初中生數學歸納推理水平的劃分標準

白杰

【摘要】數學的學習需要歸納推理，在數學核心素養要求下，培養學生的歸納推理能力是初中數學教學的重要任務，這就要求數學教師對學生的數學歸納推理水平有所區分，以便更好的培養學生的數學歸納推理能力。為此，本文結合歸納推理的相關知識以及SOLO分類理論，對初中生數學歸納推理水平的進行了劃分。

【關鍵詞】SOLO分類理論;歸納推理;數學歸納推理水平

一、歸納推理現狀分析

《義務教育數學課程標準》（2011年版）在對數學核心素養中的“推理能力”闡述中指出：推理能力的發展應融入每個學生的學習過程中，數學的基本思維方式是推理，推理主要包括合情推理（歸納、類比）和演繹推理，其中合情推理（歸納、類比）可以用來探索思路發現結論，演繹推理可以用來證明結論的正確性。《義務教育數學課程標準》（2011年版）強調：數學教育的基本任務之一是培養學生的“創新意識”，應貫穿在數學教與學的過程中，學生通過歸納概括提出猜想和發現規律，并對提出的猜想和發現的規律進行驗證，是創新的重要方法。新課程改革以來，學生數學歸納推理能力的發展受到越來越多的關注，但是如何對學生的數學歸納推理水平做出有效的評價，一直是廣大教育工作者關心的問題。為了使對學生數學歸納推理水平的評價具有可操作性，本文依據數學歸納推理的特點和SOLO分類理論初步制定了數學歸納推理水平的劃分標準。

二、研究歸納推理水平的意義

第一，數學自身的發展需要歸納推理。數學是一門系統的演繹科學，但另一方面，創造過程中的數學，看起來更像一門實驗性的歸納科學。我們可以發現“正是由于合情推理中的歸納推理是從個別事實中看到真理的端倪、受到啟發，提出假說和猜想，因此合情推理中的歸納推理才成為一種重要的數學發現方法，成為合情推理中的重要方法”。我們也可以發現“許多數學史上的成就，都是由于數學家運用了自己的經驗歸納，憑觀察、猜測大膽的提出問題，并最終給出了巧妙地證明”。歸納推理在數學以外的自然科學或社會科學及日常生活中的運用是習以為常的事，但它在數學中的作用往往被忽視了，這對于數學的發展不僅不利，而且是極其危險的，并且也不可避免的波及到其他各個領域。從以上論述中，我們可以看出數學自身的發展需要歸納推理。

第二，培養學生的數學核心素養需要歸納推理。培養學生的核心素養是當前教育的重中之重，在課程改革的進程中，《義務教育數學課程標準》（2011年版）把“推理能力”與“創新意識”作為學生數學核心素養的重要構成部分;《普通高中數學課程標準（修訂稿）》把“抽象能力”以及“數據分析與知識獲取能力”作為學生數學核心素養的重要方面。由于學生數學歸納推理水平的提高有利于發展學生的“推理能力”，有利于增強學生的“創新意識”，有利于學生“抽象能力”以及“數據分析與知識獲取能力”的提高。所以，培養學生的數學核心素養需要歸納推理。

第三，教師的高效教學需要歸納推理。“若能把歸納推理的基本思想有限度地、有選擇地、分層次地向學生予以滲透，則可以提前發揮其在培養學生推理、判斷、猜想、發現等方面的作用，借以培養學生的邏輯思維能力，這不僅可以促進對數學的學習，還可以促進對其他學科的學習。”倘若教師能夠把歸納推理的思想方法向學生滲透，去引導學生的學習，對于提高教師的教學效果想必會有莫大的幫助，其帶來的結果或許令我們驚喜。所以，教師的高效教學需要歸納推理。

三、相關概念的界定

1.歸納

楊世明在《數學發現的藝術》一書中提出：“歸納是由個別的事例向關于這一類事物的一般性的過渡，是一種對經驗，對實驗結果進行去粗取精，去偽存真的綜合處理方法。”劉云章在《數學直覺與發現》一書中談到：“從特殊認識一般的推理方法叫歸納。”筆者認為歸納主要指：人們把對事物個別屬性的認識提高到對事物一般性的認識，并就其規律進行探索，其中伴隨著對事物的觀察、猜想、實驗、概括、總結等的一種處理方法。

2.歸納推理

針對歸納推理概念的界定，國內學者做過很多研究，熊惠民從數學學科的角度指出：“歸納推理，又稱歸納法，指的是以個別事實為前提，以一般性命題為結論的推理。”濮方平從心理學角度指出：“由感性認識上升為理性認識的過程就是歸納法。”金岳霖從邏輯學的角度指出：“由個別的事物或現象推出該類事物或現象的推理叫歸納推理。”

3.數學歸納推理

數學中的歸納推理它遵循如下的基本推理規則：

其中S1，S2，…… Sn，是類的對象或子類。

根據推理前提中是否考察了某類事物的全部對象，歸納推理分為完全歸納推理和不完全歸納推理，完全歸納推理可以作為嚴格證明的工具，而不完全歸納推理的前提和結論之間只有或然的聯系。因此，合情推理意義下的歸納推理主要指的是不完全歸納推理。

4.SOLO分類理論

SOLO分類理論原意為“可觀察的學習結果結構”，它是一種以等級描述為特征的“質性”評價方法。比格斯等人在20世紀80年代根據皮亞杰的認知發展階段學說，以英語、數學、語言等學業評價資料作為依據，提出了SOLO分類理論。? ?SOLO分類理論認為學生對某個問題的反應水平從低到高分為5個層次：（1）前結構水平（Prestructural Level）：學生對問題基本沒有理解;（2）單一結構水平（Unistructural Level）：學生對問題有了一點理解，只是對問題略知一二;（3）多元結構水平（Multistructural Level）：學生對問題有了更加全面的理解， 但仍不全面;（4）關聯結構水平（Relational Level）：學生對問題有了整體的把握，并能獨立解決問題;（5）拓展抽象結構水平（Extended Abstract Level）：學生對問題不僅從總體上能夠解決，而且還能抽象概括出問題的一般規律，使之在新的情境中加以運用。

四、SOLO分類理論指導下的數學歸納推理水平的劃分標準

運用SOLO分類理論，筆者對學生的數學歸納推理水平劃分如下：P水平：學生基本無法理解給定的問題或情境，只能提供一些沒有理論支撐的發現和結論。U水平：學生能夠通過觀察或簡單的計算找出問題的答案，或者由給定的情境解決顯而易見的問題。M水平：學生能夠通過觀察、比較、分析、聯想等方法解決問題，能夠從解決問題中發現問題的屬性，但不能掌握問題的一般解決辦法，不能把握問題的整體屬性。R水平：學生能夠通過觀察、比較、分析、聯想等方法解決問題，能夠從解決問題中發現問題的屬性，并且對問題也有統一的解決辦法，能夠理解給定的情境結構，對問題的整體屬性有深刻的認識。E水平：學生能夠通過觀察、比較、分析、聯想等方法概括或抽象出問題的一般規律，得到解決問題的一般化方法，提出合理的猜想，使給定情境的意義得到拓展，從中發現問題的本質。

P、U、M、R、E五個水平分別對應SOLO分類理論的五個結構水平（前結構水平、單一結構水平、多元結構水平、關聯結構水平、拓展抽象結構水平），根據學生對數學歸納推理層次遞進式問題的解決情況，學生數學歸納推理水平的思維水平也會表現出不同的層次。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.全日制義務教育數學課程標準[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]王憲昌.數學思維方法[M].北京：人民教育出版社，2010：134.