相干耦合非線(xiàn)性薛定諤方程的孤子解

趙曉瑩，宋 妮，雷宇祥

（中北大學(xué) 理學(xué)院，太原 030051）

在過(guò)去的幾十年里，對(duì)非線(xiàn)性薛定諤方程的研究已經(jīng)引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注［1-2］。Hao等［3］研究了非齊次離散非線(xiàn)性薛定諤方程并利用達(dá)布變換法導(dǎo)出了該方程的調(diào)制不穩(wěn)定性條件和凝聚定律，同時(shí)在消失和非消失背景下，給出了非齊次離散非線(xiàn)性薛定諤方程的兩類(lèi)顯式解。Mehmet Ekici等［4］在克爾定律和拋物定律這2個(gè)非線(xiàn)性定律的基礎(chǔ)上，利用擴(kuò)展的雅可比橢圓函數(shù)展開(kāi)法，得到了諧振非線(xiàn)性薛定諤方程的雅可比橢圓函數(shù)行波解。Song等［5］研究了非齊次高階非線(xiàn)性薛定諤方程的n階波動(dòng)問(wèn)題。在海森堡鐵磁自旋系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，生成了高階非線(xiàn)性薛定諤方程。基于廣義達(dá)布變換，得到了該方程的n階怪波解，并利用數(shù)值模擬，描繪出解析解的非線(xiàn)性數(shù)值圖。Zhou等［6］研究了與空間參數(shù)有關(guān)的非線(xiàn)性薛定諤方程，模擬出具有失諧、時(shí)空色散、多模態(tài)色散和光纖增益或損耗等特性的孤子在空間非均勻光纖中的傳播。通過(guò)ansatz方法，得到了一定系數(shù)約束下的解析鐘形解、扭結(jié)解和奇異孤子解。Li等［7］研究了海森堡鐵磁鏈下的（2+1）維4階非線(xiàn)性薛定諤方程的孤子與怪波解。利用一種規(guī)范變換，將此方程的非零位Lax對(duì)轉(zhuǎn)換為一些常系數(shù)微分方程，再求解方程，得到了非零勢(shì)Lax對(duì)的向量解。通過(guò)線(xiàn)性穩(wěn)定性分析，給出了平面波解調(diào)制不穩(wěn)定的條件。然后，利用達(dá)布變換給出了N孤子解以及N階怪波解的行列式表示。

舉證責(zé)任的分配在任何一個(gè)國(guó)家，任何一個(gè)訴訟領(lǐng)域?qū)τ谠V訟結(jié)果都有著決定性的作用，任何一方當(dāng)事人無(wú)法完成自己的舉證責(zé)任都要承擔(dān)不利的訴訟后果。舉證責(zé)任的正確的分配有利于推進(jìn)民事訴訟程序的順利進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)社會(huì)的公平正義。

眾所周知，非線(xiàn)性薛定諤方程可以描述孤子以及怪波在非均勻介質(zhì)中的傳播［8］。然而，由于所研究問(wèn)題的復(fù)雜性，單分量非線(xiàn)性薛定諤方程已經(jīng)無(wú)法很好地描述孤子及怪波傳播性態(tài)的復(fù)雜性［9-11］。例如，光孤子在單模光纖中的傳播可以由非線(xiàn)性薛定諤方程來(lái)刻畫(huà)，而當(dāng)考慮不同頻率或偏振下多個(gè)光纖元件之間的碰撞時(shí)，則需要利用耦合非線(xiàn)性薛定諤方程描述其傳播過(guò)程。隨著對(duì)耦合非線(xiàn)性薛定諤方程的深入研究，發(fā)現(xiàn)在非線(xiàn)性光學(xué)［12］、等離子體［13］、力學(xué)［14］以及玻色-愛(ài)因斯坦凝聚［15］等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。利用達(dá)布變換法，Wang等［16］研究了具有非線(xiàn)性交替符號(hào)的相干耦合薛定諤方程的光學(xué)怪波，得到了怪波的結(jié)構(gòu)族，包括具有1個(gè)波峰2個(gè)波谷的怪波以及具有1個(gè)波峰或2個(gè)波峰卻沒(méi)有波谷的亮怪波。利用高階緊化法，Kong等［17］將具有經(jīng)典哈密頓形式的三分量耦合非線(xiàn)性薛定諤方程轉(zhuǎn)化為有限維哈密頓系統(tǒng)，采用2階平均向量場(chǎng)（AVF）法進(jìn)行實(shí)時(shí)性分析，得到了一種高效節(jié)能方案。

2014年機(jī)構(gòu)改革時(shí)，她跑了無(wú)數(shù)次涉及改革的部門(mén)，對(duì)劃轉(zhuǎn)的人員、資產(chǎn)逐一清查，3個(gè)月內(nèi)將所有劃轉(zhuǎn)的人事資料、70余萬(wàn)元的固定資產(chǎn)清查到位，無(wú)一差錯(cuò)，有效推進(jìn)了機(jī)構(gòu)改革的進(jìn)度。為摸清基層情況，她利用3個(gè)月時(shí)間，忍受著車(chē)輛顛簸和勞頓，跑遍40個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，最遠(yuǎn)的鄉(xiāng)鎮(zhèn)來(lái)回需要6個(gè)小時(shí)，掌握大量的一手資料，為后期擬定科學(xué)合理的體制改革方案提供了詳實(shí)的數(shù)據(jù)。最終全區(qū)設(shè)置7個(gè)直屬所和33個(gè)非直屬所，食品藥品安全監(jiān)管覆蓋面100%。

1 相干耦合非線(xiàn)性薛定諤方程

主要研究具有交替非線(xiàn)性符號(hào)的相干耦合非線(xiàn)性薛定諤方程

式中：q1，q2是與自變量x和t有關(guān)的光滑復(fù)包絡(luò)函數(shù)；x代表歸一化距離；t代表延遲時(shí)間；γ代表非線(xiàn)性強(qiáng)度［18］。利用非標(biāo)準(zhǔn)的Hirota雙線(xiàn)性法，Sakkaravarthi K等［19］獲得了方程（1）的單孤子以及雙孤子解。當(dāng)γ＝2時(shí)，基于達(dá)布變換迭代算法，Zhang等［20］得到了耦合非線(xiàn)性薛定諤方程的單峰與雙峰孤子解。本文中利用廣義達(dá)布變換，著重研究式（1）的2階孤子相互作用的動(dòng)力學(xué)特性。目前還沒(méi)有相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)其進(jìn)行研究。

其中hi1和hi2（i＝1…4）是復(fù)雜的參數(shù)且不全為零。將代入達(dá)布變換［17］，得到了相干耦合非線(xiàn)性薛定諤方程的1階半有理函數(shù)解，

2 經(jīng)典達(dá)布變換及廣義達(dá)布變換

在零振幅背景下［11］，討論相干耦合非線(xiàn)性薛定諤方程2階孤子的動(dòng)力學(xué)行為。在方程（6）中，通過(guò)選取不同的參數(shù)值，可以得到以下3種情況：

式中λ代表光譜參數(shù)，

利用Lax對(duì)的零曲率方程Ut-Vx+［U，V］＝0，可得到相干耦合非線(xiàn)性薛定諤方程（1）。假設(shè)種子解q1［0］＝q2［0］＝0，則Lax對(duì)式（2）（3）的解如下：

結(jié)構(gòu)安排如下：在第2節(jié)中，引入式（1）的Lax對(duì)，利用經(jīng)典達(dá)布變換以及廣義達(dá)布變換，得到方程的1階以及2階孤子的表達(dá)式。根據(jù)所給出的種子解q1［0］和q2［0］以及矢量本征函數(shù) Φ［0］，利用泰勒級(jí)數(shù)和達(dá)布迭代法，求出1階與2階孤子解。在第3節(jié)中，基于2階孤子解，利用數(shù)值模擬，得到了2階孤子相互作用的動(dòng)力學(xué)行為三維圖。在第4節(jié)中，給出了相干耦合非線(xiàn)性薛定諤方程的一些結(jié)論。

① 當(dāng)Re（λ1）≠Re（λ2）（Re表示復(fù)數(shù)的實(shí)部），如圖1（a）所示，在q1分量中單峰孤子之間發(fā)生相互作用，呈”十”字交匯狀并在兩峰交匯處會(huì)產(chǎn)生大振幅孤子。在q2分量中孤子的形態(tài)由單峰變?yōu)殡p峰并發(fā)生相互碰撞，呈雙“十”字交疊在一起并在兩峰交匯處產(chǎn)生2個(gè)大振幅孤子。值得注意的是，q1與q2分量的振幅存在很大差異但它們的相位并未發(fā)生任何改變。q1分量振幅在5左右，而q2分量振幅在0.4左右。如果改變?chǔ)?的取值，孤子之間會(huì)發(fā)生相互吸引的現(xiàn)象，如圖1（b）所示。當(dāng)增大γ的取值，會(huì)使孤子的振幅變大。

美國(guó)在滿(mǎn)足糧食自給和出口的同時(shí)，1/3的土地處于休耕狀態(tài)，農(nóng)作也是一熟制，合理密植技術(shù)也遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒(méi)有達(dá)到中國(guó)這樣淋漓盡致的利用水平，美國(guó)可以輕而易舉地在短期內(nèi)提高30%～50%的糧食產(chǎn)量，從10年以上的長(zhǎng)期來(lái)看，提高100%的糧食產(chǎn)量也并非難事。若真如此，低價(jià)的美國(guó)農(nóng)產(chǎn)品充斥世界，對(duì)農(nóng)業(yè)不發(fā)達(dá)的國(guó)家農(nóng)業(yè)和自然稟賦差的國(guó)家農(nóng)業(yè)將是毀滅性災(zāi)難，美國(guó)農(nóng)業(yè)具備摧毀當(dāng)今世界絕大多數(shù)國(guó)家農(nóng)業(yè)體系的能力。

3 孤子的相互作用及結(jié)論

方程（1）的Lax對(duì)如下：

② 當(dāng)lm（λ1）≠lm（λ2）（lm表示復(fù)數(shù)的虛部），如圖1（c）所示，在q1分量中單峰亮孤子之間形成束縛態(tài)，并發(fā)生了周期性的相互吸引或排斥。在q2分量中雙峰孤子之間的動(dòng)力學(xué)性態(tài)與q1類(lèi)似。與①類(lèi)似，q1與q2分量的振幅變化很大，但其相位沒(méi)有發(fā)生任何改變。

圖1 2階孤子的動(dòng)力學(xué)性態(tài)圖

學(xué)校可以開(kāi)展針對(duì)任務(wù)型教學(xué)法的觀課、評(píng)課比賽。通過(guò)學(xué)習(xí)其他教師的教學(xué)優(yōu)勢(shì)，提高自身素質(zhì)，定期檢查教案，評(píng)比教案。教師需要反復(fù)收集材料，處理材料，設(shè)定任務(wù)，精算時(shí)間。這是一個(gè)班級(jí)成功的關(guān)鍵。備課是一項(xiàng)艱苦的心理活動(dòng)，教師必須在有限的時(shí)間內(nèi)計(jì)劃好所有的步驟，準(zhǔn)備應(yīng)對(duì)緊急情況的策略。與沒(méi)有任何準(zhǔn)備的純教學(xué)相比，它有不同的效果。在任務(wù)的設(shè)計(jì)上，一個(gè)課時(shí)的任務(wù)數(shù)量要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容來(lái)設(shè)置。它不能太多或太少。Skehan曾說(shuō)過(guò)，“任務(wù)型教學(xué)的核心是讓學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)語(yǔ)言完成任務(wù)。”[1]任務(wù)設(shè)置必須有針對(duì)性。通過(guò)完成這項(xiàng)任務(wù)，學(xué)生將掌握一些技能。老師應(yīng)該掌握這項(xiàng)工作的困難程度。

2）當(dāng)h21＝h32＝h41＝0，lm（λ1）≠lm（λ2），如圖2（a）所示，在q1與q2分量中，孤子之間發(fā)生相互碰撞。其中，在q1分量中一組單峰孤子與一組雙峰孤子之間形成周期性相互作用，其傳播方向與t軸平行。在q2分量中一組單峰孤子變?yōu)殡p峰孤子并與另一組雙峰孤子之間發(fā)生周期性的相互吸引與排斥，其傳播方向仍與t軸平行。

簡(jiǎn)化檢定法要點(diǎn)：在每個(gè)儀器站上用望遠(yuǎn)鏡盤(pán)左和盤(pán)右對(duì)每個(gè)目標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行觀測(cè)，獲取目標(biāo)點(diǎn)的三維坐標(biāo)（x，y，z），這樣在2個(gè)儀器站上共獲得16組目標(biāo)點(diǎn)的三維坐標(biāo)測(cè)量數(shù)據(jù)。每次設(shè)立儀器站，儀器度盤(pán)的初始方向無(wú)特定要求，可以是任一數(shù)值，但在整個(gè)觀測(cè)期間，需要保持目標(biāo)點(diǎn)穩(wěn)定可靠。

圖2 2階孤子的動(dòng)力學(xué)性態(tài)圖

4 結(jié)論

主要利用廣義達(dá)布變換求解相干耦合非線(xiàn)性薛定諤方程的2階孤子解。通過(guò)改變參數(shù)的取值研究了2階孤子之間相互碰撞的動(dòng)力學(xué)特征。利用數(shù)值模擬，做出了一系列孤子相互作用的三維圖并對(duì)其進(jìn)行了分析。