基于FFD 和軸變形方法的翼身融合水下滑翔機外形參數化建模

張代雨，王志東，凌宏杰，朱信堯

(江蘇科技大學 船舶與海洋工程學院，江蘇 鎮江 212003)

0 引 言

水下滑翔機（Autonomous Underwater Glider，AUG）[1–4]作為一種新型的水下航行器，具有能源需求量小、航行效率高、航行時間長、成本和維護費用低等優點，在大范圍海洋探索和監測中發揮出越來越重要的作用。水下滑翔機的基本工作原理是將水翼所產生的升力轉化為推動其向前的動力，故水動力性能的優劣對水下滑翔機的總體性能和航行距離具有重要影響。水下滑翔機外形優化設計可提高水下滑翔機的水動力性能，已成為水下滑翔機的熱點研究方向[5]。

外形參數化是水下滑翔機外形優化設計的重要內容，其主要通過一定的函數關系，用一組設計參數（也被稱為設計變量）對水下滑翔機的幾何形狀進行定義和表示，從而將水下滑翔機外形的優化設計過程轉化為對這組設計變量的尋優過程。因此，從降低優化計算量和提高優化結果兩方面考慮，既要求采用的參數化方法能夠采用較少的參數對幾何外形進行定義，又要保證一定精度，同時提供充分的設計空間，能夠描述盡可能豐富的外形變化。

相較于由回轉體、水翼和操縱面組成的傳統布局水下滑翔機，翼身融合（Blended-Wing-Body，BWB）水下滑翔機[5–6]具有剖面形狀的身，且水翼平滑地與機身融合在一起，具有更高的升阻比，水動力性能更好。但翼身融合水下滑翔機的外形曲面也更為復雜，機身與機翼連接處運用了大量的曲線、曲面平滑過渡，很難用簡單的外形參數化方法進行描述。

CAD（Computer Aided Design）參數化方法[7]是一種基于計算機輔助設計軟件的參數化方法。這一類方法依賴如UG，CATIA 等商業CAD 軟件，可通過建立特征樹進行外形的自動生成，并且支持二次開發，具備一定的拓展性。但CAD 參數化方法無法直接操作水動力計算所需的CFD（Computational Fluid Dynamics）網格，需要將CAD 的外形變化映射到CFD 表面網格上，進而依據網格變形方法重新生成CFD 空間網格。此外，CAD 參數化方法在構建特征樹時，很難既保持部件間的特征，又滿足根據物理意義直觀地改變外形的設計要求。

B 樣條方法和非均勻有理B 樣條方法[8]（Non-uniform Rational B-spline，NURBS）主要通過移動控制點的位置實現水下滑翔機外形的參數化，能夠對曲面外形進行局部控制和光滑處理，具有很強的靈活性和良好的可微性。此外，該2 種方法可通過將表面網格投影至曲面上[9–10]，求解出每個網格點的局部坐標值，進而對表面網格直接進行操控，克服CAD 參數化方法的缺點。但該2 種方法首先需要將外形曲面劃分為一系列的拼接曲面，要求外形具有結構化的拓撲結構；然后要求不同曲面在拼接處具有連續可微性，實現起來較為繁瑣和困難。總的來說，在復雜外形的應用中靈活性不足。

近年來，自由變形方法（Free-form Deformation，FFD）[11]以其簡單靈活、易于保持外形的拓撲結構和光滑性等優點，被廣泛應用于外形的優化設計過程中。FFD 方法主要基于彈性物體受力變形的思想，將欲變形的幾何外形控制點或者CFD 表面網格包絡在一個FFD 控制體當中，變形時改變控制體的形狀，則控制體內的幾何外形控制點或者CFD 表面網格同時發生相應的改變。該過程無需生成幾何外形，不需要具備很強的幾何知識儲備，也不需要將幾何變形映射到CFD 表面網格中，操作簡單并具備較好的局部變形能力。但對于翼身融合水下滑翔機，外形比較復雜，若把FFD 控制體的每一個控制點都作為優化變量，則會導致優化設計變量過多、計算量大、效率低、收斂慢等問題。

針對上述問題，本文首先建立翼身融合水下滑翔機外形的FFD 參數化模型，實現翼身融合水下滑翔機的自由變形；然后在FFD 控制體內建立參考軸，提出一種翼身融合水下滑翔機外形的軸變形參數化方法，減少優化變量的數目及計算量；最后通過實例驗證所提方法的有效性。

1 FFD 參數化模型

FFD 方法為Sederberg 和Parry 在1986 年提出[12]。該方法基于彈性物體受力變形的思想，如果將研究對象放置于彈性體內，給彈性體施加外力后，則彈性體內部的空間會發生形變，嵌入其中的研究對象也會根據某種映射關系發生變化。對于翼身融合水下滑翔機來說，可以采用其CFD 表面網格（即為物面網格邊界）來表達幾何外形，將表面網格導入到FFD 控制體中，通過FFD 控制體變化可實現優化過程中的水下滑翔機外形變化。

為了采用FFD 方法對CFD 表面網格進行參數化，首先，需要在表面網格周圍建立FFD 控制體。Bernstein 多項式、B 樣條函數或NURBS 函數等均可作為基函數來創建FFD 控制體，但考慮到Bernstein 多項式的局部變形性能不佳，實際中常采用B 樣條函數或者NURBS 函數創建FFD 控制體。

曲線節點矢量U上的p階BNi,p(u)樣條基函數 可表述如下：

由B 樣條基函數創建的控制體方程可表述如下形式：

式中：Pi,j,k為FFD 控制體上的控制點在原始笛卡爾坐標系中的坐標值；Ni,p(u)、Nj,p(v)和Nk,p(w)分別為參數化空間 (u,v,w) 上的p階B 樣條基函數。

然后，計算待變形的各個網格點在FFD 控制體中的局部坐標 (u,v,w)，其中局部坐標的3 個分量均位于[0，1] 之間，通過逆向求解式（3）確定。需注意的是，每個網格點的局部坐標只需計算一次，不需要在每次CFD 網格變形的過程中重復計算。

接著，改變FFD 控制點的位置，產生位移量?Pi,j,k，則任一個局部坐標為 (u,v,w) 的網格點的位移 ?K可由下式確定：

最后，可得到變形后表面網格上每一個網格點的位置(u,v,w)為：

考慮到翼身融合水下滑翔機外形常常左右對稱，故取其一半建立相應的FFD 控制體，如圖1 所示。其中，大點為FFD 控制體的控制點，小點為嵌入的水下滑翔機表面網格，通過改變控制點的位置，可間接實現翼身融合水下滑翔機外形的變形控制。

圖1 翼身融合水下滑翔機的FFD 控制體Fig. 1 FFD control volume of BWB

2 軸變形參數化方法

盡管FFD 參數化方法具有不依賴外形拓撲結構、可保持初始外形連續光滑、變形簡單靈活等優點，但若把每一個FFD 控制體的控制點都作為優化變量，對于復雜外形，則會導致優化設計變量規模過大，進而造成優化設計計算量大、效率低、收斂慢等問題。

對于翼身融合水下滑翔機外形，如何既能充分利用FFD 參數化方法的優點，又合理控制優化設計變量的規模，是一個亟需解決的問題。本文提出一種基于軸變形的全局FFD 參數化方法，在FFD 控制體內引入一條參考軸，并將FFD 的所有控制點關聯到該參考軸上，通過設置全局變量對參考軸進行變形控制，進而實現對FFD 控制點的分組集中控制，減少優化設計變量的規模。該方法詳細闡述如下：

1）使用如下的p階B 樣條曲線定義一條參考軸：

式 中：Qi(i=1,···,N)是曲線的N個控制點；Ni,p(s)是曲線節點矢量S上的p階B 樣條基函數。

2）將FFD 控制點映射到參考軸上。映射的主要思路為：對于每個FFD 控制點Pi,j,k，分別求出參考軸上與其距離最近的點，則該點為相應FFD 控制點在參考軸上的映射點，并計算出其在參考軸上的參數化坐標值為。該映射方法保證每個FFD 控制點與相應映射點的直線與參考軸在映射點處的切線具有垂直關系。求出映射點后，計算每個FFD 控制點到映射點的向量，以備后續步驟使用。圖2為翼身融合水下滑翔機的FFD 控制點到參考軸的映射圖，圖中，曲線1 表示參考軸，黑色點表示FFD 控制點，虛線表示映射向量。

圖2 FFD 控制點對于參考軸的映射圖Fig. 2 Mapping of FFD control points to reference axis

3）基于參考軸，設置弦長、展長、厚度、后掠角、上反角、幾何扭轉角等具有實際物理意義的全局變量，控制參考軸的變化，進而控制映射在參考軸上的FFD 控制點的變化。根據操控參考軸的方式不同，全局變量主要被分為兩類：一類通過改變參考軸在笛卡爾坐標系中的長度、角度等形狀參數，進而實現映射在參考軸上的FFD 控制點沿軸向變化，如展長、后掠角及上反角等全局變量，統稱為軸向全局變量；另一類不需要改變參考軸在空間中的形狀，只需在參考軸任一參數化坐標s處給定具體的變量值，并根據變量值操控映射在參考軸上的FFD 控制點，進而改變任一參數化坐標s處截面的形狀，如弦長、厚度和幾何扭轉角等全局變量，統稱為截面全局變量。

對于軸向全局變量，本文主要借助于其變量值移動參考軸的控制點Qi，實現參考軸的形狀變化。假設該變量改變后將參考軸的控制點改變為Ti，則形狀改變后的FFD 控制點，可改變公式（6）中的控制點，由下式計算：

式中：X表示弦長、厚度和扭轉角等全局變量；Ti(X)表示控制點改變后的位置關于全局變量X的函數。

對于截面全局變量，本文主要借助于給定其在典型翼型剖面處的變量值Xi，并使用p階B 樣條曲線對其進行擬合，計算出參考軸任一參數化坐標s處的相應變量值V(s)，具體形式描述如下：

再通過V(s)改變映射在參考軸上的FFD 控制點Pi,j,k，并采用式（9）計算改變后的FFD 控制點：

式中，V()表示在FFD 控制點映射參數化坐標處的變量值，M為由V()確定的平移、縮放和旋轉矩陣。

4）根據FFD 控制點的新坐標，可通過式（4）和式（5）求得嵌入FFD 控制體中的表面網格的新坐標。

3 參數化實例

以一型左右對稱，軸長1.5 m、展長3 m 的翼型融合水下滑翔機為例，驗證所提參數化方法的可行性。

1）取滑翔機的左半邊，基于B 樣條基函數，在參數化空間 (u,v,w)上分別沿弦長方向布置6 個控制點，垂直方向布置2 個控制點、展長方向布置6 個控制點，建立該型翼身融合水下滑翔機的FFD 控制體，其總共具有72（ 6×6×2）個控制點，并以FFD 控制體在展長方向的每個剖面的中點作為控制點建立參考軸，如圖3 所示。其中，黑色點表示FFD 的控制點，曲線1 表示建立的參考軸。

圖3 翼身融合水下滑翔機FFD 控制體實例Fig. 3 Example of FFD control volume of BWB

2）設置展長全局變量，將參考軸沿展長方向增加0.50 m，可得到改變后的參考軸和FFD 控制體，如圖4所示。

圖4 參考軸沿展向增加0.5 m 后的FFD 控制體Fig. 4 FFD control volume after the reference axis is increased by 0.5 m along the spanwise direction

3）設置弦長和厚度全局變量，將第5 個剖面處的展長和弦長同時增大到2 倍，可得到改變后的參考軸和FFD 控制體，如圖5 所示。

圖5 第5 個剖面展弦長同時擴大2 倍后的FFD 控制體Fig. 5 FFD control volume after the chord length of the fifth section is expanded by 2 times

圖6 第3 個剖面旋轉20°后的FFD 控制體Fig. 6 FFD control volume after the third section rotates 20 degrees

4）設置扭轉角全局變量，將第3 個剖面處的FFD 控制點旋轉20°，則可得到圖6 中所示的參考軸和FFD 控制體。分析對比圖3～圖6 可以發現：通過參考軸，設置全局變量對FFD 控制點進行分組集中控制，既可根據物理意義直觀地改變外形的形狀，又可克服FFD 方法帶來的優化變量過多的不足，減少優化設計變量的個數。

4 結 語

外形參數化是翼身融合水下滑翔機外形優化設計的重要內容，針對CAD、B 樣條、非均勻有理B 樣條等參數化方法在翼身融合水下滑翔機外形參數化建模中存在的問題，本文提出一種基于FFD 和軸變形方法的翼身融合水下滑翔機外形參數化建模方法，該方法具有以下特征：

1）采用B 樣條基函數建立翼身融合水下滑翔機外形的FFD 控制體，通過改變FFD 控制體的形狀，對嵌入的幾何外形或CFD 表面網格實現自由變形。

2）在FFD 控制體內引入一條參考軸，并將FFD控制體上的所有控制點關聯到該參考軸，通過設置全局變量對參考軸進行變形控制，進而實現對FFD 控制點的集體控制，減少優化變量的數目。