基于自適應(yīng)事件觸發(fā)和量化的時(shí)滯系統(tǒng)分布式濾波*

喬偉豪朱鳳增彭 力

(1.江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院，物聯(lián)網(wǎng)應(yīng)用技術(shù)教育部工程中心，江蘇 無錫214122；2.無錫太湖學(xué)院物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院，江蘇省物聯(lián)網(wǎng)應(yīng)用技術(shù)重點(diǎn)建設(shè)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 無錫214064)

近年來，隨著無線傳感器網(wǎng)絡(luò)(WSN)在環(huán)境監(jiān)測(cè)，工業(yè)自動(dòng)化，智能交通等多個(gè)領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，基于WSN 的分布式濾波問題受到越來越多學(xué)者的關(guān)注和研究[1-3]。 WSN 由多個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)組成，在分布式濾波網(wǎng)絡(luò)中，每個(gè)濾波器節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)，每個(gè)濾波器節(jié)點(diǎn)根據(jù)固定互連拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)使用自身測(cè)量值及其鄰居節(jié)點(diǎn)測(cè)量值來估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)。 通過部分濾波器間的數(shù)據(jù)通信產(chǎn)生全局估計(jì)。與傳統(tǒng)的集中式濾波相比，分布式濾波在傳感器故障和傳輸約束方面具有更高的魯棒性。 即使兩個(gè)濾波器之間存在由于濾波器或傳感器節(jié)點(diǎn)故障等原因?qū)е碌臄?shù)據(jù)失效，依然可以從其他鄰居節(jié)點(diǎn)獲取信息，并且對(duì)系統(tǒng)的估計(jì)不會(huì)嚴(yán)重失真。

在關(guān)于分布式濾波問題的研究中，l2-l∞濾波方法針對(duì)系統(tǒng)模型中存在的不確定性及外部噪聲等問題有很好的濾波效果[4-6]。 但分布式濾波在提高魯棒性的同時(shí)也帶來了能耗和通信資源開銷增大的問題。 在某些無線網(wǎng)絡(luò)中，需要盡可能的降低功耗和節(jié)約通信資源。 因此，事件觸發(fā)機(jī)制是一個(gè)非常好的解決辦法。 通過某種觸發(fā)條件判斷濾波器節(jié)點(diǎn)是否傳遞自身估計(jì)信息給鄰居節(jié)點(diǎn)，能夠有效降低信息傳輸頻率，降低網(wǎng)絡(luò)通訊負(fù)擔(dān)。 由于這一優(yōu)勢(shì)，事件觸發(fā)機(jī)制引起越來越多學(xué)者的關(guān)注，文獻(xiàn)[7]提出了一種新型的事件觸發(fā)方案來確定是否傳輸數(shù)據(jù)。 文獻(xiàn)[8]提出了一個(gè)基于事件觸發(fā)機(jī)制的時(shí)滯系統(tǒng)H∞濾波模型，文獻(xiàn)[9]提出了一種多傳感器網(wǎng)絡(luò)的事件觸發(fā)方案。 以上文獻(xiàn)研究的事件觸發(fā)閾值都是預(yù)設(shè)常數(shù)，事件觸發(fā)閾值和通信網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)傳輸速率相關(guān)，閾值固定導(dǎo)致事件觸發(fā)機(jī)制無法根據(jù)系統(tǒng)變化動(dòng)態(tài)改變數(shù)據(jù)傳輸速率，會(huì)造成通信資源浪費(fèi)。 因此針對(duì)事件觸發(fā)閾值的動(dòng)態(tài)優(yōu)化是非常具有研究意義的問題。 文獻(xiàn)[10]研究了網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)自適應(yīng)事件觸發(fā)機(jī)制下H∞濾波，提出了一種自適應(yīng)觸發(fā)機(jī)制來節(jié)約網(wǎng)絡(luò)資源。 文獻(xiàn)[11]研究了離散系統(tǒng)自適應(yīng)事件觸發(fā)機(jī)制下H∞跟蹤控制。 文獻(xiàn)[12]提出了一種改進(jìn)的自適應(yīng)事件觸發(fā)機(jī)制設(shè)計(jì)方法。以上文獻(xiàn)探討了自適應(yīng)事件觸發(fā)的方案，但針對(duì)離散系統(tǒng)自適應(yīng)事件觸發(fā)機(jī)制下分布式濾波問題的研究不夠豐富，并且設(shè)計(jì)的事件觸發(fā)條件沒有考慮鄰居節(jié)點(diǎn)信息。 因此研究一種針對(duì)離散系統(tǒng)具有自適應(yīng)閾值參數(shù)的自適應(yīng)事件觸發(fā)機(jī)制具有十分重要的意義，以便在解決濾波問題的同時(shí)保持令人滿意的資源利用效率。

在WSN 中，由于傳感器的測(cè)量精度有限且測(cè)量信號(hào)通過帶寬有限的網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行傳輸，因此，測(cè)量信號(hào)在傳輸前通常需要進(jìn)行量化處理，但量化作用會(huì)導(dǎo)致量化誤差的產(chǎn)生，對(duì)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性和性能產(chǎn)生影響，因此量化作用對(duì)控制系統(tǒng)的影響是一個(gè)值得研究的問題。 文獻(xiàn)[13]提出了一種傳感器信號(hào)量化模型。 文獻(xiàn)[14]研究了帶有量化的采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)的H∞濾波。 此外，控制系統(tǒng)中時(shí)滯問題也普遍存在[15-16]，盡管由于5G 網(wǎng)絡(luò)的興起，網(wǎng)絡(luò)傳輸?shù)臅r(shí)滯問題得到一定程度上的解決，但是系統(tǒng)由于自身信息內(nèi)部傳輸和外部干擾等因素依舊存在滯后現(xiàn)象，因此時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性問題仍具有重要意義。

本文研究了一類自適應(yīng)事件觸發(fā)機(jī)制下的離散時(shí)滯系統(tǒng)的分布式量化濾波問題，考慮了一種新型的分布式事件觸發(fā)機(jī)制，觸發(fā)條件通過濾波器自身估計(jì)值和最新傳輸數(shù)據(jù)以及鄰居節(jié)點(diǎn)最新傳輸數(shù)據(jù)共同決定。 提出一種自適應(yīng)事件觸發(fā)參數(shù)動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)方案，在保證濾波器性能前提下節(jié)約網(wǎng)絡(luò)通信資源。考慮量化和時(shí)滯問題對(duì)系穩(wěn)定性的影響。 設(shè)計(jì)了離散時(shí)滯系統(tǒng)滿足性能指標(biāo)的分布式量化濾波器，并利用LMI 方法，給出濾波器滿足均方指數(shù)穩(wěn)定并且滿足給定性能的充分條件。

1 問題的描述

考慮一個(gè)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的傳感器網(wǎng)絡(luò)，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)由有向圖G＝(V，E，A)來表示，其中V＝{1，2，…，n}為節(jié)點(diǎn)集，為邊界集，A＝[aij]n×n(aij≥0)為鄰接矩陣。 如果有向圖G存在一條從節(jié)點(diǎn)j到節(jié)點(diǎn)i的邊界，那么有序?qū)?i，j)∈E，并且aij＞0，并稱節(jié)點(diǎn)j為節(jié)點(diǎn)i的一個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)。 此外我們假定，對(duì)于所有的i∈V，aii＝1。 因此(i，i)可以認(rèn)為是一條附加的邊界。 節(jié)點(diǎn)i的所有相鄰節(jié)點(diǎn)并加上本身，所構(gòu)成的集合稱為節(jié)點(diǎn)i的相鄰節(jié)點(diǎn)集，記為Ni＝{j∈V:(i，j)∈E}。G的Laplacian 矩 陣 為W＝A-L，其 中L＝diag{li}且

考慮如下具有時(shí)變時(shí)滯的離散系統(tǒng):

式中:x(k)∈Rl為狀態(tài)向量；ω(k)∈Rp是外部擾動(dòng)，屬于l2[0，∞)；z(k)∈Rm為待估計(jì)信號(hào)，τ(k)代表時(shí)變時(shí)滯，且滿足d1≤τ(k)≤d2；

傳感器節(jié)點(diǎn)i(0＜i＜n)的模型如下:

式中:yi(k)∈Rq是傳感器節(jié)點(diǎn)i的測(cè)量值，v(k)∈Rj是外部擾動(dòng)，屬于l2[0，∞)，系統(tǒng)矩陣A，Ad，B，M，Ci，Di都是已知的實(shí)矩陣。

考慮對(duì)數(shù)量化器f(·)，測(cè)量信號(hào)經(jīng)過量化處理，有ˉyi(k)＝f[yi(k)]，量化器f(·)是對(duì)稱的，也即f[-yi(k)]＝-f[yi(k)]，對(duì)數(shù)量化器定義為:

定義Δf∈[-δδ]，通過文獻(xiàn)[13]中的處理方法，f(·)可表示為f[yi(k)]＝(1＋Δf)yi(k)，故濾波器實(shí)際輸入可表示為:

數(shù)據(jù)量化采用對(duì)數(shù)量化器，針對(duì)量化函數(shù)f(v)＝v可以將量化誤差界定在[(1-δf)v(1＋δf)v]內(nèi)[13]。

自適應(yīng)事件觸發(fā)方案如圖1 所示，傳感器節(jié)點(diǎn)i測(cè)量數(shù)據(jù)yi(k)，數(shù)據(jù)經(jīng)過量化器量化后傳輸給濾波器節(jié)點(diǎn)i。 網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)濾波器節(jié)點(diǎn)從量化器和鄰居濾波器節(jié)點(diǎn)獲取數(shù)據(jù)。 濾波器節(jié)點(diǎn)中包含存儲(chǔ)器，存儲(chǔ)鄰居濾波器節(jié)點(diǎn)傳輸?shù)淖钚鹿烙?jì)值，當(dāng)新數(shù)據(jù)傳輸過來時(shí)，會(huì)丟棄舊有數(shù)據(jù)。 每個(gè)濾波器節(jié)點(diǎn)都通過事件觸發(fā)條件判斷最新估計(jì)數(shù)據(jù)是否向外傳輸。

圖1 自適應(yīng)事件觸發(fā)系統(tǒng)框圖

基于上述自適應(yīng)事件觸發(fā)設(shè)計(jì)方案，定義傳感器節(jié)點(diǎn)i的自適應(yīng)事件觸發(fā)條件如下:

式中:Φ＞0 表示待設(shè)計(jì)的事件觸發(fā)矩陣，k表示當(dāng)前采樣時(shí)刻，表示傳感器節(jié)點(diǎn)i在當(dāng)前時(shí)刻之前最新的事件觸發(fā)傳輸時(shí)刻，u為事件觸發(fā)時(shí)刻。 分布式自適應(yīng)事件觸發(fā)條件由濾波器節(jié)點(diǎn)自身最新傳輸?shù)臄?shù)據(jù)和鄰居節(jié)點(diǎn)最新傳輸數(shù)據(jù)共同決定。

其中，φi(k)和gi()分別為:

自適應(yīng)事件觸發(fā)閾值參數(shù)θi(k)由以下自適應(yīng)規(guī)則確定:

初始條件為θi(0)＞0。 自適應(yīng)事件觸發(fā)機(jī)制的事件觸發(fā)參數(shù)θi(k)是根據(jù)式(6)的條件從θi(0)遞減變化的。 濾波器事件觸發(fā)參數(shù)的變化條件由最新發(fā)送值和當(dāng)前估計(jì)值的誤差大小決定。θi(k)的值越小事件觸發(fā)越敏感。 參考文獻(xiàn)[12]中針對(duì)連續(xù)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的參數(shù)變化條件。

基于以上分析，針對(duì)傳感器節(jié)點(diǎn)i設(shè)計(jì)的濾波器結(jié)構(gòu)為:

式中:(k)表示濾波器i對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)，(k)是對(duì)信號(hào)z(k)的估計(jì)，Hi，Kij是需要確定的傳感器節(jié)點(diǎn)i的濾波器參數(shù)。

令

ei(k)＝則節(jié)點(diǎn)i的觸發(fā)采樣數(shù)據(jù)可表示為:

為了方便表述，考慮網(wǎng)絡(luò)中存在n個(gè)濾波器節(jié)點(diǎn)，定義k時(shí)刻誤差估計(jì)向量時(shí)刻估計(jì)值和事件觸發(fā)最新傳輸數(shù)據(jù)誤差輸出誤差估計(jì)向量，事件觸發(fā)參數(shù)初始值向量

式中:張量符號(hào)?代表克羅內(nèi)克積。

顯然，如果j?Ni，則是稀疏矩陣，可以表示為

定義:

根據(jù)式(1)和式(7)，增廣濾波誤差系統(tǒng)為:

式中:

本文的目標(biāo)是設(shè)計(jì)形式如(7)的濾波器，使得:①在外部擾動(dòng)ω(k)＝0 的情況下，增廣的濾波誤差系統(tǒng)是均方穩(wěn)定的。 ②在零初始條件下，濾波誤差系統(tǒng)式(10)具有l(wèi)2-l∞性能，即:

式中:

引理1[17]V(k)＝ηT(k)Pη(k)為L(zhǎng)yapunov 函數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)λ≥0，μ＞0，υ＞0 和0＜ψ＜1 使得:

和

那么有

引理2[18]令Q＝diag{Q1，Q2，Q3，…，Qn}，其中Qi∈Rp×p(1≤i≤n)是可逆矩陣，若W∈Rnp×nq，X＝QW則有W∈Wp×q?X∈Wp×q。

引理3[18]如果存在一個(gè)對(duì)稱矩陣P＞0 使得ATPA-P＜0，那么存在一個(gè)對(duì)稱矩陣P和矩陣G使得:

2 l2-l∞濾波分析

本節(jié)中，先給出使得濾波誤差系統(tǒng)式(10)均方指數(shù)穩(wěn)定并且具有l(wèi)2-l∞性能的充分條件。

定理1給定γ＞0，如果存在正定矩陣P，S和矩陣，使得

成立，那么濾波誤差系統(tǒng)式(10)是均方指數(shù)穩(wěn)定的，并且具有給定的l2-l∞性能。式中:

證首先要證明系統(tǒng)式(10)是均方穩(wěn)定的，此時(shí)ω(k)＝0，v(k)＝0。

取Lyapunov 函數(shù):

式中:P＞0，S＞0，則

那么

式中:

由Schur 補(bǔ)引理，式(16)隱含Λ1＋Λ2＜0，因此有:

式中:0＜α1＜λmin(-Λ1)，0＜α2＜λmin(-Λ2)。

存在α1，α2同時(shí)也滿足0＜α1＜λmin(P)，0＜α2＜λmin(S)那么

不難看出0＜ψ＜1。

那么由引理1，可以得到:

即系統(tǒng)式(10)是均方指數(shù)穩(wěn)定的。

定義性能函數(shù)為:

由式(5)可得:

考慮事件觸發(fā)需要滿足式(28)，自適應(yīng)事件觸發(fā)閾值參數(shù)θi(k)由式(6)所示自適應(yīng)規(guī)則確定。所以θi(k)是單調(diào)遞減的，當(dāng)θi(k)為θi(0)時(shí)，事件觸發(fā)頻率最低，系統(tǒng)趨向于穩(wěn)定。

濾波器定義性能函數(shù)J的時(shí)候需要考慮事件觸發(fā)條件(28)，故性能函數(shù)需要定義為式(29)的形式保證濾波器在事件觸發(fā)情況下系統(tǒng)穩(wěn)定。

令

考慮式(28)和式(29)可得:

式中:

由Schur 補(bǔ)引理可知，式(30)和式(16)是等價(jià)的，所以即J＜0，所以

所以k＞0 時(shí)，有

由式(31)顯然有

即:

3 l2-l∞濾波器設(shè)計(jì)

在本節(jié)中利用上一節(jié)的定理給出濾波器的具體設(shè)計(jì)方法。

定理2給定γ＞0，如果存在正定矩陣對(duì)稱陣P，S，矩陣使得式(35)和式(36)成立:

式中:

系統(tǒng)式(10)是均方指數(shù)穩(wěn)定的且具有給定的l2-l∞性能。

證 將文中定義的變量代入式(16)，根據(jù)引理3定義的等價(jià)矩陣可證得式(35)和式(16)是等價(jià)的，證畢。

定理3給定γ＞0，由引理2 可得，如果存在正定矩陣對(duì)稱陣P，S，矩陣V1，V2，V3，，使得式(37)和式(38)成立:

那么系統(tǒng)式(10)是均方指數(shù)穩(wěn)定并且具有給定的l2-l∞性能。

證構(gòu)造矩陣P和S為

采用文獻(xiàn)[10]所提出的變量替換法，即構(gòu)造矩陣

將式(39)及式(40)代入式(35)可得式(37)，那么可取濾波器參數(shù)為根據(jù)文獻(xiàn)[13]中方法可將Δf替換為δ，同時(shí)，由引理2 可知，ˉH和ˉK滿足式(9)的約束，證畢。

4 數(shù)學(xué)仿真

論文研究了基于自適應(yīng)事件觸發(fā)的時(shí)滯系統(tǒng)分布式濾波問題，下面通過數(shù)據(jù)仿真驗(yàn)證算法的有效性。

假定分布式濾波器數(shù)量為4 個(gè)，即，分布式濾波器的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為:

考慮離散系統(tǒng)參數(shù)如下:

選取時(shí)變時(shí)滯τ(k)的參數(shù)d2＝2，d1＝1，自適應(yīng)事件觸發(fā)參數(shù)初始值θ1(0)＝0.6，θ2(0)＝0.5，θ3(0)＝0.4，θ4(0)＝0.3，量化密度p ＝0.666 7。

利用MATLAB 的LMI 工具箱可以求得最優(yōu)γ＝2.658 9。 相應(yīng)仿真結(jié)果如圖2～圖5 所示。

圖2 系統(tǒng)實(shí)際輸出和濾波器估計(jì)輸出

圖2 是系統(tǒng)實(shí)際輸出和濾波器估計(jì)的比較圖，圖3 是濾波器事件觸發(fā)頻率圖，圖4 是自適應(yīng)事件觸發(fā)參數(shù)變化圖。 通過上述仿真實(shí)例可以看出自適應(yīng)事件觸發(fā)方案在系統(tǒng)實(shí)際輸出和估計(jì)誤差較大時(shí)減小事件觸發(fā)參數(shù)，增大事件觸發(fā)頻率，降低濾波器的估計(jì)誤差。 系統(tǒng)趨于穩(wěn)定情況，事件觸發(fā)參數(shù)變化較小，減小事件觸發(fā)頻率，節(jié)約通信資源。 故自適應(yīng)觸發(fā)方案能夠根據(jù)系統(tǒng)誤差情況動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)事件觸發(fā)頻率。

圖3 各濾波器觸發(fā)時(shí)刻

圖4 事件觸發(fā)閾值參數(shù)變化圖

圖5 無事件觸發(fā)系統(tǒng)實(shí)際輸出和濾波器估計(jì)輸出

通過圖2 和圖5 比較可以看出，增加了事件觸發(fā)機(jī)制的濾波器對(duì)系統(tǒng)的估計(jì)和沒有事件觸發(fā)機(jī)制下濾波器對(duì)系統(tǒng)的估計(jì)性能差距較小，但是事件觸發(fā)機(jī)制能夠節(jié)約較多的通信資源，故本文設(shè)計(jì)的事件觸發(fā)機(jī)制能夠在保證濾波性能的前提下節(jié)約較多的通信資源。 本文設(shè)計(jì)的自適應(yīng)事件觸發(fā)方案和文獻(xiàn)[19]中的事件觸發(fā)方案相比較可以看出，文獻(xiàn)[19]中采用固定增加減少一定數(shù)值的自適應(yīng)觸發(fā)參數(shù)變化方案。 本文設(shè)計(jì)的自適應(yīng)事件觸發(fā)方案能夠根據(jù)自身估計(jì)誤差以及鄰居節(jié)點(diǎn)最新觸發(fā)值之間的誤差動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)事件觸發(fā)參數(shù)，參數(shù)變化粒度更細(xì)，能夠更為準(zhǔn)確地調(diào)節(jié)事件觸發(fā)頻率，達(dá)到節(jié)約通信資源的目的。

5 結(jié)論

本文研究了基于自適應(yīng)事件觸發(fā)帶有數(shù)據(jù)量化的時(shí)滯系統(tǒng)分布式濾波，討論了自適應(yīng)事件觸發(fā)的設(shè)計(jì)問題。 設(shè)計(jì)了離散系統(tǒng)自適應(yīng)事件觸發(fā)方案，通過濾波器最新發(fā)送時(shí)刻估計(jì)值和當(dāng)前時(shí)刻估計(jì)值的誤差動(dòng)態(tài)修改事件觸發(fā)參數(shù)，使系統(tǒng)能夠在保證濾波器性能前提下減少數(shù)據(jù)發(fā)送次數(shù)節(jié)約網(wǎng)絡(luò)通信資源。系統(tǒng)中考慮了傳感器精度和網(wǎng)絡(luò)帶寬有限帶來的數(shù)據(jù)量化問題和系統(tǒng)內(nèi)部存在的時(shí)滯問題。 在濾波器設(shè)計(jì)方面，利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式方法，給出了分布式濾波器的滿足l2-l∞性能指標(biāo)的判據(jù)和濾波器參數(shù)的設(shè)計(jì)方法，最后通過數(shù)字仿真驗(yàn)證了設(shè)計(jì)方法真實(shí)有效。