基于核心素養(yǎng)的直線與圓的位置關(guān)系的教學(xué)與反思

蔡瓊輝

摘 ?要：直線與圓的位置關(guān)系是高中課程中的重要內(nèi)容。對于本節(jié)內(nèi)容的復(fù)習(xí)，本文從生活情境出發(fā)，回歸課本，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)本質(zhì);同時(shí)通過變式訓(xùn)練，發(fā)展學(xué)生的思維，提高學(xué)生解決問題的能力。在教學(xué)過程中，滲透用數(shù)學(xué)的眼光看世界的觀念。

關(guān)鍵詞：直線與圓的位置關(guān)系、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、教學(xué)反思

一、基本情況

1、授課對象

四星高中高三理科班學(xué)生，基礎(chǔ)較好，具備一定的推理論證、運(yùn)算求解能力。

2、教材分析

直線與圓的位置關(guān)系是高一必修2中的內(nèi)容，根據(jù) 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017版）[1]中指出，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：（1）能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系;（2）能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題。

本節(jié)內(nèi)容是應(yīng)用坐標(biāo)去研究直線與圓的位置關(guān)系，初步讓學(xué)生體會用代數(shù)的方法去研究幾何問題，也為后面研究直線與圓錐曲線起著鋪墊作用。在高考中常常以選擇題的形式出現(xiàn)，是高中階段很重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容。

結(jié)合新課標(biāo)要求，本節(jié)高三復(fù)習(xí)課制定了以下教學(xué)目標(biāo)：（1）熟練判斷直線與圓的位置關(guān)系，掌握圓的切線的求法;（2）熟練運(yùn)用直線與圓的相關(guān)知識來求解相關(guān)數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題;（3）培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法，提高學(xué)生的分析問題、解決問題的能力。

教學(xué)重點(diǎn) 判斷直線與圓的位置關(guān)系

教學(xué)難點(diǎn) 直線與圓的位置關(guān)系相關(guān)的實(shí)際問題

二、教學(xué)過程

1、設(shè)計(jì)情境引入，回顧基本知識

情境 展示太陽從海平面升起來的三幅圖。

師：同學(xué)們可以想到哪些幾何知識？

師：前面學(xué)習(xí)過直線方程，掌握了通過直線方程研究直線與直線的位置關(guān)系，那如何通過直線與圓的方程來研究兩者的位置關(guān)系呢？

問題1 已知單位圓的方程為 ，直線 ，請問分別在以下三種情況下直線與圓的位置關(guān)系是？

生8：過圓心 作弦長AB的垂線CD，由垂徑定理以及勾股定理，可以得出點(diǎn) 到直線的距離。

師：是不是又回到了例2了？設(shè)出所求直線的斜率，根據(jù)距離解出參數(shù) ，不要忘記考慮斜率不存在的情況。

由于時(shí)間有限，后面就留給學(xué)生課后去解了。

2、結(jié)合實(shí)際問題，題高能力

例3 臺風(fēng)中心從 地每小時(shí)10千米的速度向西北方向移動，離臺風(fēng)中心30千米的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)。城市 在 的正西方向40千米處， 城市處于危險(xiǎn)區(qū)的時(shí)間是多少？

思考幾分鐘后……

生9：需畫圖，畫出以 為圓心，半徑為30千米的圓，與西北方向所在直線所交的弦長即為 城市處于危險(xiǎn)區(qū)時(shí)，臺風(fēng)中心移動的一段路程。

后計(jì)算出弦長為20千米， 城市處于危險(xiǎn)區(qū)的時(shí)間是2小時(shí)。

三、教學(xué)反思

1、設(shè)計(jì)思路與原理

本節(jié)課是從三幅海上日出圖引出本節(jié)課的課題，定性的分析了直線與圓的三種位置關(guān)系，結(jié)合剛復(fù)習(xí)過的直線與圓的方程，以及通過直線方程來判斷直線與直線的位置關(guān)系，自然過渡到定量分析直線與圓的位置關(guān)系。問題1 是設(shè)置的簡單問題，讓學(xué)生回憶起以前學(xué)習(xí)過的課本上的基本知識，加深對基本概念的理解，在開篇引入的整個(gè)過程中，培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，體會了從數(shù)學(xué)研究上定性與定量的思想方法。

例1和變式1是對基本知識的簡單應(yīng)用，學(xué)生通過幾何法、代數(shù)法的計(jì)算，得出參數(shù)的取值范圍。學(xué)生通過計(jì)算體會代數(shù)法與幾何法的使用，也會發(fā)現(xiàn)幾何法更加便捷。高三的課堂更要注重學(xué)生思維的培養(yǎng)，因此，兩種方法的優(yōu)劣不必直接告訴學(xué)生。學(xué)生通過自己的計(jì)算會發(fā)現(xiàn)幾何法更便捷。這樣也培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算、歸納總結(jié)等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

例2和變式2也是基礎(chǔ)知識的簡單應(yīng)用，讓學(xué)生通過例2和變

式2的學(xué)習(xí)，抓住本節(jié)內(nèi)容的本質(zhì)，在講到例2時(shí)，學(xué)生思維活躍，首先計(jì)算發(fā)現(xiàn)給出的 點(diǎn)是在圓的外部，自然想到可以做出圓的兩條不同切線。同時(shí)學(xué)生很快想到設(shè)出切線方程的斜率，通過相切的性質(zhì)來解題，結(jié)果計(jì)算結(jié)果出來后，發(fā)現(xiàn)少了一條切線。矛盾的出現(xiàn)，吸引了學(xué)生的注意力，促進(jìn)了思維的發(fā)展。變式2是圓的性質(zhì)與本節(jié)知識的結(jié)合，提高學(xué)生的綜合應(yīng)用能力。

例3的設(shè)計(jì)是圍繞課標(biāo)的要求，將所學(xué)理論知識落實(shí)到實(shí)際問題的解決中，同時(shí)也滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法。

2、課堂反饋與思考

由于本節(jié)內(nèi)容是高三的復(fù)習(xí)課，知識內(nèi)容都是在高一時(shí)候?qū)W過的。因此，整個(gè)教學(xué)過程是較為順暢的。學(xué)生很積極，思維也很活躍，教學(xué)效果較好。

祁建新教授曾指出，高三復(fù)習(xí)需要回歸課本。回歸課本，就是回憶、喚醒以前學(xué)習(xí)的重點(diǎn)概念和基本問題，由此增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識，進(jìn)而增強(qiáng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題本質(zhì)的能力[2]。因此，在上課之初，設(shè)置簡單的情境與問題引入了本節(jié)的復(fù)習(xí)內(nèi)容，就是引導(dǎo)學(xué)生回憶課本的基本知識。高三的課堂教學(xué)要注重對學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，例題的設(shè)置要合理。

新高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)理念要求教師從片面注重?cái)?shù)學(xué)知識的傳授轉(zhuǎn)變到注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)上來[3]。本節(jié)就是通過變式教學(xué)發(fā)展學(xué)生的思維，讓學(xué)生既能深刻地體會到所學(xué)知識的本質(zhì)，又能融會貫通地應(yīng)用所學(xué)知識去解決實(shí)際問題。同時(shí)貼近生活的例題設(shè)置，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)來源于生活又服務(wù)于生活。在這個(gè)過程中，無形中滲透了用數(shù)學(xué)的眼光去看世界的觀念。

課堂是學(xué)生的，教師只是一個(gè)引導(dǎo)著，高三的課堂更是如此。本節(jié)課的實(shí)施過程中，以學(xué)生為主體，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)問題往往更利于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。本節(jié)直線與圓的位置關(guān)系中，幾何法的使用比代數(shù)法更方便以及求圓的切線方程時(shí)，切線斜率不存在的情況要考慮都是預(yù)留給學(xué)生思考的時(shí)間，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，這樣是對學(xué)生數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)往往不是一蹴而就的，它體現(xiàn)在每一堂數(shù)學(xué)課上，作為教師，要把握學(xué)生，要多思考設(shè)計(jì)好每一堂數(shù)學(xué)課。

參考文獻(xiàn)：

[1] 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017版）.

[2] 祁建新.“基本不等式的應(yīng)用研究”的教學(xué)設(shè)計(jì)與反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2016（08）：1-4+9.

[3] 陳唐明.新課標(biāo)理念下數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的反思[J].《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》.2007年第2期，第4-6頁.

（江蘇省蘇州市吳中區(qū)東山中學(xué)）