概率論與數理統計課程應用型教學法研究

包淑華 張 健

（呼倫貝爾學院數學與統計學院，內蒙古 呼倫貝爾 021008）

對高等院校來說，概率論與數理統計課程是理工類和管理類專業的一門重要的公共數學基礎課，對學生綜合能力的提高和后續課程的學習都有重要作用。下面就相對偏遠地區的高校如何切實改善概率論與數理統計課程的應用型教學，提高學生利用所學知識去解決各種問題的能力進行探討。

一、概率論與數理統計課程教學現狀

第一，在高等院校概率論與數理統計課程的教學中存在“重視概率、輕視統計”的現象［1］。甚至有些給非數學專業授課的教師對數理統計部分只做簡單介紹或者不講。主要原因是本課程知識點多，計劃學時量有限。第二，對課程理論部分的講解和練習比較多，對日常生活和學生所學專業有關聯的應用型案例講得偏少。分析主要原因，大部分任課教師擅長理論推導和分析，對授課專業的實踐應用不夠了解［2］。第三，課程的開課專業較多，但他們對學時量的設置參差不齊，雖然各專業學生的基礎與需求大不相同，但授課教師對課程內容沒有明確界定，區分度不高［3］。

二、優化概率論與數理統計課程應用型教學的措施

為更好地促進學生自主學習的意識，緩解因學時量有限造成統計學部分的缺失，任課教師要做到以下兩點：明確自主學習的重要性，制定學習的方案和細則，科學理性改進課程考核方式，及時驗收并聽取學生匯報，使學生的自主學習落到實處，切實提高課程的教學質量。

（一）學生自主學習的方案及考核方式

任課教師制定課程自主學習的方案時，既要掌握該課程產生的歷史背景和統計思想方面的內容，更需要有統計軟件的操作能力，只有這樣才能更好地培養學生自主學習、解決問題的能力。學生執行自主學習的方案如下：

項目1：基本掌握概率論與數理統計的起源和發展史；

項目2：會使用兩種統計軟件，能解決簡單的統計問題。

考核方式：項目1在開課后前三周內以2-3名學生為單位提交有關概率論與數理統計的起源、發展歷史及統計思想的綜述，并以PPT形式匯報；項目2以2-3名學生組成項目組，在結課前提交相應案例的統計軟件運行結果，并進行匯報和演示。由于時間有限，全班可分成兩組分別選擇項目1和項目2來完成。除此之外，為鼓勵學生參加相關學科競賽，可邀請參加過“全國大學生數學建模競賽”的同學（概率論與數理統計方面的作品）分享參賽經驗和獲獎作品。

（二）把握課程內容的區分度

授課學院應明確理工類、文管類及不同學時專業的授課計劃和考核方式，統一應用型教育的思想，規范應用型教學的內容。如，理工類專業可根據學時量進行隨機事件及其概率，隨機變量及其分布，隨機變量的數字特征、抽樣分布、參數估計等內容；對文管類專業的學生根據高等數學基礎較弱等特點，依照學時量適當刪減二維連續型隨機變量及其分布、參數估計等內容，并加強和保障學生在數學基礎知識方面的準確應用。

（三）規范和加強課程網絡平臺建設

鼓勵任課教師建立對應課程的微信群和網絡教學平臺（如超星學習通、釘釘等）。一方面，方便教師布置學習任務、課下答疑和互動交流。另一方面，教師上傳到平臺的應用視頻案例、學習資料等能隨時被學生下載和參考，減少學習的障礙。

三、概率論與數理統計課程的教學與實踐

應用型教學法的目的是以“理論與應用相結合”的教學法縮短教與學的距離，提高學生運用掌握的數學知識解決實際問題的能力。下面通過個別案例來說明理論與應用相結合的模式。

（一）理論與軟件應用相結合

教師可用經典的“三門問題”作為貝葉斯公式的引入?！叭T問題”是來自美國某一電視節目中的游戲，此游戲是在三個關閉的門（編號不妨記為1到3）后分別停放一輛汽車、兩只羊。游戲的參與者只能從中選擇一扇門，該門打開后參與者就可以免費獲得門后的獎品（汽車或山羊）。如果假設，主持人事先已經知道幾號門后是汽車，當游戲參與者選擇了1號門，而在未打開此門時主持人先開了2號門，并且發現門后是一只山羊。這個時候，主持人問參與者是否要更換最初的選擇。如果你是游戲的參與者，是和否會更換選擇呢？

從表面上看，由于已經排除了2號門，所以在1號和3號門后是汽車的概率相等，那實際情況果真如此嗎？

分析：為使參賽者獲大獎（汽車）的概率最大化，我們需要計算兩個條件概率。第一，在已知2號門后是山羊的條件下1號門后是汽車的概率；第二，在已知2號門后是山羊的條件下3號門后是汽車的概率。

再由條件概率和全概率公式可得

從上述兩個事件發生的概率可知，參賽者若將已選擇的1號門改為3號門能讓獲大獎的概率增加1倍。通過這樣一個案例，學生能很自然地掌握并理解這個求“后驗概率”的方法（貝葉斯公式）。

除了用上述貝葉斯公式外，教師還可以引導學生自主學習Matlab或python 軟件來隨機模擬求解“三門問題”。例如，在已知2號門后是山羊的條件下，用python 軟件模擬10000次的重復試驗，通過分別計算1號和3號門后是汽車的頻率來驗證上述結論，這樣不僅能提高學生學習本課程的熱情，還能培養學生的實踐能力。下面是使用python的random模塊和matplotlib模塊繪制的折線圖（圖1）。

圖1

對一些不方便實體操作的案例，教師要會靈活改變試驗場景，例如上面的“三門問題”可以改成方便操作的“有獎競猜”游戲：教師在講桌上放三個粉筆盒分別記為1、2、3號，其中一個裝有粉筆，其他兩個均為空盒。讓學生猜測哪一個是裝有粉筆的盒子，如果猜中了有獎勵。假設任課教師事先知道哪個盒子里裝有粉筆，如果學生選擇的是1號盒，但在未打開此盒之前任課教師打開2號盒，顯示該盒是空盒。這時，老師征詢該生是否將當初選的1號盒更換為3號盒？通過這樣簡單的互動，不僅能激發學生的學習興趣，還能充實應用案例教學的內容，使概率論與數理統計的知識變得形象而生動［4］。

（二）邏輯與思考相結合

《論語·為政》中說：“學而不思則罔，思而不學則殆”。對一個實用性很強的課程，教師在講新概念時如果只是介紹定義，那么學生基本只會知其然而不知其所以然［5］。為讓學生養成較好的邏輯思維能力，教師要善于啟發、設問和增加互動。

例如講方差的概念時，教師可通過列舉有關案例提出問題：怎樣用數學的方法去度量隨機變量與其期望值的偏離程度？有學生會提出用來表示的想法；但是的正負項能抵消，顯然不能很好地反映需要的偏差；而確實能度量與其期望的偏離程度，只因絕對值存在運算不方便的缺點，從而有了方差的定義式。通過這一系列辯證思考，學生對定義能加深理解。

四、結語

為更好地加強應用型教學的目的，將“理論與應用相結合”的教學法引入課堂教學，能夠縮短教與學的距離，提高學生運用掌握的數學知識解決實際問題的能力。應用型教學法，無論對學生還是教師都是一種挑戰，也是一分收獲，既能提高教師的業務水平，又能激發學生學習興趣學以致用，對培養學生自主思考和創新能力，實現應用型人才的培養起到推動作用。