微積分思想的不變性

毛戰軍

【摘要】挖掘一元函數微積分思想與二元函數微積分思想的聯系.討論兩類微積分中函數、極限、微分、中值定理、洛必達法則、牛頓—萊布尼茨公式等思想的不變性.

【關鍵詞】一元函數;二元函數;思想;不變性

大學《高等數學》的內容中含有一元函數微積分學和多元函數微積分學，往往將其分置于教材的上、下兩冊中.在教學安排中，也往往將其分置于兩個學期.學生在學習《高等數學》時，往往只能分別理解兩者的思想，在學習多元函數微積分時感到困難.在教與學中，可以演繹一元函數微積分和多元函數微積分思想的不變性，使一元函數微積分思想有推廣，多元函數微積分思想有銜接，把兩者形成一個有機的整體.

多元函數微積分學往往以二元函數為代表來介紹其基本內容.這樣，工作就放在了去發掘從一元函數微積分到二元函數微積分思想的不變性.下面就談談一元函數微積分和二元函數微積分中幾個重要思想的聯系.

1.函數的定義

函數的定義在形式上不變.

二元函數u=f（x，y），x∈D的自變量從點P0（x，y）變到P（x+Δx，y+Δy）的增量為（Δx，Δy），類比于一元函數的表示，在《高等數學》中不方便處理.而類比于一元函數，二元函數的自變量從點P0（x，y）變化到P（x+Δx，y+Δy）的增量是易于量化的，就是當自變量沿任意方向變化和沿坐標軸方向變化時的增量表示，這樣就相應地產生了二元函數的方向導數及偏導數思想.

4.函數的微分

函數的微分中局部線性化思想不變.

通過對函數的（全）增量的表示進行解析，利用局部線性化的思想得到：一元函數的微分反映的是相應切線上點變化的特點;二元函數的（全）微分反映的是相應切平面上點變化的特點.

5.中值定理

圖1以拉格朗日微分中值定理為例，在坐標面與非坐標面上的量的關系不變.

在相應的條件下，如圖1，一元函數的拉格朗日微分中值定理在幾何上可以這樣理解：在xOy面上，曲線弧AB上至少存在一點C，使得曲線弧AB在點C處的切線與弦AB平行.設曲線弧AB的方程為y=f（x），x∈[a，b]，則點A（a，f（a）），B（b，f（b）），向量AB=（b-a，f（b）-f（a）），曲線弧AB在點C處的切向量為

6.洛必達法則

洛必達法則在公式形式上不變.

7.泰勒公式

泰勒公式用多項式來近似表示函數的思想不變.

8.定積分、重積分、線面積分

定積分、重積分、線面積分的“和式的極限”思想不變.

9.積分變限函數的微分

積分變限函數的微分公式的形式不變.

10.積分中值定理

積分中值定理形式不變.

11.牛頓—萊布尼茨公式

牛頓—萊布尼茨公式化為原函數的增量的思想不變.

12.結束語

通過對一元函數微積分與二元函數微積分相關思想的對比，可以發現：從一元函數微積分到二元函數微積分并不是另起爐灶的新思想，可以認為是同一思想在不同條件下的結論.在教與學中，如果在思想上能夠對所學內容統一，那么可以使學生的學習視野更寬廣，為學生學習專業課和向更高層次沖刺打下良好的基礎.

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