基于機器視覺的齒廓偏差測量方法

曹鵬勇， 王建文， 程敏杰

(華東理工大學機械與動力工程學院， 上海 200237)

齒輪是實現機械傳動的重要零部件之一，而齒輪的齒廓偏差是判斷齒輪運動平穩性的直接因素。故針對如何提高產品齒輪的檢測和加工制造精度的研究具有非常重要的意義[1]。傳統的齒輪偏差測量方法為接觸式測量，該方法測量效率低，價格成本高，存在主觀誤差且會對齒輪齒面造成一定損傷。如文獻[2]采用三坐標測量儀來獲取齒廓坐標，并進行齒廓擬合求出齒廓偏差，操作復雜、效率低且成本高。

現提出一種新的齒廓偏差的非接觸測量方法：通過機器視覺的手段采集齒輪圖像，采用Zernike矩亞像素邊緣檢測算法[3]獲得清晰的亞像素級齒輪邊緣，并分割、采集齒輪的齒廓數據獲得參考點云。結合反求工程的思想，以實測齒輪的各項設計參數為基礎并依據漸開線的形成原理來構建齒輪的理論模型[4]，獲得齒輪的參考點云數據，建立齒輪的反求數字化模型[5]。將獲得齒輪的目標點云和參考點云數據后，通過二維迭代最近點(iterative closest point, ICP)算法[6]進行點云數據配準，最終獲得齒輪的齒廓偏差，最后通過齒廓目標點云和參考點云偏差對比計算，驗證所提齒輪齒廓測量方法的正確性。

1 參考點云數據采集

標準齒輪數字模型是以待測齒輪為基礎構建的齒輪模型。模型構建的目的是與后續機器視覺獲得的點云數據進行對比和配準，進而獲得齒輪的齒廓偏差，依此來評價上述測量方法的可行性和準確性。選擇精度等級為8的中低速度汽輪機用齒輪為研究對象，在MATLAB環境下，根據齒輪測繪的基本參數(表1)和漸開線直齒輪的形成原理，結合如圖1所示三維齒輪，利用圖形學的方法建立標準直齒輪數字模型。

圖1 標準齒輪的三維模型Fig.1 3D model of standard gear

表1 齒輪基本參數Table 1 Basic parameters of gear

根據齒輪三維模型構建標準齒輪數字模型，剔除齒頂圓、基圓和分度圓數據，只留下齒廓部分。在MATLAB開發環境下建立齒輪齒廓圖，如圖2所示。為采集齒廓參考點云，根據左右齒廓的數據特征創建變量存儲齒廓的坐標，并將數據轉換為asc格式方便后續處理，即為齒廓的參考點云數據。

圖2 標準齒輪數字模型的齒廓Fig.2 Tooth profile of the standard gear digital model

2 目標點云數據采集

運用機器視覺的方法采集目標點云：首先利用工業相機采集齒輪圖像，經由MATLAB軟件對采集到的圖像進行灰度化、高斯濾波、二值化等處理，達到提高圖像質量、改善清晰度的目的。再對處理后的圖像進行邊緣檢測，文獻[7]研究了經典的邊緣檢測算法，獲得的邊緣較粗。圖像處理結合齒輪的圖像特征采用Zernike矩亞像素邊緣檢測算法[8]，以(x,y)為圓心坐標，設灰度圖像函數為f(x,y)，則Zernike矩表達式可寫為

(1)

(2)

式(2)中：M11為Zernike矩。令Zernike矩的模板階數為N，對于已知邊緣點坐標為(m1,n1)，則相應的亞像素坐標為(mz1,nz1)，有

(3)

式(3)中：N為Zernike矩的模板階數。

通過亞像素坐標計算并進行形態學濾波最終可獲得清晰的齒輪邊緣,如圖3所示。

圖3 齒輪齒廓邊緣Fig.3 Edge of thegear tooth profile

為減少運算量，提高配準精度，將所獲齒廓，去除齒頂圓、齒根圓數據只留下齒廓數據。采用連通區域法獲取齒輪的外接矩形，用于去除冗余數據，其中：矩形中心即為齒輪中心。計算齒廓邊緣到齒輪中心的距離，剔除距離大于等于齒頂圓、小于基圓的點，如圖4所示。圖4(a)所示曲線圖為由齒輪邊緣到齒輪中心的距離，通過提取齒廓的目標點云數據，并將點云數據存儲在預先設定好的變量中，即完成齒廓的目標點云數據采集，配準結果如圖4(b)所示。

圖4 齒輪的目標點云采集圖Fig.4 Acquisition of the gear target point cloud

3 基于簡化齒廓的ICP算法點云配準

根據歐氏最小二乘法計算距離空間中兩個點集之間的最佳對應關系，列協方差函數為

(4)

式(4)中：R為旋轉矩陣；T為平移矢量矩陣；s為兩點間最短距離。

利用ICP算法配準齒輪齒廓點云步驟如下:

(1)給定初始旋轉矩陣R，平移矢量矩陣T，以及最大迭代次數k，計算得出齒廓目標點云W和參考點云Z。

(2)迭代配準確定對應度并通過最小化誤差來計算兩個圖像點集之間的最佳變換Rk和Tk。

(5)

wk+1=Rkwk+Tk

(6)

(3)根據式(5)計算得矩陣R和T，確定目標點云wk按式(6)變換至wk+1，結合參考點云zk，計算出對應點對點間最短距離sk。

(4)不斷迭代，直至收斂。對W中的每個點，在Z中尋找距離最近的點，不斷迭代直到滿足迭代條件：|sk-sk-1|<ε，其中ε為無窮小量，進而實現兩點云之間相似度最大化。圖5為同一坐標系下，點云W和點云Z中心重合后的點云圖，圖6為運用ICP算法配準結果，易看出基于ICP的點云配準方法利用最小二乘法尋優并不斷迭代，適應性好且配準精度較高。

圖5 中心對齊后的齒廓點云圖Fig.5 Point cloud of tooth profile after center alignment

圖6 齒廓點云的ICP配準結果Fig.6 ICP registration results of tooth profile point cloud

4 齒廓偏差的測量

齒廓偏差Δf是指在齒輪端截面上，齒形工作部分內(不含齒頂的倒棱部分)，容納實際齒形且距離最小的兩條設計齒形之間的法向距離[12]。為測量齒輪的齒形誤差，由其定義可知需獲取包含實際齒廓的兩條理論漸開線。如圖7所示。

從點云配準結果圖中選取一個齒廓并放大，效果如圖8所示。其中局部參考點云共有14個，局部目標點云共有20個，單個齒廓配準結果圖和圖7齒廓偏差定義圖是相似的，證明該方法具有可行性。

圖7 齒廓偏差的示意圖Fig.7 Schematic diagram of the tooth profile deviation

圖8 單個齒廓數據放大圖Fig.8 Enlarged diagram of individual tooth profile data

為測量齒廓偏差，采用多項式擬合離散目標點云得到如圖9中線性擬合曲線，其基本原理為根據局部目標點云W中數據點(xi,yi)，設擬合多項式為

圖9 齒廓點云配準結果圖Fig.9 Registration result of point cloud of tooth profile

(7)

式(7)中：Aj為待求未知數，令yi為第i個樣本的真實值，當取樣m個時，得到基于點云W真實值與預測值間偏差Q為

(8)

計算局部參考點云中的每個點到擬合曲線的距離，距離的平均值即為齒廓偏差。多項式擬合結果為

y=0.838x2+7.384x-7.843

(9)

計算局部參考點云中的每個點到擬合曲線的位移，取點位移曲線上方為正，測量偏差檢測如表2所示。

表2 齒廓偏差測量結果Table 2 Measurement of the tooth profile deviation

根據表2所列出的數據測量結果，齒輪齒廓偏移最大值為24.96 μm，最小為2.66 μm，考慮到齒廓參考點云的采集和配準時存在誤差，取計算數據絕對值的平均值作為齒廓偏差，測量結果為12.20 μm。同時，依照該方法可對其他輪齒進行齒廓偏差計算。

一般工程中，對于被測齒輪進行齒廓評定指標僅需檢查其齒廓總偏差，根據模數m=2和齒數z=23查《機械設計手冊表》的“14-1-42”可知，所研究齒輪齒廓精度應不大于15.0 μm，對照檢測值與查表所得值近似，并在合理的范圍內，符合齒輪的精度等級，驗證所采用方法可行性和準確性。

5 結論

論文采用計算機圖形學的方法建立標準齒輪模型并提取數據獲得齒輪的參考點云Z；利用機器視覺的方法在線拍攝齒輪圖像并進行圖像處理，借鑒Zernike矩算法獲得清晰的亞像素齒廓邊緣；去除齒廓邊緣中的齒頂、齒根數據提取齒廓數據獲得齒輪的目標點云W；分析了ICP算法在點云配準中的應用，并對參考點云Z和目標點云W進行點云配準；點云配準后，利用多項式擬合參考點集獲得擬合曲線，計算目標點云中各點到擬合曲線的距離取平均值即為齒廓偏差。結果表明所提出的方法具有合理性，可重復性且滿足齒輪的精度要求。