基于雙十字形測量結構的磁信標定位方法*

趙 震楊賓峰王 潤管 樺

(空軍工程大學信息與導航學院，陜西 西安710000)

磁是自然界最普遍的現象之一，早在戰國時期，人們就開始使用司南確定方位，隨著人類對磁場的深入探索，磁技術被廣泛應用到醫療、探礦、船舶和飛行器定位等領域[1-6]。 與無線電定位技術相比較，磁定位技術抗干擾性更好，對于遮擋物的穿透力更強。

在磁定位技術中，基于磁梯度張量(Magnetic Gradient Tensor，MGT)的定位技術，算法簡單，精度高，成為磁定位技術研究的熱點。 張朝陽等[7]利用磁偶極子模型推導出了MGT 定位算法公式，并進行了仿真分析。 李青竹等[8-9]對多種MGT 測量結構進行了比較，證明十字形結構具有最小的定位誤差。王潤等[10-11]提出了旋轉磁信標MGT 的計算方法，可有效分離噪聲信號。

在磁信標定位過程中，地磁場對信標磁場影響較大，隨著運動載體與磁信標距離增大，定位誤差隨之變大。 在降低地磁場影響方面，于振濤等[12]對單點MGT 定位算法進行偏微分求導，提出了一種改進算法，該算法計算過程較為復雜，對磁傳感器精度要求較高。 鄧國慶等[13]通過預先測量地磁場強度，利用差分的方法消除地磁場，帶來人為因素影響。 針對這些問題，基于雙十字形測量結構的磁信標定位方法從單點MGT 算法出發，設計了一套有效降低地磁場干擾的定位系統。

1 磁梯度張量定位原理

1.1 磁梯度張量

在空間直角坐標系中，磁感應強度用三維列向量B(Bx，By，Bz)表示，Bx，By，Bz為磁感應強度在x軸、y軸和z軸上的分量。MGT為磁感應強度三個分量分別在x軸、y軸和z軸上的變化率，共有9 個元素，用三階矩陣G表示:

在磁信標定位系統中，一般使用永磁體作為磁信標，也可使用直流通電螺線管，此時磁信標空間磁場為靜態磁場，由麥克斯韋方程組可知，磁感應強度的散度和旋度均為0，可求得G關于主對角線對稱，且主對角線元素和為0，于是我們只需5 個獨立的元素，便可確定任意空間點上的MGT。

1.2 磁梯度張量定位算法

磁信標尺寸遠小于定位目標與磁信標之間的距離時，可將磁信標作為磁偶極子看待，并通過式(1)計算出空間任意點的MGT。 根據畢奧薩伐爾定理，與磁偶極子相對位置為r處點的磁感應強度為:

式中:μ0為真空磁導率，m為信標磁矩，nr為位置矢量r的單位矢量，r為矢量r的模。

假設r＋dr處的磁感應強度為B′，則兩點間的磁感應強度差為:

又因為

可得:

兩點間MGT 還可表示為:

聯立式(3)、式(4)，得出MGT 定位方程:

1.3 兩點磁梯度張量定位算法

針對MGT 定位算法很難直接降低地磁場影響這一問題，提出了一種改進算法，通過測量相鄰兩點MGT，并利用磁矩與磁感應強度相關公式，推導出不依賴目標點磁感應強度的定位算法。 磁感應強度與信標磁矩的轉化公式為:

m為信標磁矩，A是一個與目標位置相關的矩陣，其表達式為:

式中:(x，y，z)是目標位置坐標，r為目標到磁信標的距離。 設空間上兩點坐標為:

對應的磁梯度張量為G1、G2，依據式(5)、式(6)可得:

設兩點間的距離矢量c＝r1-r2。 聯立式(8)、式(9)，消去磁矩m，可得:

I是單位陣，G1、G2可通過磁測量結構計算得出，兩點間的位置矢量c是預先設置的已知量，A1、A2只與r1有關，因此式(10)、式(11)是關于r1的非線性方程，通過設置目標函數，利用優化算法，能夠求解出空間點的位置。

2 求解算法

較為常見的優化算法有最小二乘法、粒子群算法、螢火蟲算法、免疫算法、差分優化算法等等。其中粒子群算法(Particle Swarm Optimization，PSO)是一種生物模擬優化算法[14-16]，算法中的每一個解都是一個“粒子”，這些“粒子”對于被優化的函數都有一個適應值，通過不斷迭代，完成設定的迭代次數或者達到要求的適應值，從而搜索出最優“粒子”。 相較于其他優化算法，PSO 算法收斂速度快、容易實現、全局搜索性能好，本文使用粒子群算法求解。

根據式(10)，可設δ:

δ表示r1通過粒子群算法得到的解與其真實值的偏差，δ的模越小解越接近r1的真實值，因此可以用δT·δ衡量解的準確性。

設定目標函數f:

經過100 次迭代后，目標函數誤差達到10-11數量級，能夠保證系統具有較小的誤差。

3 雙十字形測量結構設計

MGT 定位系統的測量結構主要有三角形、十字形和正方形，對于測量誤差而言，十字形優于正方形和三角形[17]。 考慮到需要計算兩點的MGT，同時在系統定位過程中能夠得出較準確的定位數據，較少出現定位誤差突變，保持系統穩定性，在十字形測量結構的基礎上構造出雙十字形測量結構。 測量結構由水平、垂直兩個平面十字形測量結構組合而成，如圖1，共包含8 個三軸磁傳感器，相鄰兩個傳感器距離d均相等，傳感器坐標軸對應平行。

圖1 雙十字形測量結構示意圖

以磁信標為原點構建空間直角坐標系，圖1 展示了測量結構的內部關系，以及磁信標與測量結構的空間關系，測量結構被封裝在一個長方體空間中，作為定位裝置的一部分被安裝在運動載體上。

用Bij(i＝1，2，…，8，j＝x，y，z)表示傳感器i在j方向上的磁感應強度分量，其中矩陣Gi(i＝1，2)為對稱陣，分別表示傳感器4 和傳感器6 所在點上的MGT 值，表達式為:

4 仿真實驗

磁定位技術可應用于鉆井、小型無人機起降、潛艇下潛和上浮等場景，在這些領域內，更關心豎直方向上的定位精度，因此設定運動載體沿豎直方向運動。 同時，兩點MGT 定位方法是通過空間點的磁場信息與其位置信息建立對應關系，從而確定空間點的位置坐標，誤差不隨時間積累，在優化算法計算速度較快的情況下，不需引入位置與速度的約束關系就可實現實時定位。

仿真實驗條件:建立以磁信標為原點的空間直角坐標系，信標磁矩m＝(5×107A·m2，0，0)，傳感器間距設置為0.1 m、精度0.01 nT，粒子群算法最大迭代次數為100 次。 運動載體由點(20 m，20 m，2 m)沿直線運動至點(20 m，20 m，50 m)。 分別驗證磁矩、傳感器精度、傳感器間距，以及引入隨機噪聲和恒定磁場后，基于雙十字形測量結構的磁信標定位方法誤差變化。

4.1 傳感器精度對定位誤差影響

隨著傳感器技術的發展，體積更小、精度更高的磁傳感器逐漸出現，磁傳感器應用領域更加廣泛。為了達到實驗目的，分析傳感器精度對定位影響，設置傳感器精度分別為1 nT、0.1 nT 和0.01 nT，信標磁矩為(5×107A·m2，0，0)，傳感器間距0.05 m，進行仿真實驗，誤差變化如圖2 所示。

從圖2 可以看出，傳感器精度為1 nT 的定位誤差最大，z 軸50 m 內最大定位誤差為67 m，傳感器精度提升后，定位誤差顯著降低，精度為0.01 nT 的最大誤差僅為1.56 m，且96%的定位誤差在1 m 以內，可以看出傳感器精度對定位誤差影響很大。 對傳感器而言，精度越高、體積越小，價格就越高，制造工藝也會更加復雜，在選取傳感器時，必須綜合考量精度、穩定性、價格等要素。

4.2 傳感器間距對定位誤差的影響

考慮到計算MGT 時，必須用到傳感器間距d，同時對于運動載體而言，測量結構不能過大，設置傳感器間距分別為0.05 m、0.1 m 和0.2 m，傳感器精度為0.01 nT，信標磁矩為(5×107A·m2，0，0)，計算不同傳感器間距的定位誤差，結果如圖3 所示。

圖2 傳感器精度對定位誤差影響

圖3 傳感器間距對定位誤差影響

圖3 中三條誤差變化曲線相差不大，僅在z軸35 m 以后傳感器間距為0.05 m 的誤差變化較為明顯，同時傳感器間距與定位誤差不存在比例關系，但是可以選擇合適的傳感器間距，確保定位誤差符合要求，同時具有較好的平穩性。

4.3 磁矩大小對定位誤差的影響

對于磁信標而言，磁矩會影響磁感應強度，磁矩越大，空間點上的磁感應強度也越大，同時磁信標的體積和成本也會增加，這里設置磁矩分別為(0.5×107A·m2，0，0)、(1.5×107A·m2，0，0)、(5×107A·m2，0，0)，傳感器間距為0.1 m，精度為0.01 nT，進行仿真實驗，圖4 表示不同磁矩的定位誤差變化。

對比圖4 中的三條誤差曲線，磁矩為(0.5×107A·m2，0，0)時，誤差變化范圍從0.06 m 到3.62 m，相較于其他磁矩，誤差較大。 整體上看，信標磁矩越大，誤差越小、變化越平穩。z軸25 m 內，三條誤差曲線最大相差0.2 m，25 m 至50 m 時，誤差最大相差3 m，提高磁矩具有降低定位誤差的作用，但提升信標磁矩的同時也會增加成本，在定位距離較近的情況下(25 m 以內)，可以選取磁矩較小的磁信標，不僅能夠確保較小的定位誤差，還能降低系統成本。

圖4 磁矩對定位誤差影響

4.4 隨機噪聲對定位誤差的影響

在空間環境中存在著自然和人為的隨機磁噪聲信號，噪聲會影響傳感器對磁感應強度的測量，產生定位誤差。 設置信噪比分別為70 dB、80 dB、90 dB的磁信號，進行定位誤差對比，結果如圖5 所示。

圖5 信噪比對定位誤差影響

從圖5 可以看出，信噪比為80 dB 和90 dB 時，定位誤差較小，環境中的隨機噪聲對定位影響不大，z軸50 m 內最大誤差分別為3 m 和1 m。 70 dB 信噪比時，噪聲持續對定位系統產生較大影響，相對定位誤差達到100%以上，絕對誤差最大達到15 m，嚴重影響定位可靠性。 從整體上看，信噪比越大，定位誤差越小，在較強隨機噪聲(信噪比小于70 dB)影響下，系統定位可靠性變差。

4.5 恒定噪聲條件下兩種定位方法誤差比較

地球表面附近存在著地磁場和各種異常磁場，這些磁場影響范圍大，變化連續、平穩，在較小范圍內，可認為地磁場恒定不變。 對于磁矩較小的磁信標，不能忽視恒定磁場引起的定位誤差，于是在信標磁場中引入強度為(0，0，1 000 nT)的恒定磁場，計算十字形測量結構MGT 定位方法和雙十字形測量結構兩點MGT 定位方法的誤差，結果如圖6 所示。

圖6 MGT 和兩點MGT 定位誤差對比

圖6 表明，在z軸方向加入1 000 nT 的恒定磁場后，MGT 定位誤差隨定位距離增大而緩慢增長，最大誤差為1.72 m，大于兩點MGT 的0.62 m。 可以看出，在地磁場和其他恒定磁場的影響下，基于雙十字形測量結構的定位方法可有效減小定位誤差，其結果優于十字形測量結構MGT 定位方法。

5 總結

本文提出了一種利用兩點MGT 進行定位的方法，設計出了計算兩點MGT 的雙十字形測量結構，并通過粒子群優化算法求解出了目標位置。 仿真結果表明，z 軸25 m 外，磁傳感器精度和信標磁矩是影響定位誤差的主要內部因素，整體上看，傳感器精度越高、信標磁矩越大，定位誤差越小；不能忽略隨機噪聲對定位誤差的影響，信噪比低于80 dB 時，定位誤差顯著增大，系統可靠性降低；地磁場和其他恒定噪聲會對信標磁場產生影響，此時，基于雙十字形測量結構的兩點MGT 定位方法顯現出其優越性，其結果優于十字形測量結構MGT 定位方法，同時相較于其他消除地磁場影響的方法，本文方法實現簡單，定位精度高，不存在人為因素影響。