基于傳遞矩陣法的齒輪系統軸承跨距優化研究

鄭雅琳，黃鵬鵬，程 洋

（江西理工大學 機電工程學院，贛州 34100）

0 引言

汽車傳動系統中主減速器產生的振動和噪聲對傳動系統穩定性和整車NVH性能具有決定性影響[1]。連接齒輪軸與主減速器殼體的軸承座剛度會影響錐齒輪副的嚙合質量，從而影響主減速器的振動響應[2,3]。當軸承預緊力一定時，軸承跨距對支撐剛度有直接影響[4]。

傳輸矩陣可以描述線性化MIMO系統（多輸入多輸出系統）的輸入和輸出之間的關系，輸入和輸出是各單元的末端狀態矢量，包括位移，角位移，彎矩和剪切應力。以自由端為約束條件得到特征方程，并通過相關參數的計算得到系統在不同支承跨度下的固有頻率[5,6]。通過主動齒輪軸的模態分析和主減速器的振動試驗可以確定應避免的共振頻率范圍，從而得到最佳的軸承跨距。

裴大明用有限元方法從靜剛度的角度出發建立數控鏜銑床主軸部件模型，并計算了該主軸軸承的最優跨距[7]。郭向東等通過對理論公式的計算以及試驗分析得出了軸承預緊力、系統固有頻率及跨距的關系[8,9]。本文基于傳遞矩陣，以軸承跨距為研究對象，以改善主減速器的振動響應和整車NVH性能為目的，通過主動齒輪軸的模態分析和主減速器振動試驗，得到了在一定軸承預載荷下的最佳軸承跨度，并通過ADAMS中的動態仿真驗證了結果的有效性。

1 建立主減速器齒輪系統模型

主減速器齒輪系統的剖面如圖1(a)所示。它包含5個部分：主動齒輪，軸I，軸II，軸III和軸IV，軸承安裝在軸II上。如圖1(b)所示，主減速器齒輪系統繼續被分散成多個特征單元，以便建立傳輸矩陣模型。軸IV和軸III被設置為一般軸，一般軸段由無質量彈性軸和兩個集中式質量站組成。兩個軸承設置為無質量彈性支撐站，作用點位于兩個支撐軸承的中心。軸II和軸承被簡化為一個整體的質量單元，然后被分為兩部分：軸II-2和軸II-1。軸-II-1的長度是l/2，l是軸承跨距。由于軸II-1的直徑大于其長度，因此設置軸II-2和軸II-1作為輪盤站。軸I與主動齒輪一體設為帶有彈性支撐的軸段，其可以等同于無質量彈性軸和具有彈性支撐的剛性質量單元。

圖1 主動齒輪離散化模型

特征單元的簡化力學模型如圖2所示，每個子單元的傳遞矩陣可以通過動力學方程得到。

圖2 特征單元的簡化力學模型

2 矩陣計算

結合傳遞矩陣法的基本思想，將主減速器齒輪系統離散化為幾個特征單元，分別建立各單元的傳遞矩陣，然后結合子傳遞矩陣得到系統的總傳遞矩陣[10]。

2.1 齒輪系統總傳遞矩陣計算

如圖2(a)所示，一般軸段由無質量彈性軸和兩個集中質量站組成，從Xi,i-1到Xi,i+1的軸段被稱為i-1截面和i截面，兩端的狀態向量包括：位移（Y），角位移（θ），彎矩（M）和切應力（Q）。I是截面慣性矩，E是彈性模量，通過力學模型得到無質量彈性軸段的動力學方程如下：

將方程(1)轉化為矩陣形式，則無質量彈性軸段的傳遞矩陣表示為Tsh。

集中質量站的動力學方程可以通過圖2(b)所示的力學模型來獲得：

將方程(3)轉化為矩陣形式，則集中質量站的傳輸矩陣記為Tm，T是一般軸段的傳遞矩陣。

通過將它們的物理參數代入等式(5)中可以得到軸IV和軸III的傳遞矩陣。T4是軸IV的傳遞矩陣，T3是軸III的傳遞矩陣。

如圖2(c)所示，兩個軸承被簡化為彈性支撐站，它等同于具有徑向剛度和角向剛度的彈簧，Kr是兩個支撐軸承的等效徑向剛度，Kθ是等效的剛度，l是軸承跨距，軸承剛度為常數。在兩個軸承的中心，會有一個反作用力Fr和一個反作用力矩Mr。

滾動軸承的阻尼基本不會影響結果，因此可以忽略，無質量彈性支撐站的動力學方程可以通過圖2(c)所示的力學模型獲得：

將式(7)轉化為矩陣形式，則無質量彈性支撐站的傳遞矩陣記為Tb。

如圖2(d)所示，m和J分別是輪盤的質量和轉動慣量，輪盤站的動力學方程可以通過其力學模型來獲得：

將方程(9)轉化為矩陣形式，則其狀態向量的系數矩陣即為輪盤站的傳遞矩陣，軸II-2和軸II-1的傳遞矩陣分別為T2-2，T2-1。

軸I的直徑與主動齒輪的直徑之間的差值很小，所以可以將軸I和主動齒輪整體視為帶彈性支承的軸段。它可以等同于無質量彈性軸和具有彈性支撐的剛性質量單元，如圖2(f)所示。圖2(e)中Kh是主動齒輪的嚙合剛度，m1是軸I和主動齒輪的總質量，J1是軸I的總的轉動慣量。當軸I和主動齒輪以角速度旋轉時，產生慣性力和慣性矩為m1θ。具有彈性支撐的剛體質量單元的動力學方程可以通過力學械模型獲得：

將方程(13)轉化為矩陣形式，則其狀態向量的系數矩陣是具有彈性剛性質量單元的傳遞矩陣，記為Tk。

推導出無質量彈性軸的傳遞矩陣，記為Tsh。x1是軸I和主動齒輪的總長度，I1是軸I和主動齒輪的截面慣性矩，Tg是帶彈性支撐軸的傳遞矩陣：

根據離散關系，所有特征子單元串聯連接。通過將每個傳遞矩陣集中起來，可以得到主減速器齒輪系統的總傳遞矩陣，TN是系統的傳輸矩陣。

2.2 齒輪系統固有頻率計算

在主減速器齒輪系統的離散模型中，初始截面是自由端約束，即M1=0，Q1=0，末端截面也是自由端約束，即MN=0和QN=0。可以得到主減速器齒輪系統的兩種截面狀態向量之間的關系如下：

當主減速器齒輪系統振動時，Y1和θ1不能同時為0。因此，等式(18)有解的條件為：

本文的主減速器齒輪系中，等效徑向剛度Kr=1023.65N/um，嚙合剛度Kh=2.0436N/um，齒輪軸的材料為20CrMnTi，其他相關參數如表1所示。

通過求解方程(19)后，可以得到臨界速度和軸承跨距之間的關系。由于可以得到不同軸承跨距下的固有頻率曲線如圖3所示。

圖3 固有頻率和軸承跨距的關系圖

計算結果表明，主減速器齒輪系統的一階固有頻率主要在2650Hz～3450Hz范圍內，并且當軸承跨距在53mm～58mm范圍內時，一階固有頻率在2800Hz左右浮動，處于較低水平。

3 實驗測試

將主減速器齒輪系統三維模型導入ANSYS后，對軸承端面進行約束，運用Block Lanczos方法進行模態分析。由于低階振動模態相對高階振動模態在結構運動方面的影響更大，因此定義主動齒輪軸為高階振動模態，表2為其前6階固有頻率。分析結果表明，主動齒輪軸的一階固有頻率為3250.0Hz，二階固有頻率為3260.0Hz。

表1 主動齒輪軸各離散段的基本參數

表2 主動齒輪軸前6階頻率

主減速器的固有頻率可以通過分析其頻域振動信號來獲得[11]。采用某振動測試裝置，對傳動系統的固有頻率進行了測試。三個測試樣品的測試結果如圖4所示：

圖4 主減速器齒輪傳動系統振動測試頻域譜

試驗結果表明，當頻率在2900Hz～3400Hz范圍內時，主減速器的振動更為明顯，因為這是主減速器的共振頻率范圍。因此，設計主減速器零件時避免其固有頻率在2900Hz～3400Hz范圍內，當固有頻率在3150Hz左右時可以有效減少主減速器的振動。由圖3可以看出，最優軸承跨距范圍為53mm～58mm，當軸承跨度為55mm時，一階固有頻率與2900Hz相差最大。綜上所述，當軸承跨距為55mm時，可以盡可能地避免主減速器的共振。

4 ADAMS動態仿真

圖5是根據實際工作情況，建立的主減速器齒輪傳動系統的動力學簡化模型。

圖5 主減速器齒輪傳動仿真模型

為了對比分析，準備了6組不同的軸承跨距模型，包括54mm，55mm，56mm，57mm，58mm和59mm，同時也設置了6組不同的驅動速度，分別為800r/min，1500r/min，2000r/min，3000r/min，4000r/min和5000r/min。通過仿真獲得了從動齒輪在Y方向（垂直方向）上的角加速度和接觸力。從動齒輪在Y方向的接觸力會直接影響螺旋錐齒輪嚙合時的垂直振動，進而影響汽車的乘坐舒適性。系統在0.2秒內處于加速階段，應該排除加速階段的模擬數據。圖6和圖7中示出了在不同行駛速度下，垂直方向上角加速度和接觸力的平均值和差值。

圖6 從動齒輪角加速度—軸承跨距關系圖

圖6(a)中顯示主不同轉速下減速器的軸承跨距為55mm時，從動齒輪角加速度的平均值最小。如圖6(b)所示，不同從動齒輪角加速度的差值在不同的驅動速度下呈現波動趨勢，并且在軸承跨距為55mm處差值最小。由以上分析可知，當軸承跨距為55mm時，系統的振動相對穩定。主減速器齒輪系統的振動波動較小時，傳動過程中的振動和噪聲得到有效降低。

圖7 從動齒輪接觸力在Y方向分力—軸承跨距關系圖

圖7(a)顯示了在垂直方向上接觸力的平均值相對集中，并且當軸承跨距為55mm時的，其值處于最小值。圖7(b)表明，當軸承跨距為55mm時，驅動速度不高于4000r/min，則Y方向的接觸力的差值相對較小。表明此時傳輸過程的影響小，振動相對穩定。

綜合分析表明，當軸承跨距為55mm時，主減速器齒輪系傳動相對穩定，振動波動小，振動表現較好。

5 結語

通過理論分析和計算，并結合主動齒輪軸的模態分析和主減速器的振動試驗，得出當軸承跨距為55mm時，能最大程度避免主減速器的共振。動態仿真結果表明，當軸承跨距為55mm時，從動齒輪的在垂直方向的角加速度和接觸力較小，驗證了理論分析結果的準確性。該研究結論可以有效地減小主減速器的振動，改善車輛的NVH性能。