基于非線性PID的連續(xù)攪拌反應釜控制方法

范 政, 趙 虹

(桂林理工大學機械與控制工程學院, 桂林 541006)

比例-積分-微分(proportion integration differentiation, PID)控制算法是過程控制系統(tǒng)中普遍運用的算法，在化工、冶金、機械等領域得到了廣泛的運用。隨著控制理論的不斷發(fā)展，各種新型的控制方法層出不窮，但是PID控制算法擁有結構簡單、魯棒性強等特點，仍然是控制領域運用最多的算法之一。但是PID控制算法參數(shù)固定不變，因此，人們利用非線性函數(shù)對傳統(tǒng)PID控制器進行改進，使控制器的控制性能和魯棒性提高[1]，以達到提高系統(tǒng)控制性能的目的，研究和運用越來越廣泛。

非線性PID(nonlinear PID, NPID)控制器的形式可以根據(jù)特定的系統(tǒng)控制要求進行構造。韓京清等[2]提出一種非線性跟蹤-微分器的控制方法，在運動控制系統(tǒng)中得到運用。Lee等[3]用一種基于誤差的非線性函數(shù)構造NPID控制器，與傳統(tǒng)線性PID相比控制性能更好。李明哲[4]在結構振動控制中運用NPID控制器，通過仿真實驗證明了該方法相比線性二次型調(diào)節(jié)器控制更靈活。晏東[5]使用一種基于修正的非線性函數(shù)的NPID控制方法對永磁直線同步電機控制進行控制，相比傳統(tǒng)PID控制，響應速度更快，位置動態(tài)跟蹤誤差更小。阮曉鋼等[6]針對一種可以在二維平面全向移動的球形輪移動機器人系統(tǒng)，提出一種雙閉環(huán)NPID控制策略，仿真結果證明了所提控制策略相比傳統(tǒng)PID控制算法穩(wěn)定性更強。Najm等[7]針對六自由度四旋翼無人機控制系統(tǒng)的平移和旋轉運動，提出一種NPID控制器，運用于滾轉、俯仰、偏航、高度和位置子系統(tǒng)，仿真結果表明NPID控制系統(tǒng)在跟蹤速度、動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能上比線性PID更優(yōu)。

連續(xù)攪拌反應釜(continuously stirred tank reactor, CSTR)是化工生產(chǎn)的主要設備之一，可以用于原料發(fā)酵、微生物、化學原料的充分混合及油漆、制藥、試劑、合成材料等工業(yè)生產(chǎn)中。CSTR對象存在非線性、不穩(wěn)定性和參數(shù)不確定性[8]，線性PID控制難以滿足系統(tǒng)控制需求。因此，現(xiàn)將一類NPID控制器運用于CSTR控制系統(tǒng)中，以改善線性PID算法的控制效果，提高控制性能。

1 CSTR過程模型

以一個CSTR為研究對象，系統(tǒng)存在強非線性，CSTR化學反應是不可逆轉的放熱反應。CSTR的結構圖如圖1所示[9]。

圖1 CSTR結構圖Fig.1 CSTR structure diagram

從圖1可知，反應物料進入CSTR容器中，在內(nèi)部發(fā)生不可逆放熱反應后，得到產(chǎn)品，反應過程為強放熱過程，需要向冷卻夾套內(nèi)通入冷卻劑，通過控制冷卻劑的流量來控制反應釜內(nèi)溫度，使其恒定在一定范圍內(nèi)。

不考慮冷卻劑溫度，根據(jù)冷卻劑溫度與CSTR出料溫度的關系，建立對象的數(shù)學模型[9]為

(1)

(2)

式中：UA為傳熱系數(shù)；S為傳熱面積；其他各個變量所表示的含義及參數(shù)的具體數(shù)值[9]如表1所示。

表1 CSTR各參數(shù)取值Table 1 Each parameter of CSTR

續(xù)表1

(3)

(4)

2 NPID控制算法描述

PID控制器以系統(tǒng)設定值與實際值之間的偏差e(t)作為控制器輸入信號，通過調(diào)節(jié)控制器的比例系數(shù)kp、積分時間Ti、微分時間Td三個參數(shù)，以滿足系統(tǒng)的控制要求。PID控制系統(tǒng)框圖如圖2所示，控制器的控制規(guī)律數(shù)學表達式為

圖2 PID控制系統(tǒng)框圖Fig.2 PID control system diagram

(5)

采用PI控制器對CSTR出料溫度進行控制，以4∶1衰減比整定CSTR出料溫度控制曲線，得到圖3所示的出料溫度響應曲線。

圖3 CSTR出料溫度響應曲線Fig.3 Response curve of CSTR discharge temperature

從CSTR出料溫度的響應曲線可知，采用PI控制器控制CSTR出料溫度時，溫度曲線超調(diào)量過大，調(diào)節(jié)時間長，通過分析誤差與PID參數(shù)的關系，從初始段到第一個波谷，系統(tǒng)誤差e(t)經(jīng)歷先減小后增加的過程。在系統(tǒng)誤差逐漸減小的過程中，為了使CSTR溫度超調(diào)量減小，要求比例增益系數(shù)Kp隨誤差變化經(jīng)歷先逐漸減小后逐漸增大的過程，積分增益系數(shù)Ki隨誤差變化的過程為先增大后減小。同理，在第一個波谷到第一個波峰階段，系統(tǒng)誤差同樣經(jīng)歷由大變小，而后由小變大的過程，要求比例增益系數(shù)Kp隨誤差變化經(jīng)歷先逐漸減小后逐漸增大的過程，積分增益系數(shù)Ki隨誤差變化的過程為先增大后減小。在控制系統(tǒng)的調(diào)節(jié)過程中，為達到減小超調(diào)量的目的，微分增益系數(shù)Kd應在系統(tǒng)誤差逐漸減小的過程中，增大微分增益系數(shù)Kd，誤差逐漸增大時，減小微分增益系數(shù)Kd，且要求微分增益系數(shù)Kd的變化幅度不宜過大，避免系統(tǒng)抗干擾能力變差。根據(jù)上述分析，可以將NPID控制器在CSTR溫度控制過程中參數(shù)Kp、Ki、Kd隨誤差變化的曲線總結為圖4，其中比例增益系數(shù)Kp、積分增益系數(shù)Ki、微分增益系數(shù)Kd的變化規(guī)律[11]為

圖4 NPID控制器參數(shù)Kp、Ki、Kd隨誤差變化的曲線Fig.4 Parameters of Kp, Ki and Kd of NPID controller curves varying with error

Kp[e(t)]=ap+bp{1-sech[cpe(t)]}

(6)

Ki[e(t)]=aisech[bie(t)]

(7)

Kd[e(t),e(v)]=ad+bd/{1+cdexp[dde(t)]}

(8)

式中：ap、bp、cp、ai、bi、ad、bd、cd、dd為常數(shù)，分別用于調(diào)整NPID控制器的參數(shù)變化范圍和變化速率。

通過上述NPID比例、積分、微分增益系數(shù)的描述，以及線性PID控制規(guī)律的數(shù)學表達式，可以得到NPID控制器的控制規(guī)律表達式為

(9)

3 仿真分析

以一個具有強非線性的CSTR對象為研究對象，文獻[10]給出了CSTR需要滿足的約束條件，其中，反應釜溫度T變化范圍[400,460] K、出料濃度CA變化范圍[0,1] mol/L、冷卻劑流量qc的變化范圍為[0,130] L/min，在正常工作條件下，系統(tǒng)達到平衡時出料濃度0.1 mol/L，出料溫度438.54 K，冷卻劑流量為103.41 L/min，對象的數(shù)學模型如式(3)、式(4)所示，用于驗證NPID控制器在CSTR閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)的控制性能。根據(jù)前人的研究結果，式中各參數(shù)的取值為a=1.0，β=0.3，γ=20.0，b=-8.0，Da=0.072。CSTR出料溫度控制系統(tǒng)的Simulink仿真圖如圖5所示。其中NPID控制器的Simulink仿真結構圖如圖6所示，NPID模塊Simulink結構圖如圖7所示，CSTR對象的Simulink仿真模型如圖8所示。

圖5 CSTR出料溫度控制系統(tǒng)的Simulink仿真圖Fig.5 Simulink simulation diagram of CSTR discharge temperature control system

圖6 NPID控制器的Simulink仿真結構圖Fig.6 Simulink simulation structure chart of nonlinear PID

圖7 NPID模塊Simulink結構圖Fig.7 Simulink diagram of NPID module

圖8 CSTR對象的Simulink仿真模型Fig.8 Simulink simulation model of CSTR object

3.1 基于NPID控制的CSTR階躍響應

為了驗證NPID控制器的控制性能，以階躍信號作為系統(tǒng)設定值，通過不斷調(diào)整控制器的參數(shù)，得到理想的響應曲線，并與線性PID控制下，CSTR系統(tǒng)的響應曲線進行比較。給CSTR分別施加幅值為1和1.5的階躍信號，根據(jù)多次反復試湊，得到線性PID控制器的各個參數(shù)取值為Kp=10，Ti=15,Td=0.5，NPID控制的各個參數(shù)取值為ap=20，bp=25，cp=30，ai=60，bi=0.3，ad=0.388，bd=0.192，cd=0.5，dd=0.9。圖9和圖10分別表示兩類控制器在不同幅值的階躍信號輸入下系統(tǒng)的響應曲線。

圖9 CSTR系統(tǒng)的階躍響應曲線(幅值為1)Fig.9 Step response curve of CSTR system(amplitude 1)

圖10 CSTR系統(tǒng)的階躍響應曲線(幅值為1.5)Fig.10 Step response curve of CSTR system(amplitude 1.5)

從系統(tǒng)的響應曲線可得，系統(tǒng)在幅值為1和1.5的階躍信號輸入下，兩種算法控制下系統(tǒng)最終都能回到穩(wěn)定狀態(tài)，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為0。為了更加直觀地展示兩種方法的控制效果，以系統(tǒng)動態(tài)性能指標(包括上升時間tr、峰值時間tp、調(diào)節(jié)時間ts、超調(diào)量σ)和時間乘以誤差絕對值積分(ITAE)性能指標作為觀測量。系統(tǒng)階躍響應下出料溫度響應曲線對應性能指標如表2、表3所示。

表2 CSTR出料溫度階躍響應性能指標(幅值為1)Table 2 Step response performance index of CSTR discharge temperature(amplitude 1)

表3 CSTR出料溫度階躍響應性能指標(幅值為1.5)Table 3 Step response performance index of CSTR discharge temperature(amplitude 1.5)

從表2、表3、圖9和圖10可知，NPID算法的控制效果更好，系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間更短，出料溫度和出料濃度曲線更加平滑，大大改善了系統(tǒng)的動態(tài)性能，系統(tǒng)運行更加穩(wěn)定、高效、快速。

3.2 抗干擾分析

在實際生產(chǎn)中，往往存在眾多不可預測的干擾，對控制系統(tǒng)的設計必須考慮系統(tǒng)的抗干擾能力。系統(tǒng)階躍響應曲線進入穩(wěn)定狀態(tài)后，在仿真時間為5、9 s時，對NPID控制系統(tǒng)和線性PID控制系統(tǒng)分別系統(tǒng)施加幅值為1和-1.5的擾動，系統(tǒng)響應曲線如圖11所示。對比兩種控制方法的響應曲線可知，兩種方法在擾動作用下最終都能使系統(tǒng)重新回到穩(wěn)定狀態(tài)，且系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為0，但是幅值為-1.5的擾動下，線性PID控制CSTR的出料濃度響應曲線出現(xiàn)超調(diào)。NPID控制器的抗干擾能力明顯強于線性PID控制器，NPID控制算法使得擾動作用下CSTR的出料溫度及出料濃度的過渡曲線更加平滑，調(diào)節(jié)時間更短。

圖11 擾動作用下CSTR系統(tǒng)響應曲線Fig.11 Response curve of CSTR system under disturbance

3.3 魯棒性分析

在化工生產(chǎn)過程中，CSTR內(nèi)部發(fā)生復雜的化學反應。在生產(chǎn)過程中，各個操作過程不同和設備老化等因素影響，可能會引起CSTR系統(tǒng)的參數(shù)發(fā)生變化，因此CSTR系統(tǒng)是一個時變系統(tǒng)。為了驗證NPID控制算法在CSTR系統(tǒng)中的魯棒性，選取對系統(tǒng)影響較大的Da、b、β作為參數(shù)攝動的變量，將3個參數(shù)分別變化20%和40%，即Da=0.072→0.086 4、b=-8→-9.6、β=0.3→0.24和Da=0.072→0.100 8、b=-8→-11.2、β=0.3→0.18。CSTR系統(tǒng)在幅值為1的階躍信號輸入下，得到的系統(tǒng)的出料溫度和出料濃度響應曲線如圖12、圖13所示。參數(shù)攝動20%和40%時，系統(tǒng)階躍響應對應的出料溫度響應曲線性能指標如表4、表5所示。

表4 參數(shù)攝動20%時CSTR出料溫度響應曲線性能指標Table 4 Performance index of CSTR discharge temperature response curve with parameter perturbation of 20%

表5 參數(shù)攝動40%時CSTR出料溫度響應曲線性能指標Table 5 Performance index of CSTR discharge temperature response curve with parameter perturbation of 40%

圖12 參數(shù)攝動20%時CSTR出料溫度和濃度響應曲線Fig.12 Response curve of CSTR discharge temperature and concentration with parameter perturbation of 20%

圖13 參數(shù)攝動40%時CSTR出料溫度和濃度響應曲線Fig.13 Response curve of CSTR discharge temperature and concentration with parameter perturbation of 40%

從表4、表5、圖12和圖13可知，參數(shù)攝動20%時，線性PID控制和NPID控制的出料溫度響應曲線上升時間tr和峰值時間tp相比原參數(shù)曲線變化不大，調(diào)節(jié)時間ts變化分別為1.31→1.55和2.21→3.83，變化幅度分別為18.3%和73.3%，超調(diào)量變化分別為7.9→13.6和18.5→38.3，變化幅度分別為72.2%和107%，ITAE性能指標變化分別為0.05→0.096和0.32→0.85，變化幅度分別為92%和165.6%，NPID控制的出料濃度響應曲線過渡平穩(wěn)，而線性PID控制的出料濃度響應曲線出現(xiàn)超調(diào)。參數(shù)攝動40%時，線性PID控制和NPID控制的出料溫度響應曲線上升時間tr相比原參數(shù)曲線變化不大，峰值時間tp調(diào)變化分別為0.43→0.51和1.07→1.27，變化幅度都為18.6%，調(diào)節(jié)時間ts變化分別為1.31→1.64和2.21→9.15，變化幅度分別為25.2%和314%，超調(diào)量變化分別為7.9→25.4和18.5→98.4，變化幅度分別為221.5%和431.9%，ITAE性能指標變化分別為0.05→0.17和0.32→5.05，變化幅度分別為240%和1 478%，NPID控制的出料濃度過渡過程曲線依然平穩(wěn)，而線性PID控制的出料濃度響應曲線震蕩嚴重，不利于化工生產(chǎn)正常進行。從系統(tǒng)的響應曲線和定量分析數(shù)據(jù)可知，CSTR系統(tǒng)中，NPID控制算法的魯棒性比線性PID控制算法更優(yōu)。

4 結論

以一類CSTR為研究對象，進行了仿真研究。對象具有高度的非線性、不穩(wěn)定性和參數(shù)不確定性，線性PID控制算法不能滿足CSTR系統(tǒng)的控制需求。為了提高CSTR系統(tǒng)的控制品質(zhì)，設計了一種能夠根據(jù)響應曲線誤差變化實時調(diào)整PID參數(shù)的NPID控制算法。在階躍信號輸入、系統(tǒng)存在擾動、系統(tǒng)在運行過程中參數(shù)攝動變化三種情況下，對NPID和線性PID控制算法進行對比仿真研究。實驗結果表明，NPID控制算法的控制效果更好，在擾動和參數(shù)攝動的情況下，CSTR的出料溫度和出料濃度曲線變化更平滑，系統(tǒng)的抗干擾能力和魯棒性更強。