基坑開挖引起下臥地鐵隧道變形的簡化計算方法

江 杰，邱居濤，歐孝奪，龍團元，侯凱文，賴增任

(1.廣西大學 土木建筑工程學院, 廣西 南寧 530004；2.廣西大學 工程防災與結構安全教育部重點實驗室，廣西 南寧 530004；3.廣西大學 廣西防災減災與工程安全重點實驗室，廣西 南寧 530004)

近年來，隨著城市地鐵建設的大規模發展，在既有地鐵線路上方建造的商業建筑也隨之增多。基坑施工通常先于主體結構施工，基坑開挖難免會對周圍土體產生擾動，導致下臥隧道縱向不均勻變形、地下水滲漏、軌道脫離等。因此，確保地鐵隧道結構穩定和運營安全尤為重要。

為了研究下臥隧道在基坑開挖卸荷下的變形響應，在試驗研究方面，張玉偉等[1]、姚愛軍等[2]利用模型試驗研究了上方基坑開挖卸荷-加載作用下地鐵盾構隧道的變形特征及圍土壓力分布規律。對于計算分析方法而言通常有兩種，第一種是數值模擬，Dolezalova[3]、Xiao等[4]、Huang等[5]和鄭剛等[6]使用FEM模型分析基坑開挖引起的隧道變形規律，并針對不同的影響因素進行了模擬。但該方法建模復雜且計算耗時。第二種為兩階段分析法，第一階段根據解析解得到基坑開挖卸荷引起的土體附加應力，第二階段假設基于彈性均質地基模型計算由于附加應力導致的隧道變形，相關學者對此已經進行了大量的研究[7-12]。但既有研究均假定施工場地為均質土體，而在實際施工過程中，不同土體之間差異性較大，土體的成層性不可忽略。此外，土體并非由一系列獨立彈簧所組成，在外荷載作用下，土層相互之間存在剪切變形，以往研究將隧道擱置于Winkler地基模型中，僅考慮地基基床系數對隧道變形的影響是存在缺陷的。因此，提出一種不但能體現土體分層特性，而且能反映土體單元之間剪切作用的簡化計算方法更具現實意義。

本文基于彈性層狀體系基本解，提出了考慮分層效應的基坑開挖擾動地層附加應力的計算方法，改變了過去研究該問題時考慮均質地基的單一現狀。首先以彈性層狀體系應力解取代傳統的Mindlin應力解[13]計算開挖卸荷土體擾動作用于隧道的附加應力，通過引入剪切參數求解出Winkler-Pasternak地基模型中下臥隧道的縱向變形響應。最后將有限元數值模擬與工程監測數據進行對比，證明本文所提出簡化方法的正確性。

1 兩階段分析法

1.1 彈性層狀體系應力與位移基本解

n層土體構成的彈性地基模型受軸對稱垂直荷載的作用簡圖見圖1。圖1中，p(r)為軸對稱荷載；δ為荷載半徑；Δhi(i=1,2,…,n)為第i層體系厚度；Ei、μi分別為第i層體系的彈性模量和泊松比。

圖1 軸對稱荷載施加于多層地基表面示意圖

參照Burmister彈性層狀理論解[14-16]，推導多層彈性體系中任意深度z處的應力和位移解表達式

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

矩陣L和K定義為

(6)

式中：z為計算點深度；hi為第i層土體底部到地表面的距離，Φ(ξ,z)稱為傳遞矩陣，定義為

(7)

傳遞矩陣Φ各元素表達式為

(8)

式中：E和μ為對應于層狀體系中每一層土的彈性模量和泊松比。

1.1.1 表面受集中荷載作用的解析解

當多層地基表面作用一集中荷載p時，p(r)的表達式為

(9)

式中：δ(r)為Dirac函數，定義為

(10)

結合式(5)、式(9)和式(10)，可以得到p(r)經過Hankel積分變換后的表達式為

(11)

將式(11)代入式(2)和式(4)中，可得集中荷載作用下，與集中荷載水平距離為r處的地基表面的位移和地基內任意深度z的豎向附加應力，表達式為

(12)

(13)

1.1.2 表面受矩形均布荷載作用的解析解

設基坑的長度和寬度分別為a和b，作用在坑底的垂直均布荷載為p0，見圖2。

圖2 層狀地基矩形荷載分布

(14)

p0可按下式計算

(15)

式中：γi、hi對應于第i層土底部以上土層的單位重度和厚度。

利用式(12)、式(13)對矩形面積積分，可得到矩形均布垂直荷載作用下，荷載作用面任意點B(x0,y0,0)處的位移和荷載作用面以下任意點B'(x0,y0,z)的豎向附加應力表達式

(16)

(17)

式中：Ω為矩形均布垂直荷載的面積。

1.2 隧道在開挖卸荷作用下的變形分析

基坑與盾構隧道相互作用的簡化模型見圖3，將盾構隧道簡化成Euler-Bernoulli長梁，假定隧道與周圍土體完全接觸并且土層為各向同性的彈性體，地基土體的非線性變化不納入計算考慮范圍。Winkler和Winkler-Pasternak地基模型的隧道變形的平衡微分方程表達式為

圖3 盾構隧道受基坑開挖影響示意圖

(18)

式中：EI為盾構隧道的抗彎剛度；k為地基基床系數；Gp為土體的剪切模量；δ(x)為隧道的撓度；D為盾構隧道的外徑。

因微分方程中存在四階導數，根據有限差分定理Δmfk=hmf(m)(ξ)可對導數進行降階，表達式為

(19)

將隧道劃分為n+5個節點，每個節點長為l，所受附加應力為σz(i)，豎向位移為δi，將式(19)代入式(18)并整理成矩陣形式為

(20)

式中：Q為作用于隧道的附加應力并可由式(17)獲得；δ為隧道的縱向位移;ψ1、ψ2、ψ3為系數矩陣。

假設隧道足夠長且10倍基坑開挖尺寸之外隧道兩端剪力和彎矩為零[18]，由此可知邊界條件表達式為

(21)

根據上述邊界條件，進一步推導出系數矩陣ψ1、ψ2、ψ3的表達式為

(22)

(23)

ψ2為(n+1)×(n+1)階單位矩陣。

將ψ1、ψ2、ψ3的表達式代入式(20)并用Matlab進行編程求解，便可得到Winkler和Winkler-Pasternak地基模型下隧道的隆起值δ，分別對δ進行二階、三階求導便能求出隧道的彎矩M與剪力Fs，公式為

(24)

選取合適的基床系數k與剪切模量Gp是進行合理計算的前提。根據Klar等[19]的建議，本文計算采用2倍Vesic基床系數值

(25)

式中：Es為隧道所處土層彈性模量。

對于剪切模量Gp的取值，通常采用簡化彈性空間法[20]，即

(26)

式中：Gs為土層的剪切模量；Hp為剪切層的厚度并取[21]Hp=2.5D。

2 算例驗證

2.1 與均質地基中附加應力的對比

某基坑開挖平面尺寸為32 m×16 m，開挖深度為8 m，場地共有四層土，具體參數見表1。

表1 施工場地土體參數

為分析地基土體的非均質性對基坑開挖擾動地層附加應力的影響，選取基坑底面中心以下15 m處平行于基坑短邊的縱向不同節點，將均質地基與分層地基兩種情況土體豎向附加應力進行了對比，其中，均質地基的土體模量按Poulos等[22]提出的加權平均值計算，經折算后均質土體彈性模量取101 MPa，泊松比取0.26。

兩種不同地基下的附加應力分布見圖4，規律大體相似。兩者的附加應力均在x=0處達到最大，在距基坑中心12 m外均質地基中附加應力值要大于分層地基的附加應力值，而0～12 m內分層地基附加應力值大于均質地基附加應力值。由于土體彈性模量自上而下依次增大，土質由軟變硬將導致地基產生應力集中現象，相反，土質由硬變軟將產生應力擴散現象。本節土體附加應力曲線分布規律體現了這一土力學結論。由于開挖卸荷具有對稱性，以基坑中心為劃分點，選取一側的土體附加應力值進行比較分析，見表2。通過比較可知，兩者之間最小應力偏差為2.4%，最大應力偏差可達67.2%，其中x=0處應力偏差為19.8%。目前計算外荷載作用下土體附加應力值主要采用基于均質地基的Boussinesq解和Mindlin解，當土層參數相差不大時，采用Boussinesq解和Mindlin解計算的土體附加應力可近似等同于彈性層狀體系解；當土層參數相差較大時，Boussinesq解和Mindlin解的計算結果則與彈性層狀體系解明顯不同。因此在理論分析中，考慮地基土體彈性模量和泊松比的變化對于更準確計算土體附加應力是具有實際意義的。

圖4 均質地基與分層地基附加應力對比

表2 不同地基模型附加應力比較

2.2 與有限元模型的對比

某基坑開挖施工恰好位于既有盾構隧道上方，基坑開挖尺寸為8 m×8 m×6 m(長×寬×深)。施工場地共有四層土，各層土體的具體參數見表3。盾構隧道位于地表以下20 m且隧道縱軸平行于與基坑長邊，外徑為6.2 m。隧道等效抗彎剛度(EI)eq=7.8×107kN·m2，基床系數k=4 260 kN/m3，剪切模量Gp=4.257 3×104kN/m。

表3 模型計算參數

算例采用有限差分軟件FLAC3D進行驗證。考慮有限元計算中邊界效應的影響，將模型尺寸定義為150 m×150 m×60 m(長×寬×高)，沿著側壁設置四道地連墻用來抵抗基坑側壁土體的水平應力，每道地連墻厚1 m，埋深10 m。為了與理論計算中涉及的參數條件保持一致，在有限元模型中隧道采用梁單元進行模擬，周圍土體采用線彈性模型進行模擬，并假設隧道與土層滿足變形協調條件。有限元網格劃分見圖5，在整個模型區域中，網格個數共計135 218個，節點共有148 800個，以基坑中心為原點，截取位于區間x=[-75 m,75 m]的隧道進行研究。

圖5 有限元網格劃分示意圖

采用Winkler模型、Winkler-Pasternak模型與有限元數值模擬得到的隧道隆起量對比見圖6。由圖6可見，三種方法中采用Winkler方法得到的數值解遠大于其余兩者，原因在于Winkler模型忽略了地基彈簧之間的相互作用。此外，在距離基坑中心約50 m處，隧道開始產生縱向位移。Winkler模型、解析理論得到的隧道隆起值與有限元解的對比見表4。采用解析理論計算得到的隧道縱向最大位移為2.02 mm，數值模擬為2.25 mm。在開挖影響范圍內，解析理論與有限元結果的位移偏差都在40%以內，遠低于Winkler模型。兩種方法的計算結果分布規律基本一致，數值上存在微小差別可能原因在于基坑開挖土體擾動導致既有隧道相對剛度的減小，本文理論算法中并沒有考慮這方面的影響。

圖6 隧道隆起值對比曲線

表4 Winkler模型、解析理論與有限元結果比較(隧道隆起)

隧道在附加應力作用下采用三種計算方法得到的彎矩分布圖見圖7。由圖7可知，正彎矩最大值位于基坑中心正下方處，此時襯砌管片處于最不利受彎拉狀態，最大負彎矩產生于距基坑中心兩側約25 m的位置。盾構隧道是由一系列襯砌管片拼裝而成的結構體，當作用于其上的彎矩超出隧道極限抗彎能力時，襯砌管片環縫會大幅度張開從而影響隧道結構的穩定。Winkler模型、解析理論得到的隧道彎矩值與有限元解的對比見表5。采用解析理論得到的彎矩偏差均值為57.4%，小于Winkler模型得到的彎矩偏差均值148.8%，與有限元計算結果相比，Winkler模型計算得到的最大正、負彎矩值高出79.7%、105.3%，總體來說，采用本文方法與有限元算法得到的彎矩值吻合較好，曲線分布規律也基本一致。

圖7 隧道彎矩對比曲線

表5 Winkler模型、解析理論與有限元結果比較(隧道彎矩)

采用本文理論解、Winkler模型解以及有限元模擬得到的隧道縱向剪力對比曲線見圖8。其中本文計算結果與有限元計算結果數值吻合較好，剪力最大(小)值皆發生于x=±9 m處。為了維護隧道的結構穩定，可在剪力最大處采取加固接頭螺栓的辦法。Winkler模型、解析理論得到的隧道剪力值與有限元解的對比見表6。在x=±9 m處Winkler模型計算出的最大(小)剪力值要超出數值模擬的82.7%。與有限元結果相比，采用解析理論得到的剪力偏差均值為62.3%，小于Winkler模型得到的剪力偏差均值108.1%。

表6 Winkler模型、解析理論與有限元結果比較(隧道剪力)

圖8 隧道縱向剪力對比曲線

根據上述分析可知，在預測由于開挖卸荷引起下臥隧道變形中，本文提供了一種快速而簡便的方法。

2.3 與監測數據對比

上海東方路地下過街通道采用明挖法施工，上海軌道交通2號線的一段隧道正好位于基坑正下方并與基坑成45°夾角，見圖9。為了簡化分析過程，將基坑視為26 m×18 m(長×寬)的矩形，各層土體參數見表7。基坑開挖深度為6.5 m且隧道頂部距離坑底僅為2.76 m，地鐵隧道使用盾構法施工，采用鋼螺栓連接的預制節段環作為永久襯砌，厚度為0.35 m。隧道軸線位于地表以下12.36 m，地鐵2號線隧道外徑為6.2 m。隧道等效抗彎剛度取1.087×108kN·m2。基坑底部澆筑1.88 m厚的混凝土底板。考慮地層改良后地基剛度的增加，理論計算中隧道所處土層彈性模量取16.01 MPa。

圖9 基坑與隧道位置關系示意(單位：m)

表7 場地土層參數

為了驗證本文兩階段方法的適用性，將理論計算結果與現場監測結果進行了對比分析，本文理論解計算得到的隧道隆起值見圖10，并與文獻[23]中現場實測數據以及Winkler模型解進行了對比分析。

從圖10可知，采用本文方法計算的隧道隆起值與實測數據分布規律基本一致，并且比大多數實測隆起值要大一些，原因在于實際施工過程會對基坑采取各種加固措施如分層分區開挖、底板澆筑、圍護樁的打設等，然而本文理論計算沒有考慮這些因素。隧道彎矩對比曲線見圖11，由圖10、圖11可知，采用本文解析理論得到的隧道隆起和彎矩曲線低于Winkler理論模型得到的曲線，意味著如用Winkler模型進行隧道縱向變形預測，需采取過多的保護措施來減小隧道隆起量。此外，本文理論解與隧道實測隆起量都滿足地鐵隧道的規范標準，即隧道最大隆起值不超過20 mm。

圖10 隧道隆起值對比曲線

圖11 隧道彎矩對比曲線

3 結論

(1)與以往基于均質地基的兩階段法不同，在計算基坑開挖卸荷作用于下臥隧道的附加荷載時，本文建立的集中荷載與矩形荷載下彈性層狀體系應力解不僅考慮了彈性模量與泊松比隨土體分層變化而不同的情況，還避免了均質地基中應力擴散能力過大的弊端，與工程實際情況符合，具有更好的計算精度。

(2)將地鐵隧道簡化為Euler-Bernoulli長梁架臥于Winkler-Pasternak地基模型中，從而建立梁的撓度平衡微分方程，通過有限差分法對方程進行降階處理，最終得到隧道在附加應力作用下的縱向變形解答。

(3)在預測隧道縱向變形響應的方法中，采用Winkler地基模型通常導致計算結果偏大，Winkler-Pasternak模型充分考慮了土體彈簧之間的相互作用，與工程實際更貼近，計算結果更具參考性與精確性。此外，基坑中心下方區域導致隧道產生最大縱向位移且使襯砌管片處于最不利受彎拉狀態，施工中應加強這部分區域的變形監測與保護力度。

(4)本文未考慮基坑側壁土體卸荷作用以及隧道與周圍土體之間的非線性作用，在將來研究中可進一步完善。