為直觀想象插上“翅膀”

夏菁

【摘要】在信息技術與學科融合的背景下，利用GeoGebra可解決一次函數教學中的幾大難點.教師可以設置一系列探究活動和問題交流引導學生進行實踐、觀察、分析、談論、猜測和驗證，讓學生經歷一次函數動態探究過程，感受函數圖像探究的一般路徑.

整個過程中，始終貫穿“由數想形”和“以形助數”的數形結合思想，學生可以利用GeoGebra將本來較為復雜的 k，b 與函數圖像的關系問題直觀化，加深學生對數學應用性的理解.數學需要直觀，但是直觀不是說出來的，而是需要切實看到的，利用信息技術幫助學生“看到”數學是值得教師思考與研究的.

【關鍵詞】GeoGebra;直觀想象;一次函數的圖像;信息技術

隨著科技的進步，信息技術在數學教學中的應用屢見不鮮.《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出：要充分考慮信息技術對數學學習內容和方式的影響，開發并向學生提供豐富的學習資源，把現代信息技術作為學生學習數學和解決問題的有力工具，有效地改進教與學的方式，使學生愿意并有可能投入到現實的、探索性的數學活動中去.函數是研究現實世界變化規律的重要數學模型，也是初中的一大重點與難點內容.“一次函數的圖像”是學生初中學習函數內容的起點，也是學生第一次接觸函數圖像，更是數形結合的解析幾何的啟蒙章節，學好這一章對于學生接下來對函數圖像的認識和學習至關重要.如何有效、直觀地呈現初中第一個函數——一次函數，就顯得尤為重要.直觀想象作為數學核心素養之一，其有效形成可以適當借助信息技術手段來實現.GeoGebra是近幾年世界范圍內較為主流的軟件，尤其是在函數的探索上更能凸顯其優勢.本文就以“一次函數的圖像”的探索片段為例，談談GeoGebra在數學教學中對于學生知識理解的推進作用.

一、 數據分析，巧說誤差

燃香“識”變化，將等距的六炷香擺放在同一直線上，每隔相同的時間，熄滅一炷香，測量香的高度，并將實驗數據記錄表格中.分析實驗中的數據，引導學生尋找香燃燒的時間與燃燒的高度之間的數學聯系.

傳統教學中，教師常常在這一步描出幾個點，就得出“一次函數圖像是一條直線”的結論，而對于實驗中學生收集數據中的誤差往往不在意，因此失去了教學時機.

在實際教學中，教師可以引導學生將數據以表格的形式整理出來，經歷函數作圖的第一步：列表.

打開GeoGebra，讓學生以時間與對應高度的數據作為點的坐標，在平面直角坐標系中描出來，經歷函數作圖的第二步：描點.

觀察這些點的特征，借用讀數的誤差，讓學生切身感受函數圖像的生成過程，明確誤差的形成原因以及如何處理誤差，進一步提示一次函數的圖像特征.

設計意圖：分析實驗數據，將數據抽象成點的坐標，感受圖像是刻畫實際問題的數學模型.這既有利于培養學生直觀想象、數學抽象的素養，又通過“由數想形”和“以形助數”的轉換讓學生感知“數形結合”的數學思想.

二、眼見為實，突破無限

設計三個探究活動：一是自由探究，由學生自主作圖;二是實驗探究，通過GeoGebra認知一次函數的圖像;三是深度探究，從特殊到一般，抽象出一般規律.其中實驗探究是本節課的重點，教師可借助GeoGebra讓學生精準感受一次函數圖像的生成.

猜想：教師通過描點的過程，引導學生猜想一次函數的圖像特征.

活動一：自由探究，小組合作

以小組為單位，從情境問題出發，回答問題：這五個點在一條直線上，通過這五個點就能斷定圖像一定是直線嗎？

負數的選取是否應該考慮？在取值時應該注意什么？

一次函數的圖像大致形狀是什么？

活動二：實驗探究，認知圖像

引導學生思考一次函數圖像，并通過增加選取點的個數無限接近一次函數的真實圖像，

將點的橫坐標設置成一個變量 a，使橫坐標變化后，縱坐標也隨之變化.通過GeoGebra繪制點 P（a，2a+1）追蹤點的軌跡，生成一串點列，通過觀察點 P 的路徑，引導學生驗證猜想.

三、尋找關聯，深入探究

1.實例驗證

使用GeoGebra，由學生舉例繪制任意一次函數的圖像，如y=3x+2的圖像，小組合作探究，通過多次不同的舉例，進一步驗證一次函數的圖像是一條直線.

2.從特殊到一般

在GeoGebra中，設定變量k，繪制函數y=kx+1的圖像.觀察函數y=kx+1的圖像的變化;設定變量b，觀察函數y=2x+b的圖像的變化.

3.總結歸納

繪制函數y=kx+b的圖像，設置參數k，b，通過滑動條的控制，變化k與b的值，觀察函數y=kx+b圖像的變化，引導學生進行歸納總結.

結論：一次函數y=kx+b（k，b是常數，k≠0）的圖像是一條直線.

設計意圖：幫助學生充分理解一次函數的圖像特征，解釋一次函數為什么是一條直線.利用GeoGebra的輔助功能，巧妙地設置了三個操作流程，在一連串的數學實驗中，一次函

數的圖像是一條直線的認知順利生成.

四、動態呈現，突破抽象

通過初步探究和引導，學生會發現一次函數y=kx+b（k，b是常數，k≠0）的圖像位置會隨著k，b的變化而變化，那么一次函數圖像的位置與系數又有怎樣的關系呢？傳統教學通常采用特殊值法，即給k，b賦不同的值，通過畫圖進行對比.整個探究過程是一種靜態的對比，缺少k，b由正到負、由大到小的變化過程，對于初學函數的學生來說缺乏直觀感，很難引發其思考.采用GeoGebra可以呈現動態變化過程，化抽象為形象，將一次函數圖像隨k，b的變化而變化的過程具象化，加深學生的理解.

如圖所示，可以在GeoGebra中設定變量k，b.在研究k的變化時，保持滑動條b不動，只拖動滑動條k，觀察圖像的位置變化，引導學生對比k值大小、正負、零值對函數圖像的影響，并總結結論;同樣，研究b的變化時，保持滑動條k不動，只拖動滑動條b，觀察圖像的位置變化，總結b值大小、正負、零值對函數圖像的影響.

設計意圖：通過動態演示，采用變量控制法，逐步探究k，b對圖像位置的影響.演示過程中可清晰觀察到函數圖像隨著k，b值的變化而變化的規律，將復雜問題簡單化、直觀化.在動態演示中學生很容易總結出規律，這對于進一步的探究有積極作用，也有利于學生深度思維的培養.

五、巧用技術，防止極端

通過設置一系列探究活動和問題交流引導學生進行實踐、觀察、分析、談論、猜測和驗證，讓學生經歷一次函數動態探究過程，感受函數圖像探究的一般方法.整個過程，始終貫穿“由數想形”和“以形助數”的數形結合思想，利用GeoGebra將原本較為復雜的k，b與函數圖像的關系問題直觀化，加深了學生對數學應用性的理解.

直觀不是“教”出來的，而是自己“悟”出來的.只有積累足夠的數學活動經驗，才能有助于接下來的深入學習.善于并恰當地利用信息技術幫助學生建構數學學習的通道是現代教師需要思考的重要問題.信息技術與數學教學的“深度融合”，除了將信息技術視為教學的核心要素并經常使用外，還要關注師生信息技術使用的層次，即針對不同課程內容、學生個體特點，創新信息技術使用方法和策略.

信息技術在教學中的應用是需要反復研究的內容，適當地利用信息技術可以提高課堂效率，不恰當地利用或者濫用則會適得其反.

1.生搬硬套

利用粉筆黑板進行教學已經延續幾十年，必有其適用性與實用性，一些代數內容利用傳統教學形式反而可以更細致地進行教學內容的講授.所以在運用信息技術輔助教學時，一定要注意其適用性，不能生搬硬套，為了呈現技術而忽視教學內容，為了“炫技”而教學是不可取的.

2.直觀濫用

幾何教學和部分函數教學中，通過幾何畫板和GeoGebra可以更直觀地呈現出圖形的平移、翻折、旋轉等變換過程，以及函數的形成、平移等過程，學生可以一目了然地了解其變化過程.值得注意的是，在教師“點擊”之下，動態過程直接生成，學生的思維一下子得到了滿足，求知的欲望也一瞬間消弭于無，缺少了獨立思考的過程，而給予學生足夠的時間和空間進行思考，正是直觀想象形成的過程，也是培養數學思維的良好契機，由此可見，數學的“腳手架”應該適當搭設，搭得多了，學生反而會失去前進的動力.

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]史寧中.數學基本思想18講[M].北京：北京師范大學出版社，2016.