權(quán)衡這些控制目標(biāo)，從而達(dá)到提高換擋品質(zhì)的目的［16］，因此采用換擋品質(zhì)綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)，引入權(quán)重系數(shù)λ(0 ＜λ＜1)，通過調(diào)整權(quán)重系數(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)沖擊度和滑摩功進(jìn)行權(quán)衡。

2.3 約束集

在兩擋變速器換擋過程的最優(yōu)控制問題中，整個(gè)過程分為3 個(gè)階段：制動(dòng)器分離階段、空行程階段、制動(dòng)器結(jié)合階段，用p= 1，2，3 表示3 個(gè)階段，3個(gè)階段的起始和終止時(shí)間分別用t=t0，t1，t2，tf表示。

2.3.1 過程約束

（1）驅(qū)動(dòng)電機(jī)轉(zhuǎn)速約束

驅(qū)動(dòng)電機(jī)的轉(zhuǎn)速與很多因素有關(guān)，電機(jī)所能達(dá)到的最高轉(zhuǎn)速是有一定限度的，因此驅(qū)動(dòng)電機(jī)的轉(zhuǎn)速約束為

將此約束表示為C1(x1(t)，t) ≤0。

（2）驅(qū)動(dòng)電機(jī)的轉(zhuǎn)矩變化率和制動(dòng)器的轉(zhuǎn)矩變化率約束

將此約束表示為C2(u(t)，t) ≤0。

（3）制動(dòng)器轉(zhuǎn)矩約束

制動(dòng)器傳遞的最大轉(zhuǎn)矩是由換擋電機(jī)控制的換擋機(jī)構(gòu)壓緊離合片產(chǎn)生的，是一個(gè)確定的值，而其實(shí)際傳遞的轉(zhuǎn)矩是由變速器的工作狀態(tài)決定的，與滑動(dòng)摩擦力和最大靜摩擦力的關(guān)系相似。

以升擋過程為例，制動(dòng)器接合二級(jí)齒圈，一級(jí)齒圈不傳遞轉(zhuǎn)矩，處于空轉(zhuǎn)狀態(tài)，升擋完成后，一級(jí)齒圈接合，二級(jí)齒圈因與一級(jí)行星架相連，其傳遞的轉(zhuǎn)矩為一級(jí)行星架的轉(zhuǎn)矩，非因制動(dòng)器接合而產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩，故不作約束。升擋過程的約束為

降擋過程的轉(zhuǎn)矩傳遞與升擋過程相同，其制動(dòng)器轉(zhuǎn)矩約束也相同，只需將時(shí)間階段對(duì)調(diào)即可。

將不等式約束表示為C3(x6(t)，x7(t)，t) ≤0，等式約束表示為φ4(x7(t)，t) = 0。

2.3.2 終端約束

（1）變速器轉(zhuǎn)速約束

在換擋開始之前和結(jié)束之后，變速器均處在制動(dòng)器完全制動(dòng)的狀態(tài)，整個(gè)變速器遵循自己的動(dòng)力方程進(jìn)行傳動(dòng)，變速器的輸入輸出轉(zhuǎn)速存在固定關(guān)系。

將此約束表示為φ1(x1(t)，x2(t)，t) = 0。

（2）制動(dòng)器轉(zhuǎn)速約束

兩擋變速器的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，摩擦片主動(dòng)片的一側(cè)是兩級(jí)行星齒輪機(jī)構(gòu)的齒圈，從動(dòng)片均固定在兩擋變速器的殼體上，其轉(zhuǎn)速為0，制動(dòng)器的轉(zhuǎn)速約束實(shí)際上為兩級(jí)行星齒輪機(jī)構(gòu)齒圈的轉(zhuǎn)速約束。制動(dòng)器的轉(zhuǎn)速約束與制動(dòng)器的轉(zhuǎn)矩約束類似，同樣以升擋過程為例，二級(jí)齒圈釋放過程中，其轉(zhuǎn)速由0 開始逐漸增大，在經(jīng)歷過滑摩狀態(tài)后，制動(dòng)器完全釋放二級(jí)齒圈。在一級(jí)齒圈接合并完全制動(dòng)時(shí)，其轉(zhuǎn)速由空轉(zhuǎn)逐漸減小，經(jīng)過滑摩狀態(tài)后被完全制動(dòng)，因此升擋過程中制動(dòng)器主動(dòng)片的轉(zhuǎn)速約束為

降擋過程的轉(zhuǎn)速約束與升擋過程相同，也只需將時(shí)間階段對(duì)調(diào)即可。

將此約束表示為φ2(x3(t)，x4(t)，t) = 0

（3）變速器輸出軸轉(zhuǎn)速約束

換擋機(jī)構(gòu)采用反應(yīng)靈敏、效率高的無刷直流電機(jī)，換擋過程用時(shí)很短，假定車速?zèng)]有產(chǎn)生變化，即變速器的輸出軸轉(zhuǎn)速在換擋前后保持不變。

將此約束表示為φ3(x2(t)，t) = 0。

2.4 兩擋變速器換擋過程最優(yōu)控制問題描述

根據(jù)對(duì)兩擋變速器換擋過程的分析，其換擋過程可以由以下方程描述。

3 換擋過程最優(yōu)控制問題的偽譜法求解過程

Radau 偽譜法將狀態(tài)變量和控制變量分別離散后，利用Lagrange 插值多項(xiàng)式逼近狀態(tài)和控制變量，將狀態(tài)方程的微分運(yùn)算和性能函數(shù)中的積分運(yùn)算均轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，最終將最優(yōu)控制問題（OCP）轉(zhuǎn)化為以節(jié)點(diǎn)處的狀態(tài)變量、配點(diǎn)處的控制變量為待優(yōu)化參量的非線性規(guī)劃問題（NLP），選用成熟的NLP問題求解器進(jìn)行計(jì)算，得到兩擋變速器換擋過程的最優(yōu)控制律。偽譜法通常包含時(shí)域變換、配點(diǎn)與離散化和狀態(tài)方程與性能函數(shù)的轉(zhuǎn)化3個(gè)部分。

3.1 時(shí)域變換

偽譜法的配點(diǎn)分布在［-1，1］上，在使用偽譜法時(shí)需要分別將3 個(gè)階段的時(shí)域從變化到［-1，1］上，使其滿足Legendre 正交多項(xiàng)式的定義區(qū)間，其變換過程為

式中：p= 1，2，3代表換擋過程的3個(gè)階段；和代表p階段的起止時(shí)間。

3.2 配點(diǎn)與離散化

Radau 偽譜法的配點(diǎn)采用LGR（Legendre-Gauss-Radau）配點(diǎn)，即基底函數(shù)采用Legendre正交多項(xiàng)式，正交求積方法采用Gauss-Radau 求積方法。除各階段的首尾配點(diǎn)和是確定的外，其余N-1 個(gè)的配點(diǎn)是N階Legendre 正交多項(xiàng)式1 階導(dǎo)數(shù)的 根，等 價(jià) 于 多 項(xiàng) 式的 根，N階Legendre正交多項(xiàng)式為

在得到每個(gè)階段的N+1 個(gè)配點(diǎn)后，每個(gè)階段的狀態(tài)變量和控制變量就可以進(jìn)行離散化，用N+1 階Lagrange插值多項(xiàng)式近似逼近：

N+1階Lagrange插值基函數(shù)為

3.3 狀態(tài)方程與性能函數(shù)的轉(zhuǎn)化

利用離散化之后的狀態(tài)變量和控制變量，狀態(tài)方程可通過Lagrange多項(xiàng)式的1階導(dǎo)數(shù)表示。

(p)(τk)表示Lagrange 插值基函數(shù)的微分矩陣，其具體表達(dá)形式參照文獻(xiàn)［17］。

由此可以將狀態(tài)方程約束轉(zhuǎn)換成各階段在N+1個(gè)配點(diǎn)處的等式約束。

經(jīng)過前面步驟的離散化后，性能指標(biāo)中的Lagrange 項(xiàng)的積分計(jì)算可通過Gauss-Radau 積分方法轉(zhuǎn)化為對(duì)N+1 個(gè)節(jié)點(diǎn)處的Lagrange 項(xiàng)的求和運(yùn)算，其轉(zhuǎn)化形式為

ωi為積分權(quán)重，表達(dá)式為

3.4 最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題

通過以上對(duì)最優(yōu)控制問題的轉(zhuǎn)換，就可以將兩擋變速器換擋過程最優(yōu)控制問題用非線性規(guī)劃問題的形式描述。

上述非線性規(guī)劃問題本質(zhì)上是一個(gè)高維稀疏問題，采用成熟的GPOPS求解器［18-19］進(jìn)行求解運(yùn)算，從而得到兩擋變速器換擋過程最優(yōu)控制問題的最優(yōu)狀態(tài)變量軌跡和最優(yōu)控制變量軌跡。

4 換擋過程仿真結(jié)果

本文中兩擋變速器電動(dòng)汽車的主要參數(shù)如表6所示，利用GPOPS 求解器求解兩擋變速器在升擋和降擋過程中的最優(yōu)控制軌跡。

表6 兩擋變速器的電動(dòng)汽車主要參數(shù)

4.1 不同評(píng)價(jià)指標(biāo)下?lián)Q擋過程仿真驗(yàn)證

選擇只考慮沖擊度和同時(shí)考慮沖擊度滑摩功兩種情況進(jìn)行升擋仿真驗(yàn)證，車輛在平地加速行駛，當(dāng)驅(qū)動(dòng)電機(jī)轉(zhuǎn)速達(dá)到3 000 r/min 時(shí)進(jìn)行升擋操作，升擋完成后，驅(qū)動(dòng)電機(jī)仍以相同的驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩繼續(xù)驅(qū)動(dòng)車輛進(jìn)行加速。仿真得到的兩種情況下沖擊度和滑摩功的結(jié)果如圖9和圖10所示。

圖9 升擋過程沖擊度變化

圖10 升擋過程滑摩功變化

從仿真結(jié)果對(duì)比可知，同時(shí)考慮沖擊度和滑摩功的情況較只考慮沖擊度，滑摩功從20.94 減小為13.5 kJ，減小了約35.5%。滑摩功與制動(dòng)器主動(dòng)片的轉(zhuǎn)速和制動(dòng)器傳遞的轉(zhuǎn)矩有關(guān)。由圖11 可知，在一擋制動(dòng)器分離時(shí)，同時(shí)考慮沖擊度滑摩功的情況下，一擋制動(dòng)器主動(dòng)片的轉(zhuǎn)速比只考慮沖擊度的情況低，使得一擋制動(dòng)器分離時(shí)產(chǎn)生的滑摩功更小；而在二擋制動(dòng)器接合時(shí)，二者相差不大，滑摩功也相當(dāng)。

圖11 升擋過程制動(dòng)器主動(dòng)片轉(zhuǎn)速變化

4.2 偽譜法與二次型仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證偽譜法在變速器換擋過程中的有效性，在降擋過程中，采用了偽譜法和二次型兩種方法同時(shí)進(jìn)行求解，其結(jié)果如圖12和圖13所示。

圖12 沖擊度變化

圖13 滑摩功變化

二次型得到的兩擋變速器降擋過程結(jié)果，沖擊度在-11.2～7.7 m/s3之間，滑摩功為11.6 kJ。偽譜法求得的降擋過程的沖擊度在-0.67～0.39 m/s3之間，相較于二次型求解的結(jié)果，沖擊度更小更平滑；滑摩功為8.08 kJ，相較于二次型求得的結(jié)果減小了約28%。

5 結(jié)論

在本文中，利用等效杠桿法建立了兩擋變速器的動(dòng)力學(xué)模型，選擇了換擋沖擊度和離合器滑摩功作為兩擋變速器換擋品質(zhì)的評(píng)價(jià)函數(shù)，研究了兩擋變速器換擋過程最優(yōu)控制問題的狀態(tài)方程和約束條件。以驅(qū)動(dòng)電機(jī)和兩個(gè)制動(dòng)器的轉(zhuǎn)矩為控制變量，以沖擊度和滑摩功為性能指標(biāo)，采用Radau 偽譜法將兩擋變速器換擋過程的最優(yōu)控制問題經(jīng)時(shí)域變換、參數(shù)離散化、函數(shù)轉(zhuǎn)化等過程轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題，并在求解器中求得了兩擋變速器換擋的最優(yōu)控制軌跡。

基于某型采用該兩擋變速器的電動(dòng)車參數(shù)，對(duì)求得的兩擋變速器換擋的最優(yōu)控制軌跡進(jìn)行仿真驗(yàn)證，同時(shí)對(duì)偽譜法和二次型求解的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，仿真結(jié)果驗(yàn)證了最優(yōu)控制軌跡的有效性，也同時(shí)驗(yàn)證了Radau 偽譜法在求解多階段帶邊界約束的最優(yōu)控制問題的有效性和便捷性。