在計算教學中滲透模型思想

劉兆偉

數學模型是用數學語言概括地或近似地描述現實世界事物的特征、數量關系和空間形式的一種數學結構。從廣義上講，數學的概念、定理、規律、法則、公式、性質、數量關系式、圖形、圖表、程序等都是數學模型。模型思想是數學的基本思想之一，無論《義務教育數學課程標準（2011年版）》，還是《普通高中數學課程標準（2017年版）》，都將模型思想放在了最核心的位置。計算是小學數學教學的重要內容，根據數量關系式列出的算式就是用于解決實際問題的一種數學模型，而計算法則也是用于計算一類算式的數學模型，因此在計算教學中蘊含著豐富的模型思想，我們應在計算教學中，讓學生經歷數學建模的過程，從而滲透模型思想。筆者以蘇教版小學數學三年級上冊“兩、三位數乘一位數（不進位）筆算”為例，談談如何在計算教學中滲透模型思想，供大家參考。

一、抽象表征，準備建模

抽象思想與模型思想同為數學基本思想，這兩者之間有著緊密的聯系。通過抽象能夠舍去事物的非本質屬性，得到數學的研究對象，抽象得到的數學對象本身就是一種數學模型，建模是在抽象的基礎上進行的。用計算解決實際問題時，我們可以先依據數量關系將生活問題抽象為數學問題，這是一個將生活問題數學化的過程，以此得到的算式是解決此類問題的通用模型。在研究計算方法時，我們可以先讓學生借助直觀表征，理解抽象的算式的意義，從而為學生探尋具體算法提供幫助。通過抽象與直觀表征，可以為數學建模提供所需的材料，從而為建立算法模型做好準備。

例如，在教學“兩、三位數乘一位數（不進位）筆算”時，可以先將例題中“湖面上飛過3隊大雁，每隊12只，一共有多少只？”這個生活問題依據數量關系抽象為“求3個12的和是多少”這樣的數學問題，經歷這樣的抽象，使這道算式不僅能夠解決例題中的實際問題，還可以用來解決與例題具有相似數量關系但情境不同的實際問題，這道算式本身就是一個數學模型。接著，讓學生用小棒來直觀表征算式12×3（如圖1），通過直觀表征能夠將抽象的算式形象化、結構化，從而為學生探尋算法模型做好準備。算式的直觀表征方式有很多種，選用哪一種直觀模型要視教學內容而定。如在探尋本課的算法時，選用整捆加單根的小棒來表征算式比較合理;而在探尋整數加法和減法的計算法則時，選擇用計數器來表征算式更為恰當;在探尋分數加法和減法計算法則時，運用單位面積的正方形或圓來表征算式更為貼切。

二、探尋算法，嘗試建模

建構主義學習理論認為，在教學中要使學習者將新的學習內容與自身已有的知識、經驗之間建立起實質性的、非人為的聯系，數學建模的過程也應如此。學生在學習一種新的計算法則之前，或多或少地從生活中或以前的學習中獲得了一些相關經驗，而這些經驗應成為學生建立新的計算法則的基礎。在教學中，我們可以讓學生依托已有經驗建立新的算法模型，或擴充頭腦中的已有算法模型形成新的算法模型。只有讓計算法則從學生的已有經驗中生長出來，學生才能深刻理解計算法則，因此在教學計算法則之前，應先讓學生自主探尋算法，讓他們嘗試建立自己的算法模型。

如上例，在將生活問題抽象為數學問題并用小棒直觀表征算式后，可以先讓學生根據已有經驗自主探尋算法，探尋算法的過程就是一個自主建模的過程。學生根據已有經驗會想出多種不同的算法，如圖2所示，有些學生會觀察小棒的排列方式或根據乘法的意義，想到用同數連加的方法計算;也有一部分學生會根據小棒中的數學信息，先將3個10相加，再將3個2相加，最后將兩次計算的結果合并;還有一部分學生會用三步口算來計算。這些算法都可以計算出12×3的結果，它們都是計算這道乘法算式的算法模型，并且與學生的已有經驗密切相關，是學生理解通用的算法模型的基礎。

三、統一算法，建立模型

學生在自主探尋算法的過程中，由于已有知識經驗和思維方式的差異，會得到不同的算法，每一種算法都是一種模型，都與學生的已有知識經驗和思維方式緊密聯系，所以帶有明顯的個性特征，并且有其適用范圍和局限性。而通用的計算法則是能夠用于更大范圍的、約定俗成的算法模型，所以在學生建立了自己的算法模型后，需要引領學生在個性化的算法模型的基礎上建立并理解通用的算法模型。

上例中，學生自己建立的算法大部分依托的是已有經驗中的乘法的意義和口算乘法的計算方法，雖然每種算法都能計算例題中的這道算式，但隨著問題的不斷加深，運用這些算法計算會變得越來越困難，所以需要引領學生走向通用的、方便的筆算模型。對于筆算方法，教材中出示了兩種，一種是較為完整的初始豎式，另一種是簡化的一般寫法豎式（如圖3）。這兩種不同寫法的豎式本質上是一樣的，卻是不可缺少的。初始豎式與學生自主探尋出的各種算法模型聯系緊密，是學生理解一般寫法豎式的基礎。一般寫法豎式是初始豎式的簡化、優化，是人們普遍使用的算法。在教學中，應先引領學生將自己的算法模型中的每一步計算與完整的初始豎式的每一步計算建立聯系，從而理解完整的初始豎式，再將完整的初始豎式簡化成一般寫法的豎式，從而讓學生在理解的基礎上掌握一般的算法模型。

四、運用算法，鞏固模型

應用數學模型的過程不僅能夠加深學生對數學模型的理解，而且能夠讓學生感悟到建立數學模型的價值。在獲得了一般的算法模型后，可以讓學生進一步鞏固數學模型。運用同一算式解決不同的實際問題，以及運用一般算法計算不同算式的過程，不僅能夠幫助學生熟悉與鞏固算法，而且能夠讓學生感受到算式的通用性。

本課中的應用可以分兩個層次進行。第一層次，在學生獲得了12×3的計算結果后，可以讓學生思考這道乘法算式還可以解決哪些問題，學生通過思考感受到這道乘法算式除了能夠解決例題中的實際問題，還能夠解決很多與之結構相同的實際問題，從而感受到算式是解決數量關系相似的實際問題的一種模型，一個算式對應著多種不同情境的實際問題。第二層次，讓學生運用12×3的計算方法計算31×3，2×42，學生在練習中感受到這種計算方法能夠計算此類算式，在獲得了這樣的認識后，學生加強了對算法模型的理解，從而建立起兩位數乘一位數（不進位）筆算模型（如圖4）。

五、遷移算法，擴充模型

數學模型雖然能夠解決問題，但也有其局限性，一個模型只能在一定的范圍內適用。當遇到超出模型使用范圍的問題時，可以通過擴充模型使原有的模型能夠包容新的問題，或調整原有模型以適應新的問題，或依據新的問題建立新的模型。整數乘法計算法則的學習不是一次完成的，需要經歷多個階段，每一階段建立的模型只能解決已學過的乘法計算，在以后的學習中還要依據算式的變化，不斷豐富算法模型，最終形成能夠用于所有整數乘法算式的筆算模型。

上例中，在學生掌握了兩位數乘一位數（不進位）一般筆算方法后，可以讓學生嘗試計算123×3。在計算中，學生會自發地將兩位數乘一位數（不進位）筆算方法遷移到新的計算之中，并形成三位數乘一位數（不進位）筆算模型。接著，讓學生依據已經學過的三種乘法筆算模型（如圖5），歸納出多位數乘一位數（不進位）筆算模型。不僅如此，課的最后還可以讓學生嘗試計算12×5，因為這道算式個位上的計算發生了進位，學生在運用已有模型計算時遇到了新的問題，所以需要調整已有的筆算模型以適應新的變化，從而將乘法筆算模型擴展到更大的范圍之中，形成更為一般的乘法筆算模型。

綜上所述，在計算教學中我們不僅要重視讓學生在理解算理的基礎上掌握算法，而且要重視讓學生經歷數學建模的過程，從中感悟模型思想，并運用模型思想解決實際問題，從而讓學生體會到模型思想的價值。

（作者單位：江蘇省高郵實驗小學東校區）

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