開拓通融視界，營造通融課堂

周瑤菁

【摘要】如何開拓學生的通融視界，引導學生實現理法融通，使算理和算法相得益彰，助力知識的內化，從而營造通融課堂呢？本文從三個方面闡述理法融合的策略：一、建構聯系，把握本質;二、辨析交流，活化思維;三、凸顯思想，理法相融。

【關鍵詞】算法? 算理? 理法融通? 通融課堂

【課題項目】本文系泉州市教育科學“十四五”規劃（第一批）立項課題《小學數學“通融課堂”的教學策略研究》研究成果，立項號：QG1451-234。

【中圖分類號】G623.5 ? 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2021）33-0107-02

許貽亮名師的小學數學“通融課堂”的教學主張里指出：教與學必須求“通”、求“融”，以師之“通”達成生之“通”，以師之“融”達成生之“融”。怎樣將“通融課堂”的追求扎根于課堂，開出“具體的花”？本課以運算教學為例，談談自己的思考與實踐。《數學課程標準（2011版）》中指出：“運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力。培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題[1]。”從中可以解讀出兩個關鍵詞：正確運算和理解算理。如何開拓學生的通融視界，引導學生實現理法融通，使算理和算法相得益彰，助力知識的內化，從而營造通融課堂呢？

一、建構聯系，把握本質

許貽亮名師說過：發現聯系，看清聯系，揭示聯系，有機地把它們融合起來，就能給學生的發展提供更多助力[2]。計算教學中，算理是內化，算法是外顯，將二者作為交流的過程恰恰是最有意義和價值的。在教學中，溝通算法間的橫縱聯系，可幫助學生在對比聯系中感悟算理，抵達計算的本質。因此，溝通交流不同算法之間的聯系是學生深刻理解算理的推力。

如，北師大版三年級下冊“兩位數乘兩位數筆算乘法”這一課，本課學習的目標之一是經歷探索兩位數乘兩位數筆算方法的過程，會筆算兩位數乘兩位數的方法。教材以算式14×12為例，安排了三個層層遞進的學習活動。第一個活動是嘗試獨立計算14×12，第二個活動是解釋算式的道理，并結合點子圖說明豎式每一步的意思，第三個活動是總結歸納兩位數乘兩位數的算法和需要提醒的事項。其中第二個活動是學習重點。當學生結合點子圖對算理已經基本理解，這個時候可以把學生展示的幾種算法進行聯系，讓學生觀察其中的異同，就會有新的發現：“每一種方法都需要把這兩個兩位數中的每一位上的數進行相乘，然后把乘得的結果加起來，其中的道理是一樣的。”通過橫向對比讓學生明白三種方法殊途同歸，溝通了圖示表征、算式表達與計算過程之間的聯系，幫助學生清晰地梳理“關鍵點”與“關鍵點”之間的關系，從更高的層面領悟算理的本質。

二、辨析交流，活化思維

在教學中，不難發現，學生“說清楚”比“做正確”難得多，“說清楚”意味著思維結構清晰、邏輯關系明確、表達清晰有序[3]。因此要經常鼓勵學生對數學問題進行深入思考、靈活辨析、積極辯論，并把自己的思維過程用合適的方式表達出來，由辯促思。

如，在高年級分數的應用題教學中，這樣的教學方法司空見慣：從帶有分率的那個條件中判斷誰是單位“1”，如果單位“1”已知，用乘法計算;如果求單位“1”，就用除法計算。但是解決實際的問題，學生往往不知從何下手。尤其在解決有關“增加幾分之幾”和“減少幾分之幾”的問題時，學生更是容易混淆。

比如，可以圍繞這個以下問題進行辨析交流：

（1）一盞臺燈漲價10元，又降價10元，結果不變。

（2）一盞臺燈漲價1/10，又降價1/10，結果不變。

這樣的問題設置，引發對比、突顯矛盾，引發學生想辨清楚的欲望。對于第一個問題學生很容易理解。第二個問題由絕對量改成相對量，結果是變還是不變呢？學生必然會去思考分析其中數學含義的變化。針對第二個問題展開說理：

生：我認為結果會變。我的理由：我把百格圖視為單位1，并平均分成10份。先漲價1/10就是把單位1增加了1份也就是增加了1列。而降價了1/10就是把現在的圖看作單位1，平均分成10份，而現在有11列，10行，所以減少了其中的1行就是1份，最后剩下11列9行，一共99格，與原來的100格比少了1格，所以結果變小了。

生：首先我把一個完整的圓也就是原價當作單位1，把單位1平均分成10份，漲價了1/10，所以有11份。現在降價了1/10，降價的是11份的1/10。降價后發現并不是一個完整的圓，所以結果變小了。通過帶有沖突性的問題來鼓勵學生開展思辯的的過程，表面上解決了學生說的問題，實質是解決了學生歸納、總結、明道理的問題，使得思考過程更加清晰，計算更加自信。

三、凸顯思想，理法相融

1.數形結合，深入理解

計算教學中，直觀模型的應用必不可少。直觀模型是架起算理與算法之間的一座橋梁，使學生能夠直觀體悟計算的道理。通過數形結合，將“枯燥的算法”和“神奇的算理”盡量揭示透徹，讓學生明確地意識到“法中見理，理中得法，原本不可剝離”。

例如，北師大版五年級下冊“分數除法（二）”這節課，當教師提出問題：“有4張同樣大的餅，每張分1份，可分成幾份？”學生不難得出結果是“8份”，很明顯可以看出學生對整數除以分數的算法有一定的了解。但僅僅“會算”是不夠的，而要追問得到這個結果的理由，引發學生尋找算法背后隱含的本質道理。此時教師鼓勵學生通過畫圖的方式來輔助說明自己的想法。學生邊展示自己畫的圖示，邊用算式記錄分餅的操作過程。圖示、算式和表達合為一體，直觀地展現4÷就是表示4里面有幾個。學生經歷用圖示表征求解計算的步驟，主動將數學知識產生的過程、方法、結果與圖示相結合，使抽象的算理變得直觀形象。老師的角色很清晰，幫助學生從直觀的角度感悟計算道理，在交流和實踐中促使學生的思維走向知識的內涵，從而深層次理解算理。

2.滲透轉化，促進聯結

轉化不僅是一種解決問題的策略，更是一種意義重大的數學思想。數學思想方法是蘊涵于數學知識背后的隱性知識，不能像顯性的數學知識那樣直接告知。那么，如何在平衡算理與算法的關系中，引導學生感悟轉化思想呢？

羅鳴亮老師在《小數乘整數》這節課中，轉化思想滲透得淋漓盡致。這節課教學內容非常簡單，幾乎所有同學都能正確地進行小數乘整數的計算。那么這節課教什么就成了老師要認真思考的問題。因此羅老師在課一開始讓學生提出自己想了解想研究的問題。不出所料，學生都想知道小數乘整數和整數乘整數有什么區別和聯系等等。

以此為契機，羅老師問，有個同學畫了這樣一幅圖，四組圓，每組3個，你覺得是表示30×4=120還是表示0.3×4=1.2的道理呢？十分輕松、看似無意的一問卻催生了轉化的需要。一開始學生的注意力都聚焦在圖示上，都習慣性地認為應該表示3×4，可是算式選項中卻沒有出現這個算式。在豐富的交流和思維碰撞中，學生恍然大悟，發現這個圖不僅可以表示30×4=120的道理，也可以表示0.3×4=1.2的道理。羅老師沒有讓學生停下思考的步伐，繼續追問：這個圖還能表示哪些算式的道理？他巧妙地抓住了學生思考的支撐點，學生理解道理的生長點如芝麻開花節節高。羅老師把這幅圖用活了，引導學生發現，無論是0.3×4，0.003×4，還是300×4等等，都是先轉化成3×4來計算。巧妙地將計數單位引入到小數乘整數的計算中，“計算、計算，就是計一計、算一算有多少個計數單位”，將抽象的計算原理變得形象化，學生腦海中的轉化思想從朦朧走向明晰，發現小數乘整數是基于之前掌握的整數乘法來解決，充分感受了轉化思想的價值。

3.變與不變，達成融合

張奠宙先生在《返璞歸真? 正本清源》一文中談到：“比這一概念的本源是比較。”比的數學本質是表示和度量兩個數量之間的倍數關系，若結合比的由來與發展，便不難發現這一數學概念的“生長點”與“擴展點”：比從除法、倍、分數中生成，最后再回歸到比例與函數中去，在感受知識內在關聯性的同時體驗變與不變的思想。

《生活中的比》一課，從探究分數的比，到圓的比，再到生活問題的解決，在同類量比較中經歷比的形成過程，體會認識比的必要性，理解比的意義，是實現概念教學從表層記憶走向數學理解。在探索蜜水的甜度的實驗活動中，教師通過設計層層問題，不斷追問，如“你發現什么在變？什么一直不變”、“兩杯蜜水確定一樣甜嗎？怎么就知道一樣甜呢？”“這杯蜜水倒進另一個杯子里，甜度一樣嗎？”加強學生對現實生活中數量關系的理解和認識，潛移默化地滲透變與不變及函數等數學思想，實現對數學概念本質的理解和追溯。

許貽亮名師指出：在追尋“通融課堂”的教學與學習實踐中，學生所建構的數學認知結構穩固、靈活、有張力，學習后勁大，學習能力強，學習成效優;教師既關注學生學習的現在，更著眼于學生學習的未來，以能力帶動知識，以思維提升學力，充分享受為師者的教學之樂。“通”與“融”的開始是不知不覺的，在計算教學中，我們應該充分關注學生計算背后的思想活動，努力嘗試多種方式促進學生對算理的理解和對算法的掌握，力求算理和算法合二為一：建構聯系、辨析交流、凸顯思想，從而實現理法融通，營造通融課堂，讓學生的學習真實、自然地發生。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京師范大學出版社，2012.

[2]許貽亮.小學數學“通融課堂”的教學實踐[M].福建人民出版社，2019.

[3]陳淑娟.核心問題引領下的說理課堂[M].遼寧大學出版社，2021.