基于隨機流網絡與Markov過程的制造系統可靠性建模及維護優化

高英銘，陳 震，張秀芳，潘爾順

(上海交通大學 機械與動力工程學院，上海 200240)

隨著科技進步和經濟發展，制造系統結構日趨復雜，企業間的競爭愈發激烈，對制造系統可靠性的要求也越來越高.制造系統可靠性是制造過程平穩進行、提高生產效率的重要保障，也是企業重要的競爭優勢所在.目前，對制造系統可靠性的評價主要分為兩類[1]：一類是對傳統單一設備可靠性定義的擴充，即制造系統在規定時間內正常運行的概率[2-3]；另一類是從制造系統任務可靠性的角度，即制造系統在規定時間內，完成的合格成品數量大于客戶需求數量的概率[4-5].

許多學者沿用傳統的可靠性定義來評估制造系統可靠性.何益海等[6]提出一種考慮產品質量的系統可靠性評價方法，將系統可靠性視為系統未失效和產品質量合格兩者概率的乘積，其中產品質量與設備刀具和夾具的磨損情況存在耦合效應，進而影響系統的失效概率.劉銀華等[7]在夾具磨損的基礎上，考慮來料偏差和定位時的配合公差，對車身裝配系統可靠性進行評價.杜世昌等[8]對制造系統中產品尺寸偏差的累積與傳遞效應進行建模，從系統層面控制尺寸偏差.Liu等[9]針對不可修復系統，建立非齊次Markov模型，分析多態系統性能的衰退過程.在此基礎上，周豐旭等[10]結合通用發生函數和模糊層次分析法分析非串聯多級制造系統的可靠性.Sharma等[11]結合故障樹分析(FTA)和失效模式及后果分析(FMEA)從定性和定量兩個方面分析復雜機電系統的可靠性.

同時，有許多學者認為任務可靠性更加適合用于制造系統的可靠性評價.Lin等[12]認為基于網絡模型分析系統的產能十分適用于制造系統的可靠性評估.Tina等[13]對離散的隨機流網絡系統進行分析，以輸出量作為指標進行可靠性建模，并提出Song Rule對模型進行簡化求解.Chang等[14]考慮設備間的聯合緩存，采用仿真方法隨機生成容量狀態，并通過敏感性分析確定最可能增加緩沖區容量的位置.Gu等[15]考慮材料及機器的動態變化，基于隨機流網絡對不同參數下的制造系統進行了數值分析.

以上學者在系統可靠性評估中，未考慮設備退化對系統可靠性的影響，因此無法全面反映不同階段制造系統的狀態.綜合分析制造系統可靠性與各設備退化及維護的關系，將維護優化從設備層擴展到系統層，有利于減少設備的不必要維護，在保障系統可靠性的同時，最小化維護成本.

針對現有研究的不足，本文以多工位流水線制造系統為研究對象，考慮產品返工情況，以任務可靠性作為制造系統可靠性的評價指標，運用隨機流網絡模型對系統可靠性進行建模，并基于Markov方法對設備狀態進行轉換建模，以平穩狀態下系統維護的平均總成本最低為目標，對系統的維護方案進行決策.

1 制造系統可靠性評價

圖1 制造系統網絡結構Fig.1 Structure of manufacturing system network

原材料依次在設備M1～Mn上加工變為成品，其中，設備Mr后的檢查點是一個返工檢查點，即設備Mr制造出的不良品將回到設備Mk進行返工.因此，對于給定的產量需求量AD，制造系統的可靠性可以用規定時間內系統輸出滿足需求的概率來表示

R=P(AO≥AD)

(1)

假設條件如下：① 產品各工序加工時間相同；② 每個產品最多返工一次；③ 不考慮設備的計劃停工時間；④ 原材料供給充足；⑤ 制造系統網絡為一個連續流網絡；⑥ 設備狀態間的轉換是一個齊次Markov過程，即每個狀態轉換至其他狀態的速率只與該狀態本身有關；⑦ 設備維護只能由較劣狀態向較優狀態維護，不會維護至更劣狀態，且設備處于故障狀態時必須維護.

(2)

同理，可計算出在設備Mk后的各個設備的輸入.綜上，任意設備Mi的輸入可以通過下式計算：

AIi=

(3)

若系統輸出滿足需求，則AO≥AD.其中，系統輸出可以認為是虛擬設備Mn+1的輸入，即AO=AIn+1，故有如下公式：

(4)

(5)

從而，可以獲得滿足系統需求的設備Mi的最小輸入可以表示為

(6)

R=P(AO≥AD)=P(Ax≥AImin)=

(7)

2 制造系統維護策略

2.1 系統維護模型建立

πiQi=0

(8)

式中：0=[00…0]，且

(9)

(10)

(11)

(12)

P(Axi=AImini)=

CAIminiAli(1-πis)AImini(πis)Ali-AImini

(13)

AImini

P(Axi≥AImini)=

∑Alij=AIminiCjAli(1-πis)j(πis)Ali-j

(14)

所以制造系統可靠性滿足下式：

∏ni=1∑Alij=AIminiCjAli(1-πis)j(πis)Ali-j≥Rmin

(15)

(16)

約束條件為式(3)、(6)、(8)～(11)、(15).

2.2 模型變換

圖2 決策變量矩陣Yi的形式Fig.2 Form of decision variable matrix Yi

(17)

(18)

模型的計算過程為

(3) 通過式(8)～(10)，計算轉移速率矩陣Qi和平穩分布πi.

(4) 通過式(15)，計算系統可靠性并將其與給定的可靠性閾值比較.

(5) 通過式(16)，計算維護成本.

3 算例分析

下面通過算例分析來驗證模型的有效性.制造系統由3種設備組成，每種設備有5臺，每臺設備的退化過程中包括狀態1～4，共4種狀態.狀態1代表設備全新，狀態4代表設備故障.原材料在3種設備上依次加工變為成品.每種設備加工出合格品的概率均為0.95.系統單位時間的輸出需求量為3個，系統可靠度最低要求為95%.設備的狀態變化為齊次Markov過程.制造系統結構示意圖如圖3所示.

圖3 制造系統結構示意圖Fig.3 Diagram of manufacturing system structure

表1 退化過程中設備的狀態轉移速率Tab.1 State transition rate of devices during degradation

表2 維護過程中設備的狀態轉移速率Tab.2 State transition rate of devices during maintenance

表3 設備各狀態間的維護成本Tab.3 Maintenance cost among states of devices

計算步驟如下.

步驟1初始化g=4，gg=Ni.

2 fig=agg-1!,ag≡ag-1(modg-1!),

步驟3g=g-1.

步驟4若g≥1，返回步驟2；否則，計算結束.

fi4=143!=2,14≡a3=2(mod3!),fi3=22!=1,2≡a2=0(mod2!),fi2=01!=0,0≡a1=0(mod1!),fi1=00!=0,0≡a0=0(mod0!),

然后變化i，建立f=(f1,f2,f3)與正整數N的對應關系.通過上述步驟可以確定，對于每個i，正整數Ni的最大值為 4!-1=23.按照如下步驟建立f與正整數N的一一對應關系.

步驟1初始化i=3,bi=N.

2 Ni=bi23i-1,bi≡bi-1(mod23i-1),

步驟即令bi除以23i-1的商為Ni，余數為bi-1.

步驟3i=i-1.

步驟4若i≥1，返回步驟2；否則，計算結束.

(4) 通過式(15)，計算系統可靠性并與給定可靠性閾值比較.

(5) 對于滿足可靠性閾值的一組解，通過式(16)計算其維護成本，并與當前最小維護成本進行對比，以確定是否更新最優解.若N>(s!)n，計算結束；否則，令N=N+1，返回步驟(2).

圖4 最優維護方案示意圖Fig.4 Diagram of optimal maintenance policy

下面對模型的計算結果進行分析.設備M1的維護方案為維護至相鄰的更優狀態；設備M2的維護方案為故障后維護至全新狀態；設備M3的維護方案為若設備處于狀態2、3，直接維護至狀態1，若設備處于狀態4，維護至狀態2.由表2和3可知，設備M1的相鄰狀態間維護成本低、維護時間短，適合維護至相鄰狀態.設備M2不同狀態間的維護成本和維護時間分布相同，適合故障后換新.設備M3相鄰狀態間的維護成本低，但是不同狀態間的維護時間分布相同.由此可見，由模型獲得的維護方案比較合理.

為了說明本文模型的有效性，將模型的求解結果與其他11種維護策略進行比較.將本文模型作為維護策略1(S1)；S2：故障后完美維護，即設備故障(狀態4)后維護至全新狀態(狀態1)，其他情況不維護；S3：最小修，即設備故障后維護至故障發生前的狀態，其他情況不維護；S4：設備故障(狀態4)后維護至狀態1，且設備衰退至狀態2時維護至狀態1；S5：設備故障(狀態4)后維護至狀態1，且設備衰退至狀態3時維護至狀態1；S6：設備故障(狀態4)后維護至狀態1，且設備衰退至狀態3時維護至狀態2；S7：設備故障(狀態4)后維護至狀態2，且設備衰退至狀態2時維護至狀態1；S8：設備故障(狀態4)后維護至狀態2，且設備衰退至狀態3時維護至狀態1；S9：設備故障(狀態4)后維護至狀態2，且設備衰退至狀態3時維護至狀態2；S10：設備故障(狀態4)后維護至狀態3，且設備衰退至狀態2時維護至狀態1；S11：設備故障(狀態4)后維護至狀態3，且設備衰退至狀態3時維護至狀態1；S12：設備故障(狀態4)后維護至狀態3，且設備衰退至狀態3時維護至狀態2.包括本文模型在內的12種維護策略對比結果如表4所示.其中：Ri為設備Mi的可靠性；wtot為系統級的維護成本.

表4 不同維護策略的結果對比Tab.4 Comparison results of different maintenance strategies

12種維護策略的系統可靠性與維護成本之間的關系如圖5所示.其中:-ln(1-R)用于衡量系統可靠性；Δwtot為Su與S1的維護成本差值；藍色虛線為S1的系統可靠性.

圖5 不同維護策略的系統可靠性與維護成本Fig.5 System reliability and maintenance costs of different maintenance strategies

由表4可知，S1與其他維護策略相比，在系統可靠性方面最多可提高8.65%，在維護成本方面最多可降低68.96%.由圖5可知，由于S1考慮了在設備退化至故障狀態前進行先行維護，設備故障率更低，系統可靠性在所有維護策略中僅次于S11，并且兩者相差較小.但在維護成本方面，S1系統地優化了各設備的維護策略，在保障系統可靠性要求的基礎上，避免了設備的不必要維護，與其他策略相比S1的維護成本顯著降低.

4 結語

本文在現有研究的基礎上，考慮加工過程中產生的不良品以及不良品返工的情況，分析了系統中各設備的輸入與系統輸出的關系，建立了基于隨機流網絡的制造系統可靠性模型.同時，考慮到現有研究的不足，將制造系統可靠性大于等于給定閾值作為約束條件，建立了基于齊次Markov過程的系統維護模型.針對系統維護模型解空間過大的情況，提出一種模型變換方法，有效降低解空間規模.最后通過算例，證明模型結果與其他11種維護策略相比，維護成本更小，系統可靠性更高，證明了模型的有效性和先進性.